考點(diǎn)四十二橢圓

1、玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂考點(diǎn)四十二橢圓知識(shí)梳理1 橢圓的概念把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn) F 1， F 2 的距離之和等于常數(shù) (大于 |F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作橢圓這兩個(gè)定點(diǎn) F 1， F2 叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn) F 1， F2 間的距離叫作橢圓的焦距橢圓定義用集合語(yǔ)言表示如下：P M|MF 1| |MF 2| 2a ， |F 1F 2| 2c，其中 a0， c0，且 a， c 為常數(shù)在橢圓定義中，特別強(qiáng)調(diào)到兩定點(diǎn)的距離之和要大于|F 1F 2|當(dāng)?shù)絻啥c(diǎn)的距離之和等于|F 1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F 1F 2；當(dāng)?shù)絻啥c(diǎn)的距離之和小于|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾

2、何性質(zhì)x2y2y2x2標(biāo)準(zhǔn)方程a2 b2 1a2 b2 1( ab0)( ab0)圖形范圍 a xa b xb b yb a ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)， A2(a,0)A1 (0， a)， A2(0， a)B1(0， b)， B2(0， b)B1(b,0)， B2(b,0)性質(zhì)軸長(zhǎng)軸 A1A2 的長(zhǎng)為2a；短軸 B1B2 的長(zhǎng)為 2b焦距|F 1F2| 2c離心率e c (0,1)aa，b， cc2 a2 b2的關(guān)系說(shuō)明： 當(dāng)焦點(diǎn)的位置不能確定時(shí)，橢圓方程可設(shè)成Ax2 By21 的形式，其中A， B 是不相22等的正常數(shù)，或設(shè)成x2y22 n2m n 1(m)

3、的形式3 點(diǎn) P(x0， y0)和橢圓的關(guān)系x02y02(1) 點(diǎn) P(x0， y0)在橢圓內(nèi) ? a2b21.4 橢圓的焦點(diǎn)三角形有關(guān)結(jié)論橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形，與之有關(guān)的常用結(jié)論有：(1)|PF1 | |PF 2| 2a；(2)4c2 |PF 1|2 |PF 2|2 2|PF 1| |PF 2|cos ； (其中， F1 PF2)(3) 當(dāng) P 為短軸端點(diǎn)時(shí)， 最大(4) S PF F1|PF 1|PF 2|sin sin 22b b tan c|y0|.1 221 cos 2當(dāng) y0 b，即 P 為短軸端點(diǎn)時(shí)， S PF 1F2 有最大值為 bc.(5) 焦點(diǎn)三角

4、形的周長(zhǎng)為 2(ac) 5 橢圓中的弦長(zhǎng)公式(1) 若直線 y kx b 與橢圓相交于兩點(diǎn)A(x1 ，y1 )， B(x2，y2)，則|AB| 121 k |x1 x2|12|y1 y2|.k(2) 焦點(diǎn)弦 (過(guò)焦點(diǎn)的弦 ) ：最短的焦點(diǎn)弦為通徑長(zhǎng)2b2，最長(zhǎng)為 2a.a6 橢圓中點(diǎn)弦有關(guān)的結(jié)論x22y的弦， A(x1， y1)， B(x2， y2)，弦中點(diǎn) M (x0， y0)AB 為橢圓 a2 b2 1(ab0)(1)b2 x0斜率： k 2 .a y02b(2)弦 AB 的斜率與弦中點(diǎn)M 和橢圓中心 O 的連線的斜率之積為定值a2.典例剖析題型一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程例 1(1) 已知中心

5、在原點(diǎn)的橢圓C 的右焦點(diǎn)為 F(1，0) ，離心率等于1，則 C 的方程是 ()222222222A.x y 1B. x y 1C. x y 1D. x y 1344342432 2(2) 設(shè) P 是橢圓 x y 1 上的點(diǎn)，若 F1 、F2 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， 則 PF1F 2 的周長(zhǎng)為 _ 25 16答案(1)D(2) 16解析(1)由題意知 c 1，e c1，所以 a 2，b2 a2 c2 3.故所求橢圓方程為x2 y2 1.a243玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂(2) PF 1F 2 的周長(zhǎng)為 |PF 1| |PF 2| |F1F2| 2a 2c 106 16.變式訓(xùn)練已知橢圓的中心在原點(diǎn)

