一元微分學(xué)的概念性質(zhì)與計(jì)算全程版

1、一元微分學(xué)的概念、性質(zhì)與計(jì)算 一、考試內(nèi)容 導(dǎo)數(shù)和微分的概念函數(shù)的可導(dǎo)性、可微性與連續(xù)性之間的關(guān)系基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程所確定的函數(shù)、積分變限 函數(shù)的微分法高階導(dǎo)數(shù)一階微分形式的不變性 (一)導(dǎo)數(shù)與微分的概念與性質(zhì) f(x)=a二 f_(x) = f+(x) =a, lim f(x) = f(xo)= f(旳=f(xj) = f(x。)， .：y(x) = A(x). ：x o(. ：x) = A(x) = y(x),dy(u(x) = y(u)du(x)二 y(u)u(x)dx = y(x)dx, 可導(dǎo)是可微的充要條件，其皆為連續(xù)的充分條件

2、 (三)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)表 1 .1, xan . =丄,(|x_a|)=(,(x-a) x_a|=(n+1)(x-a) x 0 (ln x) (xm)(n) n! Amxm n -1 x-a ； 1,x ： a n Amn x、(n) x n(n 1)1(n)(1) n! n =m,(a ) a ln a,ln(x工a)() xa n ： m (x_a)n1 n : (sin ax)(n) =ansin(ax )， (cosax)(n) =ancos(ax ). 2 2 (四)導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則 d1 v(x) =dv(x)；v2(x),du(x). v(x) =v(x)du(x)

3、 -u(x)dv(x)： du(x)v(x) =u(x)v(x)dv(x)ln u(x) = u(x)v(x)四 u(x) v(x)ln u(x)dx， u(x) 對(duì)幕指函數(shù)也可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，其適用于幕指函數(shù)、連乘、連除、開方、乘方等； n (n) v2(x)； ke(x) k2V(x)(n) =k1u(n)(x)k?v(x),u(x)v(x)八 C；u(x)(n v(x)(k)； 設(shè)y = f (x)二階可導(dǎo), 設(shè)x(t), y(t)二階可導(dǎo), 則 y(x) =y(t). x(t) d xd x k=0 且 y、0,則 x(y)=1y，x”(y) 一y“ y3 ； 若 y = y(x)由 x

4、 =x(t), y =y(t)所確定， ，y(x) =dy(t) x(t),dx(t) =y (t)x(t) - y (t)x (t)；x3(t)； d .b dxddd a f(t)dt a f (t)dt =f (x),% f(t)dt - -f (x),- dx aidx a2dx xdx _d_ dx g(x) h(x)f(t)dt 二 fg(x)g(x) fh(x)h(x). 二、典型例題 g(x) f(t)dt= fg(x)g(x), 題型一可導(dǎo)性的判定 1、設(shè)函數(shù)f (x)在x =x0處連續(xù)，則lim f(x)二a是f (x0)=a的(A) xf X - x0 (B)必要非充分條

5、件(C)充要條件(D) f(X0) 0 =f (x) = a . (A)充分非必要條件 注：lim f(X)二 a XF X _ x0 既不充分也非必要條件 1 2、設(shè)f (0) =0 (或函數(shù)f (x)在x = 0處連續(xù))，則lim三 T x2 (A)充分非必要條件(B)必要非充分條件(C)充要條件 (D) f(ex2 -1) =a 是 f (0) =a 的(B) 既不充分也非必要條件 1 2 1 注：y-2 f(ex -1)=a 是 f.(O)=a 的(A)，但 lim nf(J=a 是 f.(O)=a 的(B). 丄口一 廿0,xw Q ,則f () = 0，但f (x)在x = 0處非

