專題六數(shù)列第十八講數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、專題六數(shù)列第十八講數(shù)列的綜合應(yīng)用2019 年1. (2019 浙江 10)設(shè) a, b R，數(shù)列an中 an=a, an+1=an2+b, n N ，則1A .當(dāng) b=2 時，a10 101B . 當(dāng) b=4 時，a10 10C.當(dāng) b=-2 時，aio 10D.當(dāng) b=-4 時，aio 102. (2019浙江20)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn , 83 4 , 84 S3，數(shù)列bn滿足:對每個n N ,Sn bn,Sn 1 bn,Sn 2 bn成等比數(shù)列.(1 )求數(shù)列an， bn的通項公式;(2)記 Cn J-a,n N ,證明：c, c2+L Cl 2jn,n N . V2bn3.(

2、 2019江蘇20)定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為(1)已知等比數(shù)列an (nN )滿足：a2a4a5 , a3 4a24a40 ,求證：數(shù)列an為“M數(shù)列”;(2)已知數(shù)列bn (n N1)滿足：b1匕龍2bn2bn 1其中Sn為數(shù)列 bn的前n項和.求數(shù)列bn的通項公式;設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M數(shù)列 ” Cn(n對任意正整數(shù) k,當(dāng)kmrn時，都有ck剟bk ck 1成立，求m的最大值.4(2019北京理20)已知數(shù)列an，從中選取第 若a ai2 L aim，則稱新數(shù)列ai1 ai? L 為i2imh項、第i2項、第im項i1 i2im ,an的長度為m的遞增子列。規(guī)定：數(shù)列an的

3、任意一項都是 an的長度為1的遞增子列。(I)寫出數(shù)列1,8,3,7,569的一個長度為4的遞增子列;(n)已知數(shù)列an的長度為P的遞增子列的末項的最小值為 am ，長度為q的遞增子列的末項的最小值為ano ,若pvq,求證：anom。an。；（m）設(shè)無窮數(shù)列an的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等，若遞增子列末項的最小值為 2S-1，且長度為s末項為2S-1的遞增子列恰有 求數(shù)列an的通項公式.an的長度為s的2s 1 個(s=1,2,、選擇題2010-2018 年1. （ 2017新課標(biāo)I）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了 解數(shù)學(xué)題獲取

4、軟件激活碼 ”的活動.這款軟件的激活碼為F面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1 , 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16其中第一項是20，接下來的兩項是20, 21，再接下來的三項是20, 21, 22，依此類推求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N 100且該數(shù)列的前 N項和為2的整數(shù)幕.那么該款軟件的激活碼是A. 440B. 330C. 220D . 1102. （2016年全國川）定義 規(guī)范01數(shù)列”an如下：an共有2m項，其中m項為0, m項為1，且對任意k 2m , a1,a2,L ,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m =4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有

5、(A) 18 個(B) 16個(C) 14 個(D) 12 個3 . (2015 湖北)設(shè) 42丄,anR , n 3 .若 P : a1,a2,L ,an 成等比數(shù)列；q22 2 22 a2 L an 1) (32 83an2)(a1a2 a2a3 L2an 1an )，則C.P是q的充分條件，但不是p是q的必要條件，但不是P是q的充分必要條件的必要條件的充分條件P既不是q的充分條件，也不是 q的必要條件4. （2014新課標(biāo)2）等差數(shù)列an的公差為2,若a2,a4,ag成等比數(shù)列，則a.的前n項和Sn =i992 2 15. (2014浙江)設(shè)函數(shù) f1(x) x , f2(x) 2(x

6、x ), f3(x) - |sin2 x|, ai3i 0,1,2,99，記Ik|fk(ai)fk(a0)|fk(a2) fk(ai)|1 fk (a99)f k (a98 ) 1，1,2,3.則二、填空題6.(2018 江蘇)已知集合 A x|x 2n 1,n N* , Bx|x 2n,n N*.將AU B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列an.記Sn為數(shù)列an的前n項和，則使得Sn 12an 1成立的n的最小值為7.（2015陜西）中位數(shù)為1 010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2 015，則該數(shù)列的首項（2014新課標(biāo)2）數(shù)列an滿足an 11,a? =2，貝y a-=1an9.（2

