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1、整數(shù)加減法速算與巧算教案目標(biāo)本講知識(shí)點(diǎn)屬于計(jì)算板塊的部分,難度并不大。要求學(xué)生熟記加減法運(yùn)算規(guī)則和運(yùn)算律,并在計(jì)算中運(yùn)用湊整的技巧。知識(shí)點(diǎn)撥一、基本運(yùn)算律及公式一、加法加法交換律:兩個(gè)數(shù)相加,交換加數(shù)的位置,他們的和不變。即:其中 a, b 各表示任意一數(shù)例如,7 88 7 15.a bb a總結(jié):多個(gè)數(shù)相加,任意交換相加的次序,其和不變加法結(jié)合律:三個(gè)數(shù)相加,先把前兩個(gè)數(shù)相加,再加上第三個(gè)數(shù);或者先把后兩個(gè)數(shù)相加,再與第一個(gè)數(shù)相加,他們的和不變。即: a b c( a b) c a( b c)其中 a, b, c 各表示任意一數(shù)例如,5 68( 56) 85 (6 8).總結(jié):多個(gè)數(shù)相加,也

2、可以把其中的任意兩個(gè)數(shù)或者多個(gè)數(shù)相加,其和不變。二、減法在連減或者加減混合運(yùn)算中,如果算式中沒(méi)有括號(hào),那么計(jì)算時(shí)要帶數(shù)字前面的運(yùn)算符號(hào)“搬家 ”例如:a b c a c b, a b c ac b,其中 a, b,c 各表示一個(gè)數(shù)在加減法混合運(yùn)算中,去括號(hào)時(shí):如果括號(hào)前面是“ ”號(hào),那么去掉括號(hào)后,括號(hào)內(nèi)的數(shù)的運(yùn)算符號(hào)不變;如果括號(hào)前面是“ ”號(hào),那么去掉括號(hào)后,括號(hào)內(nèi)的數(shù)的運(yùn)算符號(hào)“ ”變?yōu)?“”, “ ”變?yōu)?“ ”如: a( b c) a bca( b c) a b ca( b c) a b c在加、減法混合運(yùn)算中,添括號(hào)時(shí):如果添加的括號(hào)前面是如果添加的括號(hào)前面是 “ ”,那么括號(hào)內(nèi)的

3、數(shù)的原運(yùn)算符號(hào)如: a b c a( b c)“ ”,那么括號(hào)內(nèi)的數(shù)的原運(yùn)算符號(hào)不變;“ ”變?yōu)?“ ”, “ ”變?yōu)?“ ”。a bc a( b c)a bc a( b c)二、加減法中的速算與巧算速算巧算的核心思想和本質(zhì):湊整常用的思想方法:1、 分組湊整法 把幾個(gè)互為 “補(bǔ)數(shù) ”的減數(shù)先加起來(lái),再?gòu)谋粶p數(shù)中減去,尾數(shù)的減數(shù) “補(bǔ)數(shù) ”就是兩個(gè)數(shù)相加,如果恰好湊成整十、整百、整千或先減去那些與被減數(shù)有相同 ,就把其中的一個(gè)數(shù)叫做1 / 12另一個(gè)數(shù)的 “補(bǔ)數(shù) ”2、加補(bǔ)湊整法有些算式中直接湊整不明顯,這時(shí)可“借數(shù) ”或 “拆數(shù) ”湊整3、數(shù)值原理法先把加在一起為整十、整百、整千 的數(shù)相加,

4、然后再與其它的數(shù)相加4、 “基準(zhǔn)數(shù) ”法,基準(zhǔn)當(dāng)幾個(gè)數(shù)比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時(shí),選這個(gè)整數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù) ”(要注意把多加的數(shù)減去,把少加的數(shù)加上)例題精講模塊一:分組湊整【例 1 】計(jì)算:( 1) 117 229 333 471 528 622( 2)( 1350 249 468)( 251 332 1650)( 3) 756 248 352( 4) 894 89 111 95105 94【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 1 星 【題型】計(jì)算【 解析】在這個(gè)例題中,主要讓學(xué)生掌握加、減法分組湊整的方法。幾個(gè)數(shù)相加,可以先把可以湊整的幾個(gè)數(shù)分成一組; 一個(gè)數(shù)連續(xù)減去兩個(gè)數(shù), 可以先把后兩個(gè)數(shù)相加湊整,

