1.坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換

1、第七章解析幾何與微分幾何解析幾何是運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，它的主要研究對象是直線、平面、二次 曲線與二次曲面.微分幾何是運(yùn)用無窮小分析方法研究幾何圖形的性質(zhì)，它的主要研究對象是 曲線與曲面.本章的所有內(nèi)容都只在歐氏（沒有包括仿射和射影）空間中討論全章有十一節(jié)前六節(jié)屬于解析幾何，敘述了平面及空間的坐標(biāo)系、坐標(biāo)變換與基本計算 公式；平面上和空間中直線與平面方程的各種形式以及它們之間的相互關(guān)系，較詳細(xì)地列出 了各種類型的二次曲線和二次曲面的基本元素、標(biāo)準(zhǔn)方程、主要性質(zhì)和各量的計算公式最后還從一般的二次方程出發(fā)研究了二次曲線與二次曲面的一般性質(zhì)，并利用不變量寫出標(biāo)準(zhǔn)方 程和形狀的判定.后五節(jié)的

2、內(nèi)容屬于微分幾何，關(guān)于曲線論這里給出了：平面曲線和空間曲線的雪列-弗萊 納公式和基本定理，以及它們的曲率、撓率的概念和計算公式；等距線、漸開線、漸屈線和 包絡(luò)線的定義和方程，較詳細(xì)地收集了重要平面曲線和一些特殊空間曲線的方程、圖形及其 各種特征關(guān)于曲面論這里只敘述了幾個特殊曲面的方程、圖形和性質(zhì)，并且給出曲面的基本 元素（弧長、面積、夾角、切面、法面等方程和公式 ）、基本形式、基本方程、基本定理、曲 率線、漸近曲線、共軛曲線、測地線與法曲率、測地曲率、總曲率、平均曲率、波恩涅公式 等本章中凡是有關(guān)矢量的概念、運(yùn)算和公式，請查閱第八章 1坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換平面坐標(biāo)系及其變換表坐標(biāo)系與圖形公式與說

3、明yI0nIV笛卡兒直角坐標(biāo)系象限I II III IVx+ - - +y+ + - -Ox為橫軸，Oy為縱軸M（x, y） x為橫坐標(biāo)y為縱坐標(biāo)1,11，III，IV為四個象限，在各個象限里點(diǎn)的坐標(biāo) x 和y的符號為O為極點(diǎn)，Ox為極軸M(,)為矢徑(0： ：)為極角(亠 0) xy兀 + arctan丄 (x 0)L -xx = X +gy Y h這里x, y表示舊坐標(biāo)，X, Y表示新坐標(biāo)，g, h是新坐 標(biāo)系原點(diǎn)0在舊坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)x = X cos。一丫 sina=X sina +Y cosaa為坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角任一坐標(biāo)變換都可以分解為坐標(biāo)軸的平移與坐標(biāo)軸 的旋轉(zhuǎn)兩部分x = g

4、+ X cos。-Ysin。y = h + X sina +Ycos?？臻g坐標(biāo)系及其變換表坐標(biāo)系與圖形公式與 說 明笛卡兒直角坐標(biāo)系Ox為橫軸，Oy為縱軸，Oz為豎軸M(x, y, z)x為橫坐標(biāo)y為縱坐標(biāo) z為豎坐標(biāo)1VIII為八個卦限，在各個卦限里點(diǎn)的坐標(biāo) x, y, z的符號為卦限I IIIIIIVVVI VII VIIIx+- - +y z+-+ - -+- - -坐標(biāo)系與圖形公 式 與 說 明;?,:為點(diǎn)M在Oxy平面上投影的極坐標(biāo)，z為點(diǎn) M到Oxy平面的距離.這里0 二:二: : z ： ：球面坐標(biāo)系（極坐標(biāo)系）圓柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的 互換r為矢徑長（OM），:為經(jīng)度，二為緯度（

5、或極距角） 這里0 - r :nO ad0 _ J :二球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互換x= Pcos申y = Psin 申z = zx = r sin。cos申* y = rsinBsin申z = r costP =譏2 +y2 = arcta n 上=arcsin * x卩z = zr = Jx2 十 y2 +z2 = arcta n坐標(biāo)軸的平移X = X + gy =Y +hz = Z + k式中x, y, z為舊坐標(biāo)；X, Y, Z為新坐標(biāo)；g, h, k 為新坐標(biāo)系原點(diǎn)O，在舊坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)按下表給出新坐標(biāo)軸OX, OY，OZ的方向余弦時新坐標(biāo)軸方向余弦（見4）OXOYOZ11 mini12

6、 m2n213 m3n3則W有X =IiX +SY +I3Zy = mjX + m2Y +m3Z z = m X + n2Y + n3Z歐拉角新坐標(biāo)軸的位置也可以用三個所謂歐拉角來確定（見上圖）:（i）章動角二為0Z與Oz兩軸正向夾角（Q-）.（ii）進(jìn)動角為OA與Ox的夾角（0乞：2二），OA為OXY與Oxy兩平面的交線，面對Oz軸的正向，按逆時針方向從Ox軸開始計算.（iii）自轉(zhuǎn)角為OA與OX的夾角（0：2二），面對OZ軸正向，按逆時針方向從 OX 軸開始計算若設(shè)C1=8SB， C2=COS ， C3=COS ： si=sin B， S2=sin， S3=sin則ll = C2C3 - C1S2S3,mi = S2C3 + C1C2S3，ni =S1S3丨2 = - C2S3 -C1S2C3,m2 = -S2S3+C1C2C3,n2 =S1C3I3 = S1S2,m3 = - S1C