7、013重慶）已知an是等差數(shù)列,a1 1，公差d 0 , Sn為其前n項和，若a1, a2,a5成等比數(shù)列，則S810. (2011 江蘇)設(shè) 1a1 a2a7，其中a1,a3,a5,a7成公比為q的等比數(shù)列,a2, a4,a6成公差為1的等差數(shù)列，貝y q的最小值是211. （2011浙江）若數(shù)列n（n 4）G）n中的最大項是第k項，則k =3三、解答題12. （2018江蘇）設(shè)an是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，bn是首項為b，公比為q的等比數(shù)列.(1)設(shè)a10力1,q2，若 |an bn | D 對 n1,2,3,4均成立，求d的取值范圍;若a1b,0,m N*,q (1,旳,證明：存

8、在d R ,使得I an bn | b1對n 2,3, L , m1均成立，并求d的取值范圍（用bi,m,q 表示).13.（2017天津）已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn（ n N ） , bn是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0, b2 b312,b3a42ai， Sii 11b4.2（I）求an和bn的通項公式;（n）求數(shù)列a2nb2n 1的前n項和（n14.（2017浙江）已知數(shù)列Xn滿足：X1XnXn 1 ln(1Xn1)(n證明：當(dāng)n N*時0 Xn 1Xn ；(n)（川）2X X 乙入n 1 入n21 1 x 0 , n N* .(I)若 2a2, a3, a22成等差數(shù)列，求a

9、n的通項公式;2（n）設(shè)雙曲線X2爲(wèi)an4n 3n en 丁51的離心率為en,且e2 -,證明：e1 e2316.（2015湖北）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為Sn,等比數(shù)列bn的公比為q.已知 bla1, b22 ,q d , S10100.（I）求數(shù)列an,bn的通項公式;17.(n)當(dāng)d 1時,記Cn,求數(shù)列bnCn的前n項和Tn .（2015陜西）設(shè)fnX是等比數(shù)列1 ,Xn的各項和，其中X（I）證明：函數(shù)1Fn Xfn X 2在（一,1）內(nèi)有且僅有一個零點（記為Xn ),且（n）設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列,其各項和為gn X，比較fn X與gn

10、 X的大小，并加以證明.18.(2015重慶)在數(shù)列an中，a13 ,an 1 anan 12an 0(n N ).(I)若0,2，求數(shù)列an的通項公式;(n)若存。N ,ko 2),1，證明：213k01 ak0 12ko119.(2014山東)已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項和為Sn，且 S，S2，S4成等比數(shù)列.(I)求數(shù)列an的通項公式;(n)令 bn = ( 1)n 1anan 1,求數(shù)列bn的前n項和Tn.20.(2014浙江)已知數(shù)列 an和bn/ bn滿足 a1a2an V2 nN .若 an為等比數(shù)列,且 a12,b36(I)求an 與 bn ；(n)設(shè)1Cnan記數(shù)列cn

11、的前n項和為Sn .(i)求Sn ；(ii)求正整數(shù)k，使得對任意n N，均有 SkSn .21.(2014 湖南)已知數(shù)列 an滿足 a1 1,|an 1 an | pn,n(I)若 an是遞增數(shù)列，且31,2 32,833成等差數(shù)列，求 P的值;1(n)若P 2，且 a2n 1 是遞增數(shù)列， a2n是遞減數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式.(2014四川)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，點(an,bn)在函數(shù)f (x) 2x的圖象上(n N ).(I)若312，點(a8,4b7)在函數(shù)f (x)的圖象上，求數(shù)列an的前n項和& ；1(n)若a1 1，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線在x軸上的