5、 再用這個(gè)數(shù)減去后兩個(gè)數(shù)的和 具體分析如下:( 1)式( 117 333)( 229 471)( 528 622) 450 700 1150( 4501150) 700 1600 700 2300( 2)式 1350 249 468 251 332 1650( 1350 1650)( 249251)( 468 332) 3000 500 800 4300( 3)式 756( 248 352) 756 600 156( 4)式( 894 94)( 89111)( 95 105) 800 200 200 400【答案】( 1) 2300( 2) 4300( 3) 156( 4) 400【鞏固】計(jì)算

6、5 79 11 13 15 17 19 21 23 【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 1 星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】 2010 年 學(xué)而思杯【解析】 原式 (723)(515)(9 11)(1317)(19 21)140【答案】 140【鞏固】計(jì)算: 99 19 7 2【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 1 星【題型】計(jì)算【解析】原式99 197 1 19911917100207127【答案】 127【鞏固】同學(xué)們,你們有什么好辦法又快又準(zhǔn)的算出下面各題的答案?把你的好方法講一講! 也當(dāng)一次小老師! 1847 1928 628 136 64 1234 5678 8766 159 4322 2000 77 41 5

7、9 236172714383157712 / 12【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 1 星【題型】計(jì)算【解析】 原式1847( 1928 628) (13664)18471300200347 ; 原式( 12348766 ) ( 56784322 )15920159; 原式2000( 77 23 41 59 )1800; 原式(61783) ( 271 71)( 43 157)700 200200700 ;【答案】( 1) 347( 2) 20159( 3) 1800( 4) 700【鞏固】 264 451216136 184 149【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 1 星【題型】計(jì)算【解析】原式 (2641

8、36) (451 149) (216184)400600400600 .【答案】 600【鞏固】計(jì)算 1223334444 5555 666 77 8【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 2 星【題型】計(jì)算【解析】原式 (1 44445555) (333 6661) (22771) (811) 10000 1000 100 6 11106【答案】 11106【鞏固】計(jì)算:( 1) 1348 234 76 2234 48 24( 2) 1847 1936 536 154 46( 3) 264+451-216+136-184+149【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 1 星【題型】計(jì)算【 解析】在這個(gè)例題中,主要讓學(xué)生

9、掌握加減法混合運(yùn)算分組湊整的方法,在湊整的過(guò)程中,要注意運(yùn)算符號(hào)的變化或者帶著符號(hào)搬家具體分析如下:( 1)式 ( 1348 48)( 2234 234)( 76 24) 1300 2000 100 3200( 2)式 1847( 1936 536)( 154 46) 1847 1400 200 247( 3)式(264 136)(451149)(216184) 400600400 600 .【答案】( 1) 3200( 2) 247( 3) 600【鞏固】 11928374655 64 73 82 91 _ 550【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 2 星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】 2010 年,第8 屆

10、,走美杯,3 年級(jí),初賽【解析】 配對(duì)簡(jiǎn)算: 19912882 37734664 110 ,所填數(shù)550 1104 55 55【答案】 55【例 2 】 看誰(shuí)的方法最巧呢? 12318192046810323436【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 2 星【題型】計(jì)算【解析】 通過(guò)觀察這道題我們會(huì)發(fā)現(xiàn),所有的加數(shù)是一些連續(xù)的數(shù)按順序排列著,每相鄰兩數(shù)的差都相等,求這列連續(xù)數(shù)的和可采用 “移位分組 ”的方法解 我們把 1 和 20,2 和 19,3 和 18 兩個(gè)數(shù)一組;每組兩個(gè)數(shù)的和都是21;有 20 個(gè)數(shù),每?jī)蓚€(gè)數(shù)一組,共有10 組因此,解法有二(方法一) 原式(120)(2 19)(318)(9 1

