2020年1月東城高三期末

1、=北京市東城區(qū)2020 屆第一學(xué)期末統(tǒng)一檢測(cè)高三數(shù)學(xué)2020.1本試卷共 4 頁(yè)，共 150 分。考試時(shí)長(zhǎng) 120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡一并交回。第一部分 （選擇題共40 分）一、選擇題共8 小題，每小題5 分，共 40 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。(1) 已知集合Ax|x 1， Bx|x2x10 ，那么AIB(A) x|1x2(B) x|1x1(C)x|1x2(D) x|1 x 1(2) 復(fù)數(shù) z=i(i1) 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(A)第一象限(B)第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(3) 下列函數(shù)中，是偶

2、函數(shù)，且在區(qū)間 (0 ， +)上單調(diào)遞增的為1(A)y(B)ylnxx(C)y2x(D)y1xab(4) 設(shè) a,b 為實(shí)數(shù)，則“ ab0 ”是“”的(A)充分而不必要條件(B) 必要而不充分條件(C)充分必要條件(D) 既不充分也不必要條件(5) 設(shè) ,是兩個(gè)不同的平面， m,n 是兩條不同的直線(xiàn)，則下列結(jié)論中正確的是(A)若 m，mn，則n(B) 若， m，n，則 mn(C) 若 n，mn ，則 m(D) 若， m，n，則 mn(6) 從數(shù)字 1,2,3,4,5 中，取出 3 個(gè)數(shù)字 (允許重復(fù) )，組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為(A)7(B)9(C) 10(D)13

3、(7) 設(shè)，是三角形的兩個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論中正確的是(A)若，則sinsin2(C) 若，則sinsin22(B)若，則 coscos221(D)若，則 coscos12=(8) 用平面截圓柱面，當(dāng)圓柱的軸與所成角為銳角時(shí)，圓柱面的截線(xiàn)是一個(gè)橢圓著名數(shù)學(xué)家Dandelin 創(chuàng)立的雙球?qū)嶒?yàn)證明了上述結(jié)論.如圖所示，將兩個(gè)大小相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切 .給出下列三個(gè)結(jié)論：兩個(gè)球與的切點(diǎn)是所得橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)；若球心距 O1O24，球的半徑為3，則所得橢圓的焦距為2；當(dāng)圓柱的軸與所成的角由小變大時(shí)，所得橢圓的離心率也由小變大.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是(A)(

4、B) (C) (D) 第二部分 （非選擇題共 110 分）二、填空題共6 小題，每小題5 分，共30 分。(9)若雙曲線(xiàn) x2 y21 與 x2y21 有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m32m.(10) 已知 an是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，Sn 為其前 n 項(xiàng)和，若 a16，a22a36，則公比 q_ ，S4=_ (11)能說(shuō)明“直線(xiàn) xym0 與圓 x2y24x 2y 0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”是真命題的一個(gè)m 的值為.uuur uuuruuur uuuruuuruuur(12)在平行四邊形ABCD 中，已知 ABACACAD ， AC4， BD2，則四邊形 ABCD 的面積是 _ (13) 已知函數(shù)f(x)2

5、sin(x)(0)，.曲線(xiàn) yf(x) 與直線(xiàn) y3 相交，若存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，則的所有可能值為 _.6(14) 將初始溫度為0oC 的物體放在室溫恒定為30oC 的實(shí)驗(yàn)室里，現(xiàn)等時(shí)間間隔測(cè)量物體溫度，將第n 次測(cè)量得到的物體溫度記為tn，已知 t10oC.已知物體溫度的變化與實(shí)驗(yàn)室和物體溫度差成正比（比例系數(shù)為k）.給出以下幾個(gè)模型，那么能夠描述這些測(cè)量數(shù)據(jù)的一個(gè)合理模型為；(填寫(xiě)模型對(duì)應(yīng)的序號(hào)）ktn1tn；tn1 tnk(30t n)；tn+1=k(30t n).tn30在上述模型下，設(shè)物體溫度從5oC 上升到 10 oC 所需時(shí)間為 amin ，從10oC 上升到 15oC

6、所需時(shí)間為 bmin，從 15o上升到20oC所需時(shí)間為Cmin，那么 a與 b 的大小關(guān)系是.(用C“” ，“” 或 “” 號(hào)填bc=空）三、解答題共6 小題，共80 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。(15) （本小題 13 分）在 ABC 中，已知 csinA3acosC0（）求C 的大?。唬ǎ┤?b=2 ， c23，求 ABC 的面積 .=(16) （本小題 13 分）2019 年 6 月，國(guó)內(nèi)的5G 運(yùn)營(yíng)牌照開(kāi)始發(fā)放.從 2G 到 5G ，我們國(guó)家的移動(dòng)通信業(yè)務(wù)用了不到20 年的時(shí)間，完成了技術(shù)上的飛躍，躋身世界先進(jìn)水平.為了解高校學(xué)生對(duì)5G 的消費(fèi)意愿， 2019 年 8