6、，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1( 6， 1)，P2( 3， 2) ，則橢圓的方程為 _22答案x y 193解析設(shè)橢圓方程為 mx2 ny2 1(m0， n0，且 m n)橢圓經(jīng)過(guò) P1， P2 兩點(diǎn)，P1， P2 點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程，6m n 1，則3m 2n 1，1m 9，兩式聯(lián)立，解得1n3.22xy所求橢圓方程為1.解題要點(diǎn)1.求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程一般用待定系數(shù)法，如果能確定焦點(diǎn)位置，則設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2y2x222a2 b21(a b 0)或 a2b21(a b 0)，若焦點(diǎn)位置不明確，可設(shè)橢圓的方程為Ax By 1(A 0，B 0， A B)2.若 P 是橢圓上一點(diǎn)，則由橢圓定義

7、可知，|PF 1| |PF 2| 2a，從而 PF 1F 2 的周長(zhǎng)為 |PF 1|PF 2| |F 1F 2| 2a2c題型二二次方程表示橢圓的條件22例 2“ 2m0 ，6 m0 ，m2 6 m， 2 m6 且 m 4.故“ 2m0解析由已知得k 30，解得 3 kb0) 的兩焦點(diǎn)為 F1、F 2，以 F 1F2 為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為_答案3 1解析設(shè)過(guò)左焦點(diǎn) F1 的正三角形的邊交橢圓于A，則 |AF 1| c，|AF2 |3c，有 2a (1 3)c，e c2 31.a 1 3x2y24變式訓(xùn)練橢圓 94 k 1 的離心率為5，則 k 的值

8、為 ()A 21B 21C19或 21D.19或 212525答案C解析 若 a29， b2 4 k，則 c 5 k，由 c 4，即5 k4，得 k 19；a53525若 a2 4 k， b2 9，則 c k 5，由 c 4，即k 54，解得 k21.a54 k5解題要點(diǎn)橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率 (或離心率的取值范圍 )有兩種方法：c；(1) 求出 a， c 代入公式 e a(2) 只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c 的齊次式， 結(jié)合 b2 a2 c2 轉(zhuǎn)化為 a，c 的齊次式，然后等式 (不等式 )兩邊分別除以a 或 a2 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 e 或 e2 的方程 (不等

9、式 )，解方程 (不等式 )即可得 e(e 的取值范圍 )需要注意的是，若焦點(diǎn)位置未指明在x 軸還是 y 軸，則應(yīng)進(jìn)行討論題型四直線與橢圓的位置關(guān)系玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂例 4過(guò)橢圓 x2 y2 1 的右焦點(diǎn)作一條斜率為2 的直線與橢圓交于A，B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原54點(diǎn)，則 OAB 的面積為 _答案53解析由題意知橢圓的右焦點(diǎn)F 的坐標(biāo)為 (1， 0)，則直線 AB 的方程為 y 2x2.聯(lián)立x2 y2 154)， SOAB114 554，解得交點(diǎn) A(0，2)，B(，2|OF|yA yB |1|2 | .y 2x 233233變式訓(xùn)練已知橢圓 x2 y21 以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(4,2)

10、，則以 P 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率369為()11A. 2B 2C 2D2答案B解析設(shè)弦的端點(diǎn) A(x1 ， y1 )， B(x2， y2)，x12 y121，則 x1 x2 8， y1 y2 4，369兩式相減，22x2 y2 1，36 9得 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0，3692 x1 x24 y1 y2， ky1 y2199 x2.x12說(shuō)明：本題也可以直接利用結(jié)論：kb2x09 41a2 .y036 22解題要點(diǎn)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，一般可以直接聯(lián)立方程，“設(shè)而不求”， 把方程組轉(zhuǎn)化成關(guān)于x 或 y 的一元二次方程， 利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求解同時(shí)

