選修11導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用恒成立問題存在性問題教案

1、適用學(xué)科L. 一一 .高中數(shù)學(xué)1 1適用年級I高二1 1適用區(qū)域蘇教版課時時長(分鐘)丨2課時1知識點1恒成立問題2存在性問題i1教學(xué)目標(biāo)11. 能利用導(dǎo)數(shù)熟練解決恒成立問題12. 能利用導(dǎo)數(shù)熟練解決存在性問題教學(xué)重點分辨恒成立冋題、存在性冋題教學(xué)難點理解最大最小值成立【知識導(dǎo)圖】教學(xué)過程、導(dǎo)入【教學(xué)建議】導(dǎo)入是一節(jié)課必備的一個環(huán)節(jié)，是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生盡快進(jìn)入學(xué)習(xí)狀 態(tài)。導(dǎo)入的方法很多，僅舉兩種方法： 情境導(dǎo)入，比如講一個和本講內(nèi)容有關(guān)的生活現(xiàn)象； 溫故知新，在知識體系中，從學(xué)生已有知識入手，揭示本節(jié)知識與舊知識的關(guān)系，幫學(xué) 生建立知識網(wǎng)絡(luò)。極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系函數(shù)的極值表示

2、函數(shù)在一點附近的情況，是在局部對函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是函數(shù)在整個定義域上的情況，是對函數(shù)在整個定義域上的函數(shù)值的比較.(2) 函數(shù)的極值不一定是最值，需對極值和區(qū)間端點的函數(shù)值進(jìn)行比較，或者考察函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.(3) 如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a, b)內(nèi)只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最 小值.(4) 可用函數(shù)的單調(diào)性求 f(x)在區(qū)間上的最值，若 f(x)在a, b上單調(diào)遞增，貝U f(x)的最大 值為f(b)，最小值為f(a),若f(x)在a, b上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的 最小值.二、知識講解考點恒成立恒題立問題 a A f (X M亙成立

3、二a f(X hax ； a蘭f(X )恒成立=a蘭f(X hn(2)能成立問題的轉(zhuǎn)化：anf(x )能成立二aAf(x)min ； a蘭f (x能成立n a蘭f(xhax(3)恰成立問題的轉(zhuǎn)化：a f x在M上恰成立：j a f x的解集為a f x在M上恒成立第17頁a _ f x在CrM上恒成立另一轉(zhuǎn)化方法：若 xD, f(x) _ A在D上恰成立，等價于 f (x)在D上的最小值fmin (x A，若D, f(x)乞B在D上恰成立，則等價于f (x)在D上的最大值fmax(X)二 B (4) 若不等式f Xg x在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間 D上函數(shù)y = f X和圖 象在函數(shù)y

4、= g x圖象上方；(5) 若不等式在區(qū)間 D上恒成立，則等價于在區(qū)間 D上函數(shù)y二f x和圖象在函數(shù)y二g x圖象下方；考點2存在性問題(1)設(shè)函數(shù)f x、g x，對任意的 x1 a, b i, 存在X2 e C , d】，使得f (xi)蘭g(x2 ),則 fmin X gmin X(2)設(shè)函數(shù)f x、g x，對任意的 a , b 1,存在x2C, d 1,使得f X乞g x2 ,則 fmax X 空 gmax X 。(3)設(shè)函數(shù)f x、g x，對任意的 a , b l,存在x2 C, d】，使得f % =g x2 , 則f x在xa , b l上的值域m是g x在X2 C, d】上的值域

5、N的子集。即：M- Nof maxX g min XC, d I,使得 f xi - g X2，則(4)設(shè)函數(shù)f x、g x，存在Xi la ,b l,存在X2 -(5)設(shè)函數(shù)f x、g x，存在 a , bl,存在X2 C, d】，使得f &豈g X2，則fmn x g max X類型三一、恒成精問題例題1已知函數(shù) f (x) = X2 -2ax 1, g(xH-，其中 a 0 , x = 0 對任意 x 1,2，都有xf(x) g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；【解析】由oy + yX2 -2ax 10= a 2成立，只需滿足x2x2+1(x)二X3 X2x2 1的最小值大于a即可.對:

