線性規(guī)劃問題

1、數(shù)學模型實驗報告投資規(guī)劃問題姓名 田璐璐 學號 1112123067 專業(yè)及班級 統(tǒng)計1102 1某銀行經(jīng)理計劃用一筆資金進行有價證券的投資，可供購進的證券以及其信用等級、到期年限、收益如下表所示。按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按50%的稅率納稅。此外還有以下限制：（1） 政府及代辦機構(gòu)的證券至少要購進400萬元；（2） 所購證券的平均信用等級不超過1.4（信用等級數(shù)字越小，信用程度越高）；（3） 所購證券的平均到期年限不超過5年。證券名稱證券種類信用等級到期年限到期稅前收益（%）A市政294.3B代辦機構(gòu)2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5問題：（

2、1）若該經(jīng)理有1000萬元資金，應(yīng)如何投資？（2）如果能夠以2.75%的利率借到不超過100萬元資金，該經(jīng)理應(yīng)如何操作？（3）在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益率增加為4.5%，投資應(yīng)否改變？若證券C的稅前收益減少為4.8%，投資應(yīng)否改變？一、 摘要 本文針對證券投資問題，采用線性規(guī)劃模型，用Lingo軟件求解得到了不同限制條件下的最佳投資方案。對于問題一，該經(jīng)理有1000萬元資金，進行投資。即在一定的約束條件下，建立線性規(guī)劃模型，使用Lingo軟件解線性規(guī)劃即可得到答案?？傻肁證券的投資資金為218.1818萬元，B證券的投資資金為0，C證券的投資資金為736.3636萬元，D證券

3、的投資資金為0，E證券的投資資金為45.45455萬元，在此情況下，獲益最大為29.83636萬元。對于問題二，涉及到借款的問題，收益就會因借款而減小。同樣運用線性規(guī)劃的方法，對整體求最優(yōu)解。在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益率增加為4.5%，投資策略在不改變。證券C的稅前收益減少為4.8%A證券的投資資金為336萬元，B證券的投資資金為0，C證券的投資資金為0萬元，D證券的投資資金為648萬元，E證券的投資資金為16萬元。在此情況下，獲益最大為29.424萬元 對于問題三，在問題一的基礎(chǔ)上，進行靈敏度分析，當變量在一定范圍里變動時，不改變投資計劃。用LINGO求解，若該經(jīng)理能以2.

4、75%的利率借到不超過100萬元資金，他應(yīng)該改變投資策略，A證券的投資資金為240萬元，B證券的投資資金為0，C證券的投資資金為810萬元，D證券的投資資金為0，E證券的投資資金為50萬元，在此情況下，獲益最大為30.07萬元，應(yīng)借款100萬元。關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃、LINGO、靈敏度分析二、 問題的復(fù)述某銀行經(jīng)理計劃用一筆資金進行有價證券的投資，為了實現(xiàn)證券投資的有效組合（降低風險和收益最大化），投資者要有正確的投資決策?？晒┵忂M的證券以及其信用等級、到期年限、收益如下表所示。按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按50%的稅率納稅。此外還有以下限制：（1）政府及代辦機構(gòu)的證券至少要

5、購進400萬元；（2）所購證券的平均信用等級不超過1.4（信用等級數(shù)字越小，信用程度越高）；（3）所購證券的平均到期年限不超過5年。證券名稱證券種類信用等級到期年限到期稅前收益（%）A市政294.3B代辦機構(gòu)2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5建立模型：（1）若該經(jīng)理有1000萬元資金，投資建立模型使收益最大化（2）如果能夠以2.75%的利率借到不超過100萬元資金，該經(jīng)理應(yīng)如何操作？（3）在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益率增加為4.5%，投資應(yīng)否改變？若證券C的稅前收益減少為4.8%，投資應(yīng)否改變？三、 問題的分析該問題屬于線性規(guī)劃問題，即在一定約束條件下

6、建立線性規(guī)劃模型，找到最優(yōu)的解，使利潤最大化。通過建立模型，使用Lingo軟件解線性規(guī)劃即可得到答案。四、 問題的假設(shè)（1） 假設(shè)該經(jīng)理所購證券都只是簡單地一次投資，不進行再投資。（2） 假設(shè)題中所涉及的收益率和利率都與年限無關(guān)。（3） 假設(shè)所有證券的信用等級在15年內(nèi)不發(fā)生任何變化。（4） 假設(shè)所有證券的到期稅前收益在15年內(nèi)不發(fā)生任何變化。（5） 假設(shè)所有證券的到期稅前稅率在15年內(nèi)不發(fā)生任何變化。五、 符號說明x1投資證券A的金額x2投資證券B的金額x3投資證券C的金額x4投資證券D的金額x5投資證券E的金額y 以2.75%的利率借到的資金金額w 所有投資的證券總收益六、 建立數(shù)學模型及

7、求解模型一建立模型：目標函數(shù)：設(shè)所有投資的證券總收益為W萬元,約束條件：政府及代辦機構(gòu)證券購買量： 平均信用等級：不超過1.4，即： 平均到期年限：不超過5年，即： 總資金： 模型求解： Max S.t. 用LINGO求解，可得A證券的投資資金為218.1818萬元，B證券的投資資金為0，C證券的投資資金為736.3636萬元，D證券的投資資金為0，E證券的投資資金為45.45455萬元，在此情況下，獲益最大為29.83636萬元。模型二建立模型： 目標函數(shù)：設(shè)所有投資的證券總收益為W萬元,約束條件政府及代辦機構(gòu)證券購買量： 平均信用等級：不超過1.4，即： 平均到期年限：不超過5年，即： 總

