高考數(shù)學必備—高考數(shù)學100個熱點問題—第83煉 特殊值法解決二項式展開系數(shù)問題

1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家第83煉 特殊值法解決二項式展開系數(shù)問題一、基礎知識：1、含變量的恒等式：是指無論變量在已知范圍內(nèi)取何值，均可使等式成立。所以通?？蓪ψ兞抠x予特殊值得到一些特殊的等式或性質(zhì)2、二項式展開式與原二項式呈恒等關系，所以可通過對變量賦特殊值得到有關系數(shù)（或二項式系數(shù)）的等式3、常用賦值舉例：（1）設，令，可得： 令，可得： ，即：（假設為偶數(shù)），再結合可得：（2）設 令，則有：，即展開式系數(shù)和 令，則有：，即常數(shù)項 令，設為偶數(shù)，則有： ，即偶次項系數(shù)和與奇次項系數(shù)和的差 由即可求出和的值二、典型例題：例1：已知，則的值為_思路

2、：觀察發(fā)現(xiàn)展開式中奇數(shù)項對應的指數(shù)冪為奇數(shù)，所以考慮令，則偶數(shù)項相同，奇數(shù)項相反，兩式相減即可得到的值解：令可得： 令可得： 可得：答案：例2：已知，則的值為（ ）A. B. C. D. 思路：本題雖然恒等式左側(cè)復雜，但仍然可通過對賦予特殊值得到系數(shù)的關系式，觀察所求式子特點可令，得到，只需再求出即可。令可得，所以答案：B例3：設，則的值為（ ）A. B. C. D. 思路：所求，在恒等式中令可得：，令時，所以答案：A例4：若，則等于（ ）A. B. C. D. 思路：雖然展開式的系數(shù)有正有負，但與對應系數(shù)的絕對值相同，且均為正數(shù)。所以只需計算展開的系數(shù)和即可。令，可得系數(shù)和為，所以答案：A例

3、5：若，則_思路：所求表達式可變形為：，從而只需求出和系數(shù)和即可。令可得：，令可得：，所以答案：2014例6：若，且，則等于（ ）A. B. C. D. 思路：由可得或，解得，所求表達式只需令，可得答案：A例7：若，則（ ）A. B. C. D. 思路：所求表達式中的項呈現(xiàn)2的指數(shù)冪遞增的特點，與恒等式聯(lián)系可發(fā)現(xiàn)令，可得：，令可得：，所以，所以所求表達式變形為：，而，所以，從而表達式的值為答案：D例8：已知 ，若，則的值為（ ）A. B. C. D. 思路：在恒等式中令可得系數(shù)和，與條件聯(lián)系可考慮先求出，令，可得，展開式中為最高次項系數(shù)，所以，所以，即，解得答案：B例9：若，則的值是（ ）A.

4、 B. C. D. 思路：觀察所求式子中項的系數(shù)剛好與二項展開式中所在項的次數(shù)一致，可聯(lián)想到冪函數(shù)求導：，從而設，恒等式兩邊求導再令可解得的值，再在原恒等式中令計算出即可解：設令可得：而在中，令可得：答案：D例10：若等式對于一切實數(shù)都成立，則（ ）A. B. C. D. 思路：從所求表達式項的系數(shù)與展開式對應項聯(lián)系起來可聯(lián)想到在恒等式中兩邊同取不定積分。例如：，再利用賦值法令即可得到所求表達式的值解：，兩邊同取不定積分可得： 令可得： 令可得： 答案：B小煉有話說：（1）本題可與例9作一個對照，都是對二項展開的恒等式進行等價變換。是求導還是取不定積分是由所求表達式項的系數(shù)與展開式系數(shù)對照所確定的。（2）在取不定積分時，本題有兩個細節(jié)，一個是尋找的原函數(shù)，要注意其原函數(shù)求導時涉及復合函數(shù)求導，所以系數(shù)要進行調(diào)整。此類問題多是先猜函數(shù)的原型，再通過對所猜函數(shù)求導后與已知比較