11、2)(10 11) 21 10210 一般地, 像這樣一類(lèi)題,一列數(shù)的第一個(gè)數(shù)稱(chēng)為首項(xiàng),最后一個(gè)數(shù)稱(chēng)為末項(xiàng),這列數(shù)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為項(xiàng)數(shù)可歸納為一列連續(xù)數(shù)的和 (首項(xiàng) +末項(xiàng) ) 項(xiàng)數(shù) 2(方法二)原式(120)20221202210 這列數(shù)的首項(xiàng)是4,末項(xiàng)是36每相鄰兩數(shù)的差都是2,這列數(shù)一共有17 個(gè)數(shù),故項(xiàng)數(shù)是 17這道題是求相鄰差為2 的 17 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和,可以這樣解原式(4363 / 12【答案】( 1) 210( 2) 340【例 3 】 計(jì)算: 2005 20042003 2002200120001999 19981997 199676 5 4 3 2 1

12、【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 3 星【題型】計(jì)算【解析】將后四項(xiàng)每四項(xiàng)分為一組,每組的計(jì)算結(jié)果都是0,后 2004項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果都是0,剩下第一項(xiàng),結(jié)果是 2005.【答案】 2005【鞏固】計(jì)算:1 2 3 4 56 7 8 9 L9495 96 97 98 99 100 101?!究键c(diǎn)】分組湊整【難度】 2 星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】 2008年,學(xué)而思杯,2 年級(jí)【分析】原式(101 100 9998) (97 969594)L(9 8 76) (5 4 32)11【答案】 1【鞏固】計(jì)算1 2 3 4 5 6 L - 96 97 9899100 10151【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 2 星【題型

13、】計(jì)算【關(guān)鍵詞】 2010 年,學(xué)而思杯, 2 年級(jí)【解析】原式 (101100)( 99 98) L(54)(3 2) 151【答案】51【 鞏固】計(jì)算: 100-99+98-97+96- 95+ +4 -3+2-1=_ ?!究键c(diǎn)】分組湊整【難度】 2 星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】 2005年,希望杯,4 年級(jí) ,1 試【解析】原式 =(100-99)+(98-97)+(96- 95)+ (4 -3)+(2- 1)=1+1+1+ +1+1=50【答案】50【鞏固】( 2 4 6 2006)( 1 3 5+7+ 2005 )【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 2 星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】 2006年,希望杯

14、,4 年級(jí) ,1 試【解析】原式( 2-1)+( 4-3) +(6-5) +( 2006-2005) 1+1+1+ +1 1( 2006 2) 1003【答案】 1003【鞏固】計(jì)算:1989198819871986 1985 19841983 1982198119801979 19789 8 7654321【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 3 星【題型】計(jì)算【解析】從 1989 開(kāi)始,每6 個(gè)數(shù)一組, 1989 1988 1987 1986 198519849 ,以后每一組6 個(gè)數(shù)加、減后都等于 9.198963313 .最后剩下三個(gè)數(shù)3,2, 1, 3216 .因此,原式331962985.【答案

15、】 2985【鞏固】仔細(xì)考慮,相信你可以找到巧妙算法的19919819719619519454321【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 3 星【題型】計(jì)算【解析】先觀察算式,看看算式中的數(shù)有什么規(guī)律?符號(hào)有什么規(guī)律?再進(jìn)行計(jì)算根據(jù)題目的特征,我們把算式從左至右每?jī)蓚€(gè)數(shù)作為一組,每組的計(jì)算結(jié)果均為1 : 199 198 1 , 197196 1 ,195 194 1 , 5 41 ,321整個(gè)算式成了求100 個(gè) 1 的和,因此整個(gè)算式的結(jié)果等于100原4 / 12式 (199 198)(197196)(195194)(5 4) (32) 1111 L431 1001 4 4 2 4100 個(gè) 1【答案】

