拉普拉斯變換(自動控制原理)

1、拉普拉斯變換,-補充內容,拉普拉斯變換(自動控制原理),一、什么叫做拉普拉斯變換,古典的求解微分方程的方法，求解過程比較繁瑣，而且只能處理一些比較簡單（一階或二階的微分方程）。 而對我們以后要面對的自動控制系統(tǒng)將包含很多環(huán)節(jié)，它們之間的變化互相制約著。如果還要通過古典法求解微分方程來分析自動控制系統(tǒng)，那將是一個是分困難和不切實際的。,拉普拉斯變換(自動控制原理),拉普拉斯變換為我們提供了一種簡單的求解微分方程的方法，是我們進行系統(tǒng)分析的一個很好數(shù)學的工具。 拉普拉斯變換是將一個時域函數(shù)f(t)變換成一個復數(shù)域的函數(shù)F(s),像函數(shù),原函數(shù),這里像函數(shù)的具體形式取決于原函數(shù)的具體形式，也就是說原

2、函數(shù)和像函數(shù)是一一對應的。,拉普拉斯變換(自動控制原理),假如已知F(s）又可以通過拉斯反變換求出原函數(shù)，即：,到此大家可能會問：為什么要進行拉普拉斯變換？是不是將問題復雜化了？,拉普拉斯變換(自動控制原理),大家在初等數(shù)學中都學過自然對數(shù)。；例如,其中a，b，c代表的已知的數(shù)值，當然我們可以直接用乘除法進行計算，但當這些數(shù)的數(shù)值較大，則乘除運算還是相當麻煩的。 為簡化計算起見，可以對上式去自然對數(shù)，這樣一來就可將原來的計算此結果的乘除運算變化為代數(shù)運算,要計算此結果可以先查對數(shù)表，進行計算，然后再查反對數(shù)表即可得到運算結果,拉普拉斯變換(自動控制原理),拉普拉斯變換的作用和對數(shù)計算有著相同的

3、功效，不過拉斯變換不象對數(shù)那樣只是一個數(shù)與數(shù)之間的變換，而是函數(shù)與函數(shù)之間的變換。利用拉斯變換可以把解微分方程中遇到的微分、積分的運算簡化為關于s的代數(shù)運算，因此簡化了解微分方程的求解過程。 和對數(shù)運算一樣，在拉普拉斯變化的運算中也有現(xiàn)成的變換表可查，不需要運用定義去進行復雜的積分運算,拉普拉斯變換(自動控制原理),二、拉斯變換主要運算定理,拉斯變換之所以好用，就是因為它具有一些可以加以利用的基本性質，下面的幾條主要運算定理就是闡明拉斯變換的性質，只有掌握了這些的定理才能發(fā)揮拉斯變換的作用。 下面就簡述一下它的幾個主要定理,拉普拉斯變換(自動控制原理),1、疊加定理,疊加定理告訴我們，如果,那

4、么：,即：,拉普拉斯變換(自動控制原理),證明：按定義,推廣,拉普拉斯變換(自動控制原理),2、微分定理,微分定理是拉普拉斯變換的核心定理，為什么利用拉斯變換可以將微分、積分的運算簡化為一般的代數(shù)運算？它的依據(jù)就是微分定理,微分定理告訴我們,如果：,下面我們進行證明,拉普拉斯變換(自動控制原理),證明：依據(jù)拉斯變換的定義，有,上式利用分部積分法進行積分，現(xiàn)令,拉普拉斯變換(自動控制原理),微分定理得以證明,拉普拉斯變換(自動控制原理),依次類推，求三階導 的拉斯變化,拉普拉斯變換(自動控制原理),推廣之,拉普拉斯變換(自動控制原理),當在零初始條件下,以上各階導數(shù)的拉斯變換為：,也就是說，對原

5、函數(shù)每進行一次微分后的拉斯變換就相當于它像函數(shù)用s來乘一次。這里將微分運算簡化為乘以s，這就是拉斯變換的奧妙之處,拉普拉斯變換(自動控制原理),3、積分定理,積分定理告訴我們，如果,拉普拉斯變換(自動控制原理),證明：根據(jù)拉斯變換的定義 將f(t)看成是 的導函數(shù),根據(jù)微分定理,所以,定理得以證明,拉普拉斯變換(自動控制原理),在此基礎上加以推廣，求二次積分 拉斯變換，同理將 看成為 的導函數(shù),所以,拉普拉斯變換(自動控制原理),在零初始條件下,也就是說，原函數(shù)每積分一次的拉斯變換，即相當于它的像函數(shù)用s來除一次,拉普拉斯變換(自動控制原理),4、位移定理,位移定理告訴我們,如果,則,證明：

6、根據(jù)拉斯變換的定義,又上式可見：上式只是在F(s)中的s由（s-a）代替即可，這個性質表明一個原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù) 等于其象函數(shù)作位移a,拉普拉斯變換(自動控制原理),5、延時定理（第二位移定理）,f(t),f(t-z),z,若,則根據(jù)卡斯變換定義，有,令t-z=u,拉普拉斯變換(自動控制原理),6、初值定理和終值定理,1）初值定理,此定理表明，原函數(shù)在t=0時情形與像函數(shù)在s時的情形有著密切的關系，既有：,證明：根據(jù)拉斯變換的微分定理,拉普拉斯變換(自動控制原理),上式中的f(0)是一個常數(shù)，與s無關，因此,從另一個角度看，又有,固有,所以,拉普拉斯變換(自動控制原理),此性質表明函數(shù)f(t)

7、在t=0時函數(shù)的值可以通過f(t)的像函數(shù)F(s)乘以s取s的極限值而獲得它，建立原函數(shù)f(t)在坐標原點的值與像函數(shù)sF(s)在s的值之間的關系。,2）終值定理,次定理表明，原函數(shù)f(t)在t時的情形與像函數(shù)F(s)在s0時的情形有著密切的關系，即,拉普拉斯變換(自動控制原理),根據(jù)拉斯變換的微分定理,上式中f(0)是一常數(shù)，與s無關,從另一個角度看，又有,拉普拉斯變換(自動控制原理),所以,拉普拉斯變換(自動控制原理),這個性質表明函數(shù)f(t)在t時的函數(shù)值（即穩(wěn)態(tài)值），可以通過f(t)的像函數(shù)乘以s取s0時的極限值而得到。它建立了函數(shù)f(t)在無限遠的值與函數(shù)sF(s)在原點的值之間的關系。,7、拉斯反變換,上面介紹的是拉普拉斯變換的線性定理，同樣也有與之對應的拉普拉斯反變換。拉普拉斯反