11、，還應(yīng)記住一些常用結(jié)論：(1)中點(diǎn)弦斜率： kb2x02b22 .； (2)最短的焦點(diǎn)弦為通徑長(zhǎng)，最長(zhǎng)為 2a.a y0a21(3) 弦長(zhǎng)公式 |AB|1 k |x1 x2|1k2|y1 y2|.當(dāng)堂練習(xí)x2y21(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1、 F 2，離心率為3的直線 l 交1已知橢圓 C： 2 23，過(guò) F2abC 于 A、 B 兩點(diǎn)若 AF 1B 的周長(zhǎng)為4 3，則 C 的方程為 ()222C. x2222A. x y 1B.x y21 y 1D. x y 1323128124玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂答案A解析由 e3 c3，得a33 .又 AF1B 的周長(zhǎng)為43，由橢圓定義， 得4a

12、 43，得 a3，代入得c1，2 2 b2 a2 c2 2，故 C 的方程為 x y 1. 3 22（ 2015 新課標(biāo)文） 已知橢圓1，E 的右焦點(diǎn)與拋物線C：E 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)， 離心率為 2y2 8x 的焦點(diǎn)重合， A，B 是 C 的準(zhǔn)線與 E 的兩個(gè)交點(diǎn)，則 |AB|等于 ()A 3B 6C 9D 12答案B解析c128x 的焦點(diǎn)為 (2,0) ，所以 c2， a 4，故橢圓方程為x2y2 1，因?yàn)?e ，y1612a2將 x 2 代入橢圓方程，解得y 3，所以 |AB| 6.x2y2F1， F2，焦距為 2c.若直線 y 3(x c)3. 橢圓 ：a2b2 1(a b 0)的左、右

13、焦點(diǎn)分別為與橢圓 的一個(gè)交點(diǎn) M 滿足 MF 1F22 MF 2F1，則該橢圓的離心率等于_ 答案3 1解析直線 y3(x c)過(guò)左焦點(diǎn)F 1，且其傾斜角為60， MF 1F2 60， MF 2F1 30， F1MF 2 90，即 F1M F2M. |MF 1 | c， |MF 1| |MF 2|2a， |MF 2 | 2a c. |MF 1 |2 |MF2 |2 |F1 F2 |2. c2(2a c)2 4c2，即 c2 2ac2a2 0. e22e 2 0，解得 e 31.22的焦點(diǎn)在 y 軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m 的值為 ()4橢圓 x my 11B. 1C.2D.4A. 42答

14、案A玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂解析將原方程變形為2y2212x 1，由題意知 a ， b 1，1mma1， b 1.11m2， m .m4故應(yīng)選 A.5已知 ABC 中， A、 B 的坐標(biāo)分別為 (2,0)和 ( 2,0)，若三角形的周長(zhǎng)為10，則頂點(diǎn) C 的軌跡方程是 ()22222222A x y 1(y 0)B x y 1(x 0)C x y 1(y 0)D x y 1(x 0)955936203236答案A解析點(diǎn) C 到兩個(gè)定點(diǎn) A、 B 的距離之和為6,64 ，故所求點(diǎn) C 的軌跡是以 A、 B 為焦點(diǎn)的22橢圓，其中 2a 6,2c 4，則 b2 5.所以頂點(diǎn) C 的軌跡方程為 x

15、 y 1，95又 A、 B、 C 三點(diǎn)不共線，即y 0，故選 A.課后作業(yè)一、 選擇題x2y21 （ 2015 廣東文）已知橢圓25 m2 1(m0) 的左焦點(diǎn)為 F1(4,0)，則 m 等于 ()A 2B 3C 4D 9答案B解析由題意知25 m2 16，解得 m2 9，又 m0，所以 m 3.22x y 1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為()2過(guò)點(diǎn) A(3， 2)且與橢圓 94x2y2x2y2x2y2x2y2A15101B 25 20 1C 1015 1D 20 15 1答案A解析由題意得 c2 9 4 5，又已知橢圓的焦點(diǎn)在x 軸上，故所求橢圓方程可設(shè)為x2y2A 的坐標(biāo)得94或 1( 0)，代