6、右連續(xù). n 提示：取f(x)= (1XQ (B) f (x)在X二x0處連續(xù)但不可導(dǎo) (D) x = xo為f (x)的跳躍間斷點(diǎn) 二f(XoJ, f(xo)存在但不相等. 3、設(shè) 匸筑)，f .(怡)存在但不相等，則下列命題正確的是 (A) f (x)在x = X。處不連續(xù)(B) (C) x = X0為f (x)的跳躍間斷點(diǎn) 注1 : X =X0為f (x)的跳躍間斷點(diǎn) 注 2：設(shè) f(x)在 x=x處左(右)連續(xù)，f(X0)=a= f_(X0)=a( f(x；)=a= f+(X0)=a). 5g(X),XHX0 亠 4、 設(shè)f (x)在X0處連續(xù)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)為(D) a, x

7、= X0 (1) 若 g(x)在 x 處可導(dǎo)，則 f(X。)= g(X0)(2) 若 g (x)在 x 處連續(xù)，則 f(心)=g(X0) (C) 3(D) 4 x -x - 2不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1 . 若 g(x0弋盹)=b，則 f (x) =b 若 g(x-) =g (x) =b，則 f 盹)=b (A) 1(B) 2 5、函數(shù) f(x) =(x X) g ,1, x a a. 提示：(x_a)=2,(x_a) x_a=2 x_a . 1,x : a 6、 求證：若 f 化)()0，且函數(shù)f (x)在x=x處連續(xù)，則|f (X dx f (x)在X = Xo處連續(xù). 求證：g(a)=O 是 F

8、(x) 注 2： lim f (x) =a= lim f (x) = a ； f (x)在 x =x0處的連續(xù) n X) 7、 設(shè)F(x) g(x) :(x) , (x)在x=a連續(xù)，但不可導(dǎo)，又g (a)存在， 在x二a可導(dǎo)的充要條件. 刑甘葉g(a) (a); 用定義(或商的求導(dǎo)法則)可證 提示：若 g(a)，則 f (a) Rim g(x) ：(x)一 g(a)(a) x -a 反之，用反證法，假設(shè)g(a) =0，則在a的某鄰域內(nèi)， (x) =3 可導(dǎo)，與假設(shè)矛盾，從而g(a) =0 . g(x) 題型二求導(dǎo)(微)的計(jì)算 (x d)( x 2)(x n) 例 1、設(shè) f (x)，求 f

9、(1). (-1嚴(yán) (x +1)(x+2)(x + n) (x _ 1)(x - 2)(x - n)(x - 2)(x - n) n(n 1) 解：f (X)(X 一1),則 f = (x+1)(x +2)(x + n)(x+1廠 (x + n) 注：該題也可用導(dǎo)數(shù)定義求解. 例 2、設(shè) y = x，求 dy . dx x 例 3、設(shè) f ln(x .、1x2) = . 1x2，求 f In(x 亠：1 x2). 解: fln(x、.1 x2)|n(x C) dln(xT x2)dln(x .T x2) dx 1 X2=x 1 d , dx 1 x2 dx y2)， 3 則，“盲 提示： sj

10、f；)叮fjm. f(1)=1, f(1)=-2,f(1)=3 , 例 x(ydx + xdy)=d(xt+C); ex(九ydx + dy) = d(exy+ C); ydx-xdy xxeydx-xdy)x： e( ydx-dy) ex 2 d( C)； 2 d(C)；2 d( C) y yyyyy 例7、設(shè)嚴(yán)格單調(diào)函數(shù) y = f (x)具有二階導(dǎo)數(shù)，其反函數(shù)為x二(y),且滿足 因 y嘰=1，x(t)y =6,y (t)te,有 x (t)y =6,y (t)t/2e2 而朕 dx *培yx _y(t)x”(t)故業(yè) dx2 解(二) x(t)x (t) x (t) = 6t 2 ey