16、100【例 4 】 看到下面的算式不要害怕,仔細(xì)考慮,相信你可以找到巧算的方法的.(135799)(24698)【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 3 星【題型】計(jì)算【解析】算式中只有加減法運(yùn)算,可以去掉括號(hào)重新組合,1 99 共 99個(gè)數(shù),奇數(shù)有50 個(gè),偶數(shù)有49 個(gè),除 1 以外,將剩余的49 個(gè)奇數(shù)和49 個(gè)偶數(shù)兩兩分組重新組合,這樣每相鄰的兩個(gè)數(shù)的差都是1原式135799246981(32)(54)(76)(9998)114950【答案】50【鞏固】計(jì)算 (13571999)(2461998)【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 3 星【題型】計(jì)算【解析】算式中只有加減法運(yùn)算,可以去掉括號(hào)重新組合,1 1

17、999共 1999個(gè)數(shù),奇數(shù)有 1000個(gè),偶數(shù)有999 個(gè),除1 以外,將剩余的999 個(gè)奇數(shù)和999 個(gè)偶數(shù)兩兩分組重新組合,這樣每相鄰的兩個(gè)數(shù)的差都是 1原式1357199924619981(32)(54)(76)(19991998)119991000【答案】1000【鞏固】計(jì)算: (20001)(19992)(19983)(1002999)(10011000)【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 3 星【題型】計(jì)算【解析】這道題若按運(yùn)算順序計(jì)算,計(jì)算量較大,去掉小括號(hào),適當(dāng)?shù)母淖冞\(yùn)算順序,看看能否巧算呢?我們先把所有的小括號(hào)去掉,然后把差為1000 的每?jī)蓚€(gè)數(shù)作一組,便可很快巧算出結(jié)果來(lái).原式20

18、0011999219983100299910011000(20001000)(1999999)(1998998)(10022)(10011)10001000L100010001 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 31000 個(gè)100010001000000【答案】1000000【例 5】張老師帶著600 元錢(qián)去商店買(mǎi)文具用品,依次花掉50 元、 90元、 80 元、 70 元、 60 元、 50 元、 40元、 30 元、 20 元、 10 元,你能快速算出最后張老師還剩多少錢(qián)嗎?【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 3 星【題型】計(jì)算【解析】這道題可用移位湊整法來(lái)速算,題中的十個(gè)減數(shù)可移位湊成

19、五個(gè)100原式600(5050)(9010)(8020)(7030) - (6040)6001005100【答案】100【鞏固】 100091 192293394495596 697 7 98 8 99 9【考點(diǎn)】分組湊整【難度】 3 星【題型】計(jì)算【解析】這道題用 “移位湊整 ”的方法來(lái)速算就簡(jiǎn)單多了把題目的18 個(gè)減數(shù)移位后湊成9 個(gè) 100,從而達(dá)到巧算的目的原式1000(911922933944955966977988999)1000(919)(928)(937)(946)(955)(964)(973)(982)(991)1000(1009)100在加減法混合算式與連減算式中,將減數(shù)先

20、結(jié)合起來(lái),集中一次相減,可簡(jiǎn)化運(yùn)算【答案】 1005 / 12模塊二、加補(bǔ)湊整【例 6 】計(jì)算( 1) 298 396 495 691 799 21( 2) 195 196 197 198 199 15( 3) 98 96 97 105 102 101( 4) 399 403 297 501【考點(diǎn)】加補(bǔ)湊整【難度】 2 星【題型】計(jì)算【解析】在這個(gè)例題中,主要讓學(xué)生掌握加法運(yùn)算加補(bǔ)湊整的方法具體分析如下:( 1)(法 1)原式 298 396 495 691 799 2 45 9 1( 298 2)( 396 4)( 495 5)( 691 9)( 799 1) 300 400 500 700