7、 月，從某地在校大學(xué)生中隨機(jī)抽取了 1000 人進(jìn)行調(diào)查，樣本中各類(lèi)用戶(hù)分布情況如下：用戶(hù)分類(lèi)預(yù)計(jì)升級(jí)到5G 的時(shí)段人數(shù)早期體驗(yàn)用戶(hù)2019 年8月至 209年12月270人中期跟隨用戶(hù)2020 年 1 月至 20121 年 12 月530 人后期用戶(hù)2022 年 1 月及以后200 人我們將大學(xué)生升級(jí)5G 時(shí)間的早晚與大學(xué)生愿意為5G 套餐支付更多的費(fèi)用作比較，可得出下圖的關(guān)系(例如早期體驗(yàn)用戶(hù)中愿意為5G 套餐多支付5 元的人數(shù)占所有早期體驗(yàn)用戶(hù)的40%).（I）從該地高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1 人，估計(jì)該學(xué)生愿意在2021 年或2021 年之前升級(jí)到5G 的概率；（II）從樣本的早期體驗(yàn)用戶(hù)

8、和中期跟隨用戶(hù)中各隨機(jī)抽取1 人，以X 表示這2 人中愿意為升級(jí)5G 多支10 元或付10 元以上的人數(shù)，求X 的分布列和數(shù)學(xué)期望；（III ）2019 年底，從這1000 人的樣本中隨機(jī)抽取3 人，這三位學(xué)生都已簽約5G 套餐，能否認(rèn)為樣本中早期體驗(yàn)用戶(hù)的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由.=(17) （本小題 14 分）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1 中，BB 1平面ABC ，ABBC ，AA 1ABBC2（）求證：BC1平面A1B1C ；（）求異面直線(xiàn)B1C 與 A1B 所成角的大?。唬ǎc(diǎn) M 在線(xiàn)段 B1C 上，且B1M(0,1) ，點(diǎn) N 在線(xiàn)段 A1B 上，BC1若 MN 平面 A1ACC

9、1 求 A1N 的值 (用含的代數(shù)式表示 )，A 1B=(18) （本小題 13 分）已知函數(shù) f(x)1x3x23ax(aR) .3（）若 f(x)在 x1 時(shí)，有極值，求a 的值；（）在直線(xiàn) x1 上是否存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn) P 至少有兩條直線(xiàn)與曲線(xiàn)yf(x) 相切？若存在，求出P 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.=(19) （本小題 14 分）已知橢圓 C: x2y2221a1 的離心率是a2（）求橢圓C 的方程；（）已知 F1，F(xiàn)2 分別是橢圓 C 的左、右焦點(diǎn)，過(guò) F2 作斜率為 k 的直線(xiàn) l，交橢圓 C 于 A,B 兩點(diǎn)，直線(xiàn) F1A,F1B分別交 y 軸于不同的兩點(diǎn)M,N .如果MF

10、 1N 為銳角，求 k 的取值范圍=(20) （本小題 13 分）已知數(shù)列an，記集合TS(i,j)S(i,j)aiai1Laj,1 ij,i,jN（）對(duì)于數(shù)列an：1，2， 3，4，寫(xiě)出集合T；（）若an2n ，是否存在i,jN ，使得S(i,j)1024 ？若存在，求出一組符合條件的i,j；若不存在，說(shuō)明理由；ann ，把集合 T 中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為 B:b1 b2Lb mL.若 bm2020 ，求（III）若22，m 的最大值=北京市東城區(qū)2020 屆第一學(xué)期末統(tǒng)一檢測(cè)高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2020.1一、選擇題（共8 小題，每小題5 分，共 40 分）（1） D（

11、2） C（3） B（ 4）A（5） B（6）C（7）A（ 8）C二、填空題（共6 小題，每小題5 分，共 30 分）1（9） 445（10）24（11）0（答案不唯一）（12）4（13）2或 10（14）三、解答題（共6 小題，共 80 分）（15 ）（共 13 分）解：（）由正弦定理可得sinCsinA3cosCsinA=0 .因?yàn)?sinA0，所以 tanC3.又因?yàn)?0C,2. 分所以 C=.732 23bsinC1（）由正弦定理得sinB=,c2 32又因?yàn)?0B，3所以 BB., AC616所以 ABC 的面積 SbcsinA 1223 13. 分 13222（16 ）（共 13 分

12、）解：（）由題意可知，從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1 人，該學(xué)生在2021 年或 2021 年之前升級(jí)到5G 的概率估計(jì)為樣270530分 3本中早期體驗(yàn)用戶(hù)和中期跟隨用戶(hù)的頻率，即0.8 .10001000（II）由題意 X 的所有可能值為0,1,2.記事件 A 為“從早期體驗(yàn)用戶(hù)中隨機(jī)抽取1 人，該學(xué)生愿意為升級(jí)5G 多支付 10 元或 10 元以上”，=事件 B 為“從中期跟隨用戶(hù)中隨機(jī)抽取1 人，該學(xué)生愿意為升級(jí)5G 多支付 10 元或 10 元以上”，由題意可知，事件A， B 相互獨(dú)立，且P(A)140%0.6 ，P(B)145%0.55 ，所以 P(X=0)P(AB)(10.6)(10.

