第十一章曲線積分與曲面積分習(xí)題答案

1、第十一章 曲線積分與曲面積分 第三節(jié) Green公式及其應(yīng)用 1利用Green公式，計(jì)算下列曲線積分： 為正向圓周；(1 ，其中解：由Green公式，得 ， 為。其中 及為頂點(diǎn)的三角形負(fù)向邊界；為以 ，其中(2 解：由Green公式，得 。 及為到點(diǎn)的上半圓周從點(diǎn)*(3 ，其中的上半圓周 ；到點(diǎn)連成的弧從點(diǎn) 與圍成的區(qū)域?yàn)镈，由Green解：連直線段AB，使L公式，得 為正向圓周，其中*(4 . 與取逆時(shí)針?lè)较颍浗猓阂驗(yàn)?，圍成。作足夠小的圓周:, 公式，得，故Green ，由的閉區(qū)域?yàn)?23 / 9 2計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分： 到點(diǎn)的一段??；為曲線 上由點(diǎn)，其中 ， 解： 軸到點(diǎn)的一條路徑

2、， x從而 故積分與路徑無(wú)關(guān)，取經(jīng) =。 原式 ，有設(shè)函數(shù). *3具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明對(duì)任何光滑封閉曲線 Green公式，域?yàn)镈,由得證明圍：，記L成的閉區(qū) . 第四節(jié)對(duì)面積的曲面積分 1填空題： 為球面，則；(1 設(shè) . (2 的質(zhì)量面密度的光滑曲面 2計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分： ，其中為平面在第一卦限的部分；(1 解：， 為，其中的部分；(2 解：，24 / 9 . *(3 圍成四面體的整個(gè)邊界，其中為 其中解：， ， ， ， 。 25 / 9 第七節(jié) Stokes公式 *環(huán)流量與旋度 1利用斯托克斯公式計(jì)算下列曲線積分： 面內(nèi)圓周逆時(shí)針?lè)较颍?1 ， 為 面上的投影區(qū)域。 由為解：取S

3、tokes為平面在公式，得 的下側(cè)被圍成的部分，D 為平面在第一卦限部分三角形的邊界，從(2 ，軸正 向看去是逆時(shí)針?lè)较颍?解：取為平面的上側(cè)被圍成的部分，的單位法向量由 。Stokes公式，得26 / 9 第十一章綜合練習(xí)題 1填空題： ，則 為橢圓(1 ，其周長(zhǎng)為已知 12a； 的直線段，則1；上從點(diǎn)(2到點(diǎn)已知 為直線 ；(3設(shè),是以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形正向邊界，則,0 ；(4應(yīng)滿足條件曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，則可微函數(shù) 設(shè)為平面在第一卦限的部分，取上側(cè)，則*(5 0. 2求下列曲線積分： 為球面，其中被平面所截得的圓周；(1 解：在的方程中，由于循環(huán)對(duì)稱，故x, y, z，于是27 / 9 為

4、圓心，為半徑的正向圓周；*(2 是以，其中 。作足夠小的橢圓，取順時(shí)針?lè)较?，由格林公式，解?得 。 所以 到積線分曲從線，使該曲*3在過(guò)點(diǎn)條和的曲線族中，求一 . 的值最小 解：令，則 。 ，故所以得駐點(diǎn) 所以 。又 取得最小值，從而在。為 計(jì)算,具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)其中, . *4且設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān), ，由于積分與路徑無(wú)關(guān)，解： ， ，所以。 由于是，知所以 ，即，從而。 。 5計(jì)算下列曲面積分： 與之間的部分；(1 ，其中 為圓柱面介于 循環(huán)對(duì)稱，故yx ，于是解：在的方程中，由于與 28 / 9 為下半球面，其中的上側(cè)；*(2 ，取下側(cè)。解：設(shè)平面 圍成的下半球體為和。由格林公式得： 近三年考研真題 , 設(shè), 2018年）1. , 為四條逆時(shí)針?lè)较虻钠矫媲€， ）記，則 ） (C A D） 2. ，則設(shè)年）2018 軸負(fù)向看去為逆時(shí)針?lè)较颍瑒tzz軸正向往3. 設(shè)L與平面是柱面方程的交線，從2018年） 曲線積分 ，到點(diǎn)，到點(diǎn)20），再沿圓周000L4. 2018年）已知是第一象限中從點(diǎn)，）沿圓周 ）的曲線段，計(jì)算曲線積分。2 29 / 9 近三年考研真題解讀 2018年）1.解讀： 由格林公式： ，因此。內(nèi) ，在 而在在外。，因此 和可得。）利用極坐標(biāo)分別計(jì)算出 年）2.解讀：由曲面積分的計(jì)算公式可知：2018 ， 其中，30