11、 costy (t)(ey si nt1) = 0 x J0 ey cost e(2e-3) _4 注意到y(tǒng)(t) y ,=e， 有dy dx2 x 衛(wèi) xM，求 f (x) x = 0 dy y (t) dx _ x 一 2(3t 1)(2 - y) e(2e - 3) _4 例10、設(shè)fa)1) i 0 解：f.(0)=limf(x) f(0) 0 而 x 式 0 ,(xre1 例11、求函數(shù) y =(x)( 解：當(dāng) x 1 時(shí)，y = -2x(x -1)；當(dāng)1 _ x :： 1 時(shí)，y = 2(x -1);當(dāng) x _1 時(shí)，y =2x(x1) 故當(dāng)x ： -1時(shí)， 在分段點(diǎn)-1處， x

12、1x e x 1 + 。f_(o)“mf(x) f(O) 0十 xx)；(1e1x)2. x 1)的導(dǎo)數(shù)y . =1,則f (0)不存在， 在分段點(diǎn)1處， 例12、對(duì)于函數(shù) y - -4x 2 ;當(dāng) 一1 ： x ： 1 時(shí)，討二 2;x1時(shí)，y = 4x-2 f (-1) = lim y =2, f (-1) = lim y = 6 . f (-1)不存在 x y 1 十_x_1 f (1 lim /=2, f_(1) ax2 + bx + c 、ln(1+x) x - J =lim / = 2 x )1 :0 問(wèn)選取怎樣的系數(shù) a,b,c才能使得f (x)處 -0 x 處具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，

13、但在x二0處卻不存在二階導(dǎo)數(shù). 解：由 f(0J = f(0)= c=0 又 f _(0) = f (0 J =b, f (0) = f (0 ) =1，且 f_(0) = f (0) = f (0)二 f (0) = b = 1 而此時(shí)f (0一)二f (0 J = f (0)，貝y f(x)在x二0處具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，從而 f (x)處 處具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù) 因 f(0)“im(x)-f(0) LHLH =lim f”(x)=2a , f (0) = lim f”(x)=-1 xxj -x )0 11 且f_(0) = f(0),有a，綜上所述，當(dāng)a, b = 1, c = 0時(shí)，滿足題

14、意. 22 d sin x 2 例13、求 e dx posx g (x) a .2 2 sin xcos x dt = cos xe sin xe f (t)dt 二 fg(x)g(x)，其中 f (x)是連續(xù)函數(shù),g (x)存在. 注: dx x 例 14、設(shè) f(x)是連續(xù)函數(shù)，(1)令 F(x)二.(x-t)f (t)dt，則 F ”(x)二 f(x);(拆) a x (2)令 G(x)=詳 tf (x2 t2)dt，則 G(x) = xf (x2)(令 x2 t2 = u，換). y x .2 e dt =0確定的函數(shù)，求 y,y(0). 例 15、y = y(x)是由 x - 解：

15、對(duì)x求導(dǎo)得1 -e y X 1 e 1 七 x)2(y 1)=0，有 y=e(y x)2 -1 y +2 dt = 0中令x = 0時(shí)，有e dt=O，即y=1，代入上式得 y(0) = e -1 例16、 解：由 由(2) 則巴川(t) dx x_t t 二 1 ey si nty 1=0 (1)(dx _1)et)2 dt ey sint 少 ey cost -巴 dtdt ey cost 2 ， eVdu 例17、 解：將 驚求dx， 得 x(t) =0 x(t) e(XJ)1(2-y) x3 1 dy dx /口ey cost 得 y(t)=- 2-y = 0,x =0,y =1代入易

16、得dy dx t -0 - -e + 1 2 1 設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且J0 f(t)dt=x2x，則f(7)W f(t)dt=x2-x 兩端同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)得，3x2 f (x3-1) = 2x-1 令x3 -仁7,得x=2，代入上式有f(7) =1 4 題型三 例1、求下列高階導(dǎo)數(shù) (1) (2) 解: (n) y 高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 y(n)(x): = (4x2 5)50，求 y(100) =450 100! 3x+(n) =，求 y X2 -x 2 =(丄)(n)2(丄)(n) x 1x 2 (3) 4 丄4土 (n) 二 sin x cos x，求 y 1 2 二(-n!百百 (x+