6、(X)戸x3 x2x2 1求導(dǎo),(X)2x4 x21-(2x21)20，故(x)在x 1,2是增2 2函數(shù)，min(X：(1)，所以a的取值范圍是0 ： a ：.3 3【總結(jié)與反思】在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中極值和最值往往都的聯(lián)立出現(xiàn)的，尤其是最值的求解過程中，一定會涉及到極值的求解部分，所以也可以說：極值不一定是最值，但是最值一定是極值。例題23已知f(x)= ax + cx+ d(a豐 是 R上的奇函數(shù)，當(dāng) x= 1時，f(x)取得極值一2.(1) 求f(x)的解析式；證明對任意XI、X2 (- 1, 1),不等式丨f(X” f(X2)| 0,解得 x 1;令 f x( 0，解得一1 x 1,從而

7、函數(shù)f(x)在區(qū)間(一g, 1)內(nèi)為增函數(shù)，(一1, 1)內(nèi)為減函數(shù)， 在(1 , + g)為增函數(shù).故當(dāng)x 1 , 1時，f(x)的最大值是f( 1) = 2,最小值是f(1) = 2,所以，對任意 X1、x2 (一 1 , 1), |f(x1) f(x2)| 2 ( 2) = 4.【總結(jié)與反思】在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中極值和最值往往都的聯(lián)立出現(xiàn)的，尤其是最值的求解過程中，一定會涉及到極值的求解部分，所以也可以說：極值不一定是最值，但是最值一定是極值。類型二存在性問題.例題1已知a -0,函數(shù)f (x) =(x2 -2ax)eX，設(shè)f (x)在-1,1上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.【解析】 根據(jù)題

8、意， f (x)二x2-2(a-1)x-2aeX , f (x) =0,為二a-1 - 1 a2,X2 二a-11 a2，當(dāng) a-0時，f(x)在-1,1上為單調(diào)1 3函數(shù)的充要條件是 X2 -1, xa-V 1 a2 -1，解a ，綜上，f(x)在-1,1上為43 3單調(diào)函數(shù)的充要條件是 a ，即a的取值范圍為a -。4 4【總結(jié)與反思】本題主要考查含參數(shù)的單調(diào)性，在閉區(qū)間上通過單調(diào)性來求參數(shù)的取值范 圍。例題212已知函數(shù)f x = In xax2-2x a = 0存在單調(diào)遞減區(qū)間，求 a的取值范圍【解析】因為函數(shù)f x存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以f x J _ax_2ax2 2x_ 0xxX.

9、 0,=能成立，設(shè)u X 舟2x2 xx2由u x皚2x21 d x x_1 得，umin Xu-1.于是，a -J,由題設(shè)a=0,所以a的取值范圍是 -1,00,【總結(jié)與反思】本題主要考查含參數(shù)的單調(diào)性， 在閉區(qū)間上通過單調(diào)性來求參數(shù)的取值范圍。四、課堂運用1.當(dāng)?shù)A1,2時，不等式x2 mx ： 0恒成立，則m的取值范圍是2. 設(shè)a 1，若對于任意的a,2a，都有y a,a2滿足方程loga x loga 3，這時a的取值集合為x -y 乞03. 若任意滿足 x y -5 _0的實數(shù)x, y，不等式a(x2 y2(x y)2恒成立，則實數(shù)a的y _3 乞 0最大值是。4. 不等式ax_、.

10、x 4-x在X，0,3】內(nèi)恒成立，求實數(shù) a的取值范圍。答案與解析1.【答案】m ： 一5【解析】當(dāng)m5.x2十4 x2 mx 4 ： 0 時，由 x2 mx 4 : 0 得 m ：-2. 【答案】3【解析】由方程logaX loga y =3可得y = H，對于任意的a, 2a，可得x23-a，依題意得3.【答案】2513e 2a a 2 二2 2a - a2 x2222a+y 3【解析】由不等式a(x2 y2(x y)2可得x y ,由線性規(guī)劃可得1，由x 2y x函數(shù)單調(diào)性得最大值為25134.【答案】a-l3a，【解析】畫出兩個函數(shù) y =ax和y , x 4 - x在1.0,31上的