21、 800 2700(法 2)原式 ( 300 3)( 400 4)( 500 5)( 700 9)( 800 1) 21 300 400 500 700 800 3 45 9 121 2700( 2)(法 1)原式 ( 195 5)( 196 4)( 197 3)( 198 2)( 199 1) 200 200 200 200 200 1000(法 2)原式 ( 200 5)( 200 4)( 200 3)( 200 2)( 200 1) 15 200 200 200 200 200 1000( 3)原式( 100 2)( 100 4)( 1003)( 100 5)( 100 2)( 100

22、1) 100 100 100 100 100 100 2 4 35 2 1 3( 4)原式( 400 1)( 400 3)( 3003)( 500 1) 400 1400 3300 3 500 1 598注:在( 1)中,在加 100 時(shí)多加了 1,所以要減去, 這樣保證結(jié)果不變,所以 “多加的要減去 ”;( 2)中,少加了2,在后面要加上,所以“少加的要加上 ”;( 3)中,多減了2,所以要加上,所以“多減的要加上 ”;( 4)中,少減了3,后面要再減去3,所以 “少減的要再減 ”【答案】( 1) 2700(2) 1000( 3) 3(4) 598【鞏固】計(jì)算: 111921993 1999

23、4 199995所得和數(shù)的數(shù)字之和是多少?【考點(diǎn)】加補(bǔ)湊整【難度】 2 星【題型】計(jì)算【解析】原式(209)(2008)(20007)(200006)(2000005)(20200200020000200000)(98765)22222035=222185故所得數(shù)字之和等于22218520.【答案】 20【鞏固】_ 。199+298+397+496+595+20=【考點(diǎn)】加補(bǔ)湊整【難度】 2 星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】 2005年,第3 屆,走美杯, 3 年級(jí),決賽【解析】 本題利用加法湊整的原則進(jìn)行計(jì)算199+298+397+496+595+20=20013002400350046005202

24、003004005006002012345200020152005【答案】 2005【鞏固】計(jì)算: 10192973996_ 6 / 12【考點(diǎn)】加補(bǔ)湊整【難度】 1 星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】 2007 年,第 5 屆,走美杯, 3 年級(jí),初賽【解析】 根據(jù)湊整的原則將10 進(jìn)行拆分為10192973996=2+ 19+1 + 297 3 + 3996 4=2+20+300+4000=4322【答案】 4322【例 7】同學(xué)們,你們有什么好辦法又快又準(zhǔn)的算出下面各題的答案?把你的好方法講一講!也當(dāng)一次小老師!199999 19999 1999199 19 889395 17【考點(diǎn)】加補(bǔ)湊整【難

25、度】 2 星【題型】計(jì)算【解析】 (方法一)由于此題的各個(gè)加數(shù)恰好接近整十、整百、整千 把每個(gè)加數(shù)加上1 后就湊成了整十、整百、整千 然后從總和中減去5 個(gè)補(bǔ)數(shù)的和原式(2000001)(200001)(20001)(2001)(201)2222205222215(方法二)把加數(shù) 19 分解成 15 1 1 1 1 ,然后運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行巧算原式 199999 19999 1999 199 15 1 1 1 1(1999991)(199991)(19991)(1991)1520000020000200020015222215 原式8891139551 (沒(méi)有湊整的條件,我們可以創(chuàng)造湊

26、整的條件)1301【答案】( 1)(2)1301222215【 鞏固】計(jì)算: ( 1) 9+99+999+ +999999999( 2)1999. 199.9919 19914 2431999個(gè) 9【考點(diǎn)】加補(bǔ)湊整【難度】 2 星【題型】計(jì)算【解析】( 1)本題可以把所有的加數(shù)均看成整十、整百、整千 的數(shù),最后再進(jìn)行補(bǔ)數(shù)原式 10+100+1000+ +10000000000 -9 1111111110-9 1111111101( 2)原式 202002000.200.00(1 1 .1)14 2 431 4 24 31999 個(gè)01999 個(gè)1 222.20199922.20000 2220

