直接證明與間接證明課件

1、2.2 直接證明與間接證明,2.2.1 綜合法和分析法 2.2.2 反 證 法,綜合法和分析法，是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問題時常用的思維方式.,一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立. 其特點是“由因?qū)Ч?,1.綜合法:(順推證法或由因?qū)Ч?,則綜合法可用框圖表示如下：,用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論.,例:,已知a0,b0,求證a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc,證明:, b2+c2 2bc,a0 a(b2+c2) 2abc.,又 c2+a2 2ac,b0 b(c

2、2+a2) 2abc., a(b2+c2)+b(c2+a2) 4abc.,在ABC中，三個內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證ABC為等邊三角形,分析,將A，B，C成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號語言就是2B=A+C；,A，B，C為ABC的內(nèi)角，這是一個隱含條件，即A+B+C=180；,此時，如果能把角和邊統(tǒng)一起來，那么就可以進(jìn)一步尋找角和邊之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求.于是，可以用余弦定理進(jìn)行證明.,證明：,由A，B，C成等差數(shù)列，所以,由A，B，C為C的內(nèi)角,所以,+=180,2.分析法(逆推證法或執(zhí)果索因法),從要證明

3、的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知,定理,定義,公理等).,特點：執(zhí)果索因,我們也可以用框圖來表示分析法：,分析法的適用范圍：,當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接證明需要用哪些知識不太明確具體時，往往采用從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，逐步反推，尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件.,證明:要證 只需證: 只需證: 只需證: 因為: 成立 所以 成立,證明：,注：反證法是最常用的間接證法,一般地，假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾, 因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法,3.反證法(歸謬法),1.

4、反證法的步驟：,否定結(jié)論推出矛盾肯定結(jié)論， 即分三個步驟：反設(shè)歸謬存真,反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 即假定原命題的反面為真；,存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不成立，從而 肯定原結(jié)論成立。,歸謬從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的 推理,得出矛盾；,（1）直接證明有困難,正難則反!,（3）唯一性命題,（2）否定或肯定性命題,（4）至多，至少型命題,2.適宜用反證法證明的題型,例1：已知a0，證明x的方程ax=b有且只有 一個根。,證明：由于a 0，因此方程至少有一個根x=b/a，, 如果方程不只一個根，不妨設(shè)x1,x2 （x1 x2 )是方程的兩個根.,所以a=0,這與已知矛盾,例2: 設(shè)0 a, b, c 1， 求證:(1 a)b, (1