11、圖象如圖知當(dāng)0,3 1時總有ax_ ,x 4-X所以鞏固1. 不等式sin 2 x -4sin x 1 -a ： 0有解，則a的取值范圍是 2. 已知兩函數(shù) f x =7x2 -28x-c， g x =2x3 4x40x，對任意1-3,3 ,都有f x勺X成立，求實數(shù)c的取值范圍；3. 已知兩函數(shù) f X i=7x2 -28x -c , g x i；=2x3 - 4x2 -40x，存在 x 七3 ,使 f x 勺 x成立，求實數(shù)c的取值范圍;4. 已知兩函數(shù)f x =7x2-28x-c , g x =2x3 4x2-40x，對任意|,3 ，都有f咅_g x2 ,求實數(shù)c的取值范圍；5. 已知兩

12、函數(shù) f x =7x2-28x-c , g x =2x3 4x240x，存在 xi , x ( 3,3 ,都有f xi _g x2 ,求實數(shù)c的取值范圍；答案與解析1. 【答案】a .2【解析】 原不等式有解=a .sin2x-4sin x 1 = sin x-2 ； -3 -lsinxl有解，而sin x _2=2，所以a /。2. 【答案】c _45【解析】設(shè) h(x 尸g(x)_f (x) =2x3_3x2_12x*，問題轉(zhuǎn)化為x運七3 時，h(x)ZO恒成立，故 hmin X _0。令 J x i=6x2 -6x _12 =6 x J x 2 =0，得 x = -1 或 2。由導(dǎo)數(shù)知識

13、，可知 h x 在 日-1 1單調(diào)遞增，在口,2 1單調(diào)遞減，在|2,3 1單調(diào)遞增，且h=c -45 , h X極大值二h -1 =C 7 ,h I X 極小值=h2=C-20, h 3 =C 9,.hmmX=h3 =c_45，由 C -45 .丄0，得 C.丄45。3. 【答案】c_J【解析】據(jù)題意：存在I-3,3 ,使f X勻x成立，即為：hx=gx-fx_0在I-3,3 I有解，故 hmax X _0，知 hmax X j=C_0，于是得 C。4. 【答案】c -195【解析】 它與(1 )問雖然都是不等式恒成立問題， 但卻有很大的區(qū)別，對任意X1 , X2 2,3 , 都有f X1

14、g x2成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，X1 , X2的取值在G3 上具有任意性，.要使不等式恒成立的充要條件是：fmax(X)乞gmin(X)?X【弋。：f (x )=7(x2 2 c 28,x壬 I3,3 . f (X 爲(wèi)=f戸47 c ,/ g X =6x2 8x -40 =2 3x 10 x-2g x =0 在區(qū)間 l_3,3 I上只有一個解 x =2。g(x 瓜=g(2 )=78 ,. 147c 蘭48，即 cH195.5.【答案】c _ -130【解析】存在Xi，X23,3 ,都有f各乞g X2 ,等價于fmin咅冬gmax *2 ，由得fmin X1 - f 2 = c

15、- 28 , g max X2 - g _3 - 102，c 28 _ 102 = C 一 -30 拔高13221. 設(shè)函數(shù) f (x) x 2ax -3a x b (0 ： a ： 1, b R).3(i)求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間和極值；(n)若對任意的xa+1, a+2,不等式(x蘭a成立，求a的取值范圍。2. 設(shè)f x二px -q -21n x，且f e二qe -衛(wèi)-2( e為自然對數(shù)的底數(shù))xe(1) 求p與q的關(guān)系；(2) 若f X 在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；答案與解析1. 【答案】見解析.【解析】(I) f (x -x2 4ax-3a2令f (x)0,得f (x)的單調(diào)

16、遞增區(qū)間為(a,3a)令f(x)：0,得f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一二，a)和(3a,：)3 3當(dāng) x = a 時，f (x)極小值=一 a b;4當(dāng) x =3a 時，f (x) 極小值=b .(n)由 |f(x)|-a，得一 a - x2 4ax 3a2 _ a .- f (x)二-x2 4ax-3a2在a 1,a 2上是減函數(shù).于是，對任意x a 1,a2，不等式恒成立，等價于a 蘭 4a 4, &刀/戸 44丿解侍一蘭a 蘭1.又0a：1,a 畠 2a-1.55見解析.【解析】（1)由題意得 f e =pe-q-2lne=qe-衛(wèi)-2 =ee所以p = q(2 )由 I知 f x i