13、55) 0.18，P(X1)P(AB+AB)P(AB)P(AB)P(A)(1P(B)(1P(A)P(B)0.6（10.55 ）（ 10.6)0.550.49 ，P(X=2)P(AB)0.60.550.33.所以 X 的分布列為X012P0.180.490.33故 X 的數(shù)學(xué)期望 E（X）00.1810.492 0.331.15 .?10 分（III）設(shè)事件 D 為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3 人，這三位學(xué)生都已簽約5G 套餐”，那么3P(D)C2700.02.C31000回答一：事件D 雖然發(fā)生概率小，但是發(fā)生可能性為0.02，所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶(hù)沒(méi)有發(fā)生變化 .回答二：事件D 發(fā)生概率

14、小，所以可以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶(hù)人數(shù)增加.?13 分（17 ）（共 14 分）解：（）在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，由于 BB1 平面 ABC ，所以 BB1 平面 A1 B1C1又 BB1 平面 B1BCC 1，所以平面B1BCC 1平面 A1B1C1，交線(xiàn)為B1C1.又因?yàn)?ABBC，所以 A1B1B1C1所以 A1B1平面 B1BCC 1因?yàn)?BC 1平面 B1BCC 1，所以AB1BC 1.1又因?yàn)?BBBC2 ，1所以 B1CBC1=又 A1B1I B1C B1,所以 BC 1平面 A1B1C?5 分（）由（）知BB1底面ABC ，ABBC 如圖建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz 由題意得

15、B(0,0,0) ，C(2,0,0) ， A1(0,2,2) ，B1(0,0,2) uuuruuur所以 B1C(2,0,2)，A1B(0,2,2)uuuruuuruuuruuurA1BB 1Cuuur1所以 cosA 1 B,B1 Cuuur|BA 1|B21C|故異面直線(xiàn)B1C 與 A1B 所成角的大小為?9 分3（）易知平面A1ACC 1 的一個(gè)法向量為n(1,1,0) ，B M由1，得 M(2,0,22).B1C設(shè)A N1，得 N(0,22,22)，A1B則 MN(2,22,22)因?yàn)?MN/ 平面 AACC所以 MNn0，11，即(2,22,22 )(1,1,0)0，解得1A N所以

16、11?14 分A1B（18）（共 13 分）解： ()因?yàn)閒(x)1x3 x2 3ax ，3所以 fx x22x 3a.由 f(x) 在 x1 時(shí)，有極值得f1123a0，解得a1.經(jīng)檢驗(yàn)， a1 時(shí)， f(x)有極值 .綜上， a1 .?4 分（）不妨設(shè)在直線(xiàn)x 1 上存在一點(diǎn) P(1,b) ，設(shè)過(guò)點(diǎn) P 與 yf(x) 相切的直線(xiàn)為 l，切點(diǎn)為 (x0,y0 )，=則切線(xiàn) l方程為 y1x03x023ax 0 (x022x 03a)(x x0).3又直線(xiàn) l過(guò) P(1,b) ，有 b1323ax 022x0 3a)(1x0)，x0x0(x03232x02+2x3ab0.即x003設(shè) g(x

17、)2x32x22x3ab ，3g(x)2x 24x22(x1) 20.所以 g(x) 在區(qū)間 (,)上單調(diào)遞增，所以 g(x)0 至多有一個(gè)解 .過(guò)點(diǎn) P 與 yf(x) 相切的直線(xiàn)至多有一條 .故在直線(xiàn) x1 上不存在點(diǎn) P，使得過(guò) P 至少有兩條直線(xiàn)與曲線(xiàn)yf(x)相切 . ?13 分（19 ）（共 14 分）c2，a2221， 解得解：（）由題意ba2.a2b2c2，x2y21.?4 分所以橢圓 C 的方程為2（）由已知直線(xiàn)l 的斜率不為0.設(shè)直線(xiàn) l 方程為y kx 1.直線(xiàn)l與橢圓C的交點(diǎn)為Ax ,y,Bx ,y1 12 2.ykx1 ，由2y2得 2k 2 1x 2 4k 2 x2

18、k 220 .x120 恒成立，且 x1x24k2,x1x22k 22由已知，判別式.2k 212k 21直線(xiàn) F1A 的方程為 yy1x 1，令 x0 ，則 M(0,y1).x11x11同理可得 N(0,y2).x21uuuur uuury1 2k2x11x 21y所以 F1M F1N 1x11x 211x1 1x 21=k2xxxx11k2x1x21k2x1x21k211212.x1x2x1 x21x1x2 x1x21將代入并化簡(jiǎn)，得uuuuruuur 7k21F1MF 1N.8k21MF1uuuur uuuuruuuur uuur7k 21依題意，N 我銳角，所以 F1MF1N0，即 F1MF1N8k 20.1解得 k21 或 k21.78綜上，直線(xiàn) l 斜率的取值范圍是 (7227).14 分,)U(,0)U(0,)U(,7447（20 ）（共 13 分）解：（）T=3，5，6，7，9，10.?3 分（ ）假設(shè)存在i，jN，使得 S(i，j)=1024 ，則有1024aiai1Laj2i2(i1)L2j(ji1)(ij) ，