16、入點(diǎn) 1，解得 10 5 5x2y2 2(舍去 )故所求橢圓的方程為15 10 1.故選 A.x2 y2 1 的離心率，且e (1， 1)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 ()3設(shè) e 是橢圓 4k21616A (0,3)B(3， 3 )C (0,3) ( 3 ， )D (0,2)答案C玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂解析當(dāng) k4 時(shí)， c k 4，由條件知1k 416；4k 3當(dāng) 0k4 時(shí)， c4 k，4 k，解得 0 k3，綜上知選 C.由條件知 14b0) 于 A， B 兩點(diǎn)，若點(diǎn)ab中點(diǎn)，則 C 的離心率等于 ()1233A. 2B.2C. 4D.2答案D解析k 1， kOP 1，由AB22e

17、c 1b232.aa2211b221kABkOPb)b2，得 (a2. 2 .a22a4227設(shè) F1， F分別是橢圓 C： x2y2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P 在橢圓 C 上，線段 PF12a b 1(ab0)的中點(diǎn)在y 軸上，若 PF 1F2 30，則橢圓的離心率為()1133A. 6B. 3C. 6D.3答案D解析設(shè) PF 1 的中點(diǎn)為 M，連接 PF2，由于 O 為 F1F2 的中點(diǎn)， 則 OM 為 PF1F2 的中位線，所以 OMPF2.玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂所以 PF2F 1 MOF 1 90.由于 PF1F 2 30，所以 |PF 1| 2|PF2|.由勾股定理，得22|F1F2|

18、|PF1| |PF2 | 3|PF 2|.由橢圓定義，得3|PF 2|3|PF2|? c3|PF 2|2a |PF 1| |PF2|3|PF 2|? a， 2c |F1 F2|2.2所以橢圓的離心率為 e c 3|PF2| 2 3.故選 D.a23|PF2 | 3x2y28（ 2015 福建文）已知橢圓E： a2 b2 1(ab 0)的右焦點(diǎn)為 F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線 l：3x 4y 0 交橢圓 E 于 A，B 兩點(diǎn)若 |AF| |BF| 4，點(diǎn) M 到直線 l 的距離不小于4，5則橢圓 E 的離心率的取值范圍是 ()333D.3A.0， 2B.0， 4C.2 ， 1，14答案A解析左焦

19、點(diǎn) F 0，連接 F 0A，F(xiàn) 0B，則四邊形 AFBF 0 為平行四邊形 |AF| |BF| 4， |AF| |AF 0| 4， a2.設(shè) M(0 ，b)，則 4b4， 1b 2. 5 522 b22離心率 e cc2a4 b 0，3 ，故選 A.2aaa42二、填空題9橢圓x22的弦被點(diǎn)11 y 1(， ) 平分，則這條弦所在的直線方程是_222答案 2x4y 30玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂解析設(shè)該弦與橢圓相交于點(diǎn)11A(x1 ，y1)，B(x2，y2)，則由點(diǎn) (， )平分弦 AB 可得 x1 x2 1，22y1 y2 1，再將點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2)代入橢圓方程后作差可得

20、kAB 1，然后根據(jù)點(diǎn)斜式2方程可求得直線 AB 的方程為2x 4y 3 0.210已知 ABC 的頂點(diǎn) B、 C 在橢圓x y2 1 上，頂點(diǎn) A 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另3外一個(gè)焦點(diǎn)在 BC 邊上，則 ABC 的周長(zhǎng)是 _答案4 3解析如圖，設(shè)橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)為F，則 ABC 的周長(zhǎng)為 |AB| |AC| |BC| (|AB| |BF|)(|AC | |CF |) 4a 43.11設(shè) F1、F2 分別是橢圓 x2 y2 1 的左、右焦點(diǎn)， P 為橢圓上一點(diǎn)， M 是 F1P 的中點(diǎn)， |OM|25163，則 P 點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)距離為_答案4解析 |OM| 3， |PF 2| 6，又 |PF1| |PF2 | 10， |PF1 | 4.三、解答題12（ 2015 安徽文）設(shè)橢圓x2y2A 的坐標(biāo)為E 的方程為 a b 1(ab0)，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)