17、= px -衛(wèi) - 2In x , f x = p 一 2x7x2xpx2 2x pX2令h x二px2 -2x p，要使f x在其定義域（0, ：）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需 h x 在（0, ：）內(nèi)滿足：hx_0或h x 0恒成立.2 當(dāng)p乞0時，px 0, -2x ：0= h x : 0，所以f x在（0, V）內(nèi)為單調(diào)遞減，故P乞0 ；2 當(dāng)p 0時，h x = px -2x p，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為1x 0，:,P111 hmin（x） = h =P-，只需 p工0，即 P1 時，h（x）蘭 0 , f（X）K0 , IP 丿pPf x 在（0, ：）內(nèi)為單調(diào)遞增，故p -1適

18、合題意.綜上可得，P-1或p0.五課堂小結(jié)高考中對導(dǎo)數(shù)在結(jié)數(shù)上的應(yīng)用要求很高，而且每年都有考題，用導(dǎo)數(shù)證明不等式，一般以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性比較大，有難度，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中一定要突破這個難關(guān)，提供綜合應(yīng)用知識的能力。為了解決好下面的問題， 我們一定要學(xué)好導(dǎo)數(shù)這一知識點，掌握它的研究問題的精髓，這樣有利于更好的研究函數(shù)，提高做題的質(zhì)量。本節(jié)課主要研究的內(nèi)容為：(1 )函數(shù)中含參數(shù)的單調(diào)性與最值(2 )函數(shù)中的最值問題(3) 用導(dǎo)數(shù)證明不等式六、課后作業(yè)基礎(chǔ)1.對于滿足 p蘭2的所有實數(shù)p,求使不等式x2+px + 1np+2x恒成立的x2存在實數(shù)x，使得不等式x 3 xln2 1 且 x

19、0 時，exx2 2ax+ 1.答案與解析1.【答案】見解析【解析】不等式即x -1 p 2x 1 0,設(shè)f p二x -1 p 2x 1f|f(2)04x + 3a0x3 或 x0公1 或x，x 3的取值范圍。，則f p在=X ” 一1 或【解析】設(shè)f x =x W 一1，由f x勺-3a有解,= a2 _ 3a 丄 f2. 答案】見解析又 x 3 x _ x x-K=4 , a2 3a _4，解得 a _4或a 乞1。3. 【答案】見解析【解析】(1)解：由 f(x) = ex 2x+ 2a, x R 知 fx)= ex 2, x R.令fx)= 0,得x= In2.于是當(dāng)x變化時，f x)

20、, f(x)的變化情況如下表:x(a, ln2)In2(In2, + a)fx)一0+f(x)單調(diào)遞減42(1 In2 + a)單調(diào)遞增/故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一汽In2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(In2 , + m),f(x)在 x= In2 處取得極小值，極小值為f(ln2) = eln2 2ln2 + 2a= 2(1 In2 + a).x 2 x(2)證明：設(shè) g(x)= e x + 2ax 1, x R,于是 gx)= e 2x+ 2a, x R. 由知當(dāng) aln2 1 時，g x)最小值為 g (In2)2(1 In2 + a)0.于是對任意x R，都有g(shù) x)0，所以g(x)在 R內(nèi)

21、單調(diào)遞增.于是當(dāng)aln2 1時，對任意x (0, + 都有g(shù)(x)g(0).而 g(0) = 0,從而對任意 x (0,+a), g(x)0.即 ex x2 + 2ax 10，故 exx2 2ax+ 1.1. 鞏固數(shù)f x = Inx ax, g x = ex ax，其中a為實數(shù).若f x在(1,+：)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1,+：)上有最小值，求 a的取值范圍.322. 已知函數(shù)f(x) =x -3x x 2，當(dāng)k 1時，曲線y= f(x)與直線y = kx-2只有一個 交點。xx3. 設(shè)函數(shù)f x=1-e .證明：當(dāng)x -1時，f x -x+1答案與解析1 .【答案】見解析1 1 一 ax【解析】令f x二一一a=0，考慮到f x的定義域為(0,xx故a0,進(jìn)而解得x a S即f x在(a ；+：)上是單調(diào)減函數(shù).同理，f(x 在 (0, a 1)上是單調(diào)增函數(shù).由于f(x 在 (1, +)上是單調(diào)減函數(shù)，故(1,+ )(a1,+:)，從而 a一1 乞1，即 a _1.令 g x = ex