27、 199922.2022114 2431 4 2431999 個(gè) 21996 個(gè) 21996 個(gè) 2【答案】( 1) 1111111101( 2) 22.202211996個(gè) 2【鞏固】計(jì)算下面各題 99999 9999 999 99 9 19 299 3999 49999【考點(diǎn)】加補(bǔ)湊整【難度】 2 星【題型】計(jì)算【解析】( 1)原式(1000001)(10000 1)(1000 1)(1001) (101)111110 5 111105( 2)原式(201)(300 1) (40001) (500001)54320454316【答案】( 1)( 2)54316111105【鞏固】計(jì)算: 9

28、99 999L99L 91 2 3100個(gè) 9【考點(diǎn)】加補(bǔ)湊整【難度】 3 星【題型】計(jì)算【解析】利用湊整求和的思想來(lái)計(jì)算7 / 12原式10 1 100 1 1000 1 L 100L 01=11L 10-100=11 L 10101 2 3100個(gè) 0100個(gè) 198個(gè) 1【答案】 11L 101098個(gè)1【鞏固】 ( 1997 年 “全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克”競(jìng)賽試卷 )計(jì)算:199719979971997971997719971997997977 【考點(diǎn)】加補(bǔ)湊整【難度】 3 星【題型】計(jì)算【解析】方法一原式(199720003)(99720003)(9720003)(720003)(20

29、003)(10003)(1003)(103)1997200099720009720007200020001000 100108330991110 2430991086方法二原式100000009000000 2900000 37000041000 590069077810000000 180000002700000280000500054006305630991086【答案】 30991086模塊三、位值原理【例 8 】 計(jì)算: 123223 423523723823【考點(diǎn)】位值原理【難度】 2 星【題型】計(jì)算【解析】原式 (10023)(20023) ( 400 23)( 500 23 )

30、(70023 )( 80023)(100200400500700800)23 62700 1382838【答案】2838【例 9】計(jì)算:(123456234561345612456123561234612345)3【考點(diǎn)】位值原理【難度】 3 星【題型】計(jì)算【解析】仔細(xì)觀察我們可以發(fā)現(xiàn)1、2、3、 4、 5、 6 分別在個(gè)、十、百、千、萬(wàn)、十萬(wàn)6 個(gè)數(shù)位上各出現(xiàn)過(guò)一次,所以原式 ( 123456)100000( 1234 56)10000( 1234 56)1000( 1 2 3 456 )100(123456 )10( 123456 )3( 1 234 5 6 )111111321 1111

31、1137 111111777777 【答案】777777【鞏固】計(jì)算: (123456234561 345612456123561234612345)111111【考點(diǎn)】位值原理【難度】 3 星【題型】計(jì)算【解析】原式 (1 23456)11111111111121【答案】21【鞏固】計(jì)算: (1234234134124123)(123 4)【考點(diǎn)】位值原理【難度】 2 星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】第五屆,希望杯【解析】原式 (1234)1111(1234)1111【答案】1111【鞏固】1234551234 451233451223451【考點(diǎn)】位值原理【難度】 3 星【題型】計(jì)算8 / 12【

32、解析】因?yàn)槊總€(gè)數(shù)位上都出現(xiàn)了1、 2、 3、 4、 5,所以原式(12345)(100001000100101)1511111166665【答案】 166665【鞏固】計(jì)算: (12345672345671345671245671235671234 6712345 7123456) 7【考點(diǎn)】位值原理【難度】 3 星【題型】計(jì)算【解析】括號(hào)內(nèi)的7 個(gè)加數(shù),都是由1、2、 3、 4、 5、 6、 7 這 7 個(gè)數(shù)字組成,換句話說(shuō),這7 個(gè)數(shù)的每一位也分別是1、 2、 3、4、 5、 6、7,它們的和是28,即如果不進(jìn)位,每一位的和都是28所以原式(28100000028100000281000028100028100281028)728111111171111111(287)4444444【答案】 4444444【鞏固】計(jì)算:(567896789578956 89567 95678) 7【考點(diǎn)】位值原理【難度】 3 星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】 2004年,陳省身杯【解析】觀察可知5、 6、 7、8、 9 在萬(wàn)、千、百、十、個(gè)位各

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