12、截距為2 In 2求數(shù)列 哲 的前n項和Tn.bn23.(2014江蘇)設(shè)數(shù)列an的前n項和為S.若對任意正整數(shù) n，總存在正整數(shù) m，使得Sn am，則稱an是“ H數(shù)列”.(I)若數(shù)列an的前n項和Sn2n(n N )，證明：an是“ H 數(shù)列”;24.(n)設(shè)an是等差數(shù)列，其首項ai1，公差d0 若an是“ H數(shù)列”，求d的值;(川)證明:對任意的等差數(shù)列an，總存在兩個“ H數(shù)列” bn和Cn，使得anbn Cn ( nN )成立.(2013安徽)設(shè)數(shù)列 an滿足aia2a48 ,且對任意n N *，函數(shù)f(x) (an an 1 an 2)x an 1cosx-an 2 sin X

13、，滿足 f(一)02(I)求數(shù)列 an的通項公式;1(n)若bn 2( an ),求數(shù)列2anbn的前n項和Sn.25.(2013廣東)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足4Sna； 1 4n 1 ,n N，且a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列.(I)證明：a25;(n)求數(shù)列 an的通項公式;(川)證明：對一切正整數(shù) n ,a1a2a2 a3anan 126.(2013湖北)已知Sn是等比數(shù)列an的前n項和,S4 , S2 , S3成等差數(shù)列,且 32 a3 a418.(I)求數(shù)列an的通項公式;求出符合條件的所有 n的集合;(n)是否存在正整數(shù) n ,使得Sn 2013 ?若存在,若

14、不存在，說明理由.27.(2013江蘇)設(shè) an是首項為a，公差為d的等差數(shù)列 d 0 , Sn是其前n項和.28.29.30.記bn 爭二,n N*,其中c為實數(shù). n c(I)若 c 0,且 bi, b2, b4成等比數(shù)列，證明：Snkn2Sk k,n N* ；（n） 若bn是等差數(shù)列，證明：c 0.（2012山東）已知等差數(shù)列an的前5項和為105，且a。 2a5 .（I）求數(shù)列an的通項公式;（n）對任意m N*，將數(shù)列an中不大于72m的項的個數(shù)記為 * .求數(shù)列bm的前m項和Sm .（2012湖南）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入

15、生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50% .預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第 n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.（【）用d表示ai,a2，并寫出an i與an的關(guān)系式;（n）若公司希望經(jīng)過 m（m3）年使企業(yè)的剩余資金為年上繳資金d的值（用m表示）.（2012浙江）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn = 2n24000萬元，試確定企業(yè)每n , n N *,數(shù)列 bn滿足 an 4log 2 bn 3, n N .（【）求 an,bn；（n）求數(shù)列an bn的前n項和Tn .31.（2012山東）在

16、等差數(shù)列an中，a3 a4 a5 84, a?73（I）求數(shù)列 an的通項公式;（n）對任意的m N*，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間9m,92m內(nèi)的項的個數(shù)為bm，求數(shù)列bm的前m項和Sm .32.（2012江蘇）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列 an和bn滿足:an 1an33.34.35.36.2（I）設(shè)bn 1 1,n N，求證：數(shù)列b 是等差數(shù)列;anan（n）設(shè)bn 1 72 ,n N，且an是等比數(shù)列，求a1和的值. an（2011天津）已知數(shù)列an與bn滿足bn1an（2） 1 ,bn3 ( 1)n1,n N*,且a12.2(I)求(n)設(shè)（川）設(shè)a?, a3的值;cna2n 1 a2n 1,n N，證明Cn是等比數(shù)列;Sn為an的前n項和，證明一ai魚a2S2n 1S2na2n 1a2n(n N*).3（2011天津）已知數(shù)列an與bn滿足:n N，且 a12, a24.(I)求 a3,a4,a5的值;(n)設(shè)Cn a2n 1 a2n 1,n N ,(川)設(shè) Sk a2 a4（2010新課標(biāo)）（I）求數(shù)列(n)令 bnbnanan 1bn 1an 20,bn3 ( 1)n2證明:cn是等比數(shù)列;4na2k , kN ,證明:設(shè)數(shù)列