8、資金： 模型求解Max S.t. 用LINGO求解，若該經(jīng)理能以2.75%的利率借到不超過100萬元資金，他應(yīng)該改變投資策略，A證券的投資資金為240萬元，B證券的投資資金為0，C證券的投資資金為810萬元，D證券的投資資金為0，E證券的投資資金為50萬元，在此情況下，獲益最大為30.07萬元，應(yīng)借款100萬元。模型三建立模型：根據(jù)模型一的靈敏度分析（附錄）得，證券A的稅前收益増加0.35%，減少1.3%，原投資計劃不改變。而證券A的稅前收益率增加為4.5%，只增加了0.2%，所以投資不改變。證券c的稅后收益率增加1.733333%，減少0.056%，原投資計劃不改變。即稅前可增加3.4%，可

9、減少0.112%。若證券C的稅前收益減少為4.8%，即減少了0.2%，要改變原投資計劃。目標函數(shù)：設(shè)所有投資的證券總收益為W萬元,約束條件：政府及代辦機構(gòu)證券購買量： 平均信用等級：不超過1.4，即： 平均到期年限：不超過5年，即： 總資金： 模型求解模型求解： Max S.t. 在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益率增加為4.5%，投資策略在不改變。證券C的稅前收益減少為4.8%A證券的投資資金為336萬元，B證券的投資資金為0，C證券的投資資金為0萬元，D證券的投資資金為648萬元，E證券的投資資金為16萬元。在此情況下，獲益最大為29.424萬元七、 模型的評價優(yōu)點：（1）建立的

10、模型可在一定約束條件下，給出最優(yōu)解。（2）利用lingo軟件進行的靈敏度分析，能給人直觀的解。（3）所建立的數(shù)學模型在一定條件下符合實際情況。缺點：（1）沒有考慮投資年限問題，在實際情況中不太適用。（2）這里假設(shè)是簡單投資，沒有考慮再投資問題，不符合實際情況。八、 模型的改進使用數(shù)據(jù)計算結(jié)果，進行分析與檢驗：此模型只是簡單的線性規(guī)劃模型，有效地表示出了各個量之間的關(guān)系，更以全局最優(yōu)解為參照，詳細地算出了各個約束的影子價格。沒有將更多的變量引入，未能將收益與現(xiàn)實更緊密的聯(lián)系結(jié)合起來，在計算投資金額時，有一定的誤差。此模型因本身局限，并不能以點蓋面地顯示出其他有效信息，運用不廣。如果該題能給出投資

11、年限對收益率的影響，我們將會找到更適用的投資方案。九、 參考文獻1趙靜 但琦等 數(shù)學建模與數(shù)學實驗（第三版） 高等教育出版社2007年6月2姜啟源等,數(shù)學模型（第四版），高等教育出版社，2010年8月十附錄1、LINGO求解模型一代碼：max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5st x1+x2+x3+x4+x54002x1+2x2+x3+x4+5x514009x1+15x2+4x3+3x4+2x5=400x1+x2+x3+x4+x5-y=10000.6x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4+3.6x5=04x1+10x2-x3-2x4-3x5=0y

12、100end Global optimal solution found. Objective value: 30.07000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X1 240.0000 0.000000 X2 0.000000 0.3018182E-01 X3 810.0000 0.000000 X4 0.000000 0.6363636E-03 X5 50.00000 0.000000 Y 100.0000 0.000000 Row Slack or Surplus

13、 Dual Price 1 30.07000 1.000000 2 410.0000 0.000000 3 0.000000 0.2983636E-01 4 0.000000 0.6181818E-02 5 0.000000 0.2363636E-02 6 0.000000 0.2336364E-02Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 0.4300000E

14、-01 0.3500000E-02 0.1070833E-01 X2 0.2700000E-01 0.3018182E-01 INFINITY X3 0.2500000E-01 0.1733333E-01 0.5600000E-03 X4 0.2200000E-01 0.6363636E-03 INFINITY X5 0.4500000E-01 0.5200000E-01 0.1400000E-01 Y -0.2750000E-01 INFINITY 0.2336364E-02 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS

15、Increase Decrease 2 400.0000 410.0000 INFINITY 3 1000.000 INFINITY 556.7901 4 0.0 1288.571 220.0000 5 0.0 1100.000 1320.000 6 100.0000 INFINITY 100.00003、LINGO求解模型三代碼：max 0.043x1+0.027x2+0.024x3+0.022x4+0.045x5st x1+x2+x3+x4+x54002x1+2x2+x3+x4+5x514009x1+15x2+4x3+3x4+2x55000endGlobal optimal solutio

16、n found. Objective value: 29.42400 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 6 Variable Value Reduced Cost X1 336.0000 0.000000 X2 0.000000 0.3064000E-01 X3 0.000000 0.4400000E-03 X4 648.0000 0.000000 X5 16.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 29.42400 1.000000 2 0.000000 0.8320

17、000E-02 3 248.0000 0.000000 4 0.000000 0.6360000E-02 5 0.000000 0.2440000E-02Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 0.4300000E-01 0.1600000E-01 0.2750000E-02 X2 0.2700000E-01 0.3064000E-01 INFINITY X3 0.2400000E-01 0.4400000E-03 INFINITY X4 0.220000