17、1)n* (x-2)n* /3、(n)亠 1 /. x (n)*(n)亠 n；T、 =() (cos4x) 4 cos(4x ) 442 =(X2 X _ 2)n (COS-n , 4 求 f(n)(x) , f(n) (1). X)n(n_k) 4 ) n f(n)(1)=C；n!(x 2)n(cos)n|x,蟄 4- 22 三、課后練習(xí) 23 1(A)、若 f(0) =0,且 f (0)=a,則 lim X f(x);2f(x ) xTX3 2(A)、設(shè)函數(shù)f (x)在X = 0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是(D) (A)若 lim 丄 (C)若 lim XT xFX 3(B)、設(shè) f(0)=0

18、，貝U f (x)在 X=0 處可導(dǎo)二(C) f (x3sin1 x)存在 解: f (x)八 Ck(x-1)n(k)(x2)n(cos ； )n k -0 L f(x) f(-X) 存在，則f (0) =0 存在，則 f (0) =0 (B)若 lim xTx f(x) f( x)存在，則 f(0)存在 存在，則f(0)存在(D)若lim (A) lim xf (1. x)存在 (B) xm x3sin1x (C) him feh )/h存在(D) lim f (1cosh)/h2存在 lim fx sin1 x)不存在，因取 x 二 (n充分大)0 時(shí)，x3 sin1. x = 0. x

19、卩 x sinl x一 4(B)、設(shè)f (x)在(_、.，、)內(nèi)有定義，且恒有 (A)間斷點(diǎn) (B)連續(xù)而不可導(dǎo)點(diǎn) 注：設(shè) f (0) = 0 , f (x)在 x=0 處具有右導(dǎo)數(shù)：=limj f (1-cosh)； h2存在; f (x) _ x2，則 x = 0必是 f (x)的(C) (C)可導(dǎo)點(diǎn)，且f (0) =0(D)可導(dǎo)點(diǎn)，且f (0) = 0 提示：f(0) =0，用夾逼定理可求出f_(0)=0= f.(0). 23 5(A)、函數(shù)f(x)=(x x2)x -x不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 2 . 6(A)、設(shè) f (x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)二 f (x)(1 sinx),貝U f (0) =

20、0 是 F(x)在 x = 0處可導(dǎo)的(A) (A)充要條件(B)充分非必要條件(C)必要非充分條件(D)即非充分也非必要條件 7 (B)、 f (x)在點(diǎn)X = a處不可導(dǎo)的充分條件為(B) (A) f(a) =(a)=0(B) f(a) =0,f (a) = 0 (C) f (a) 0, f (a) 0(D) f (a) ： 0, f (a) ： 0 8(A)、設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間1,1上連續(xù)，則x = 0是函數(shù)g(x) = (f (t)dt/x的(B) (A)跳躍間斷點(diǎn)(B)可去間斷點(diǎn) (C)無(wú)窮間斷點(diǎn)(D)振蕩間斷點(diǎn) 9(A)、設(shè) f(x) = (1cosx)x X 0，其中 g(x

21、)是有界函數(shù)，則f(x)在 x = 0處(D) x2g(x) x (A)極限不存在(B)極限存在，但不連續(xù)(C)連續(xù)但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)點(diǎn) g(x) x：x 10(B)、設(shè)f(x) = a x = x0在x0處連續(xù)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)為(D) h(x) XAX0 若 g(x0)= h(x0)=b，則 f (怡)=b (2)若 g_(x0)= h() = b，則 f() = b 若 g (X0J = h (x0)= b，則 f() = b 若 g(x(二 h(x) = b，則 f (x) = b (A) 1(B) 2(C) 3(D) 4 11(A)、設(shè)函數(shù) f (x) W)(e2x -2)(en

22、x-n),其中 n 為正整數(shù)，則 f (0) =(A) (A) (-1嚴(yán)(n-1)! (B)(-1)n(n-1)!(C) (-1嚴(yán)n! (D) (-1)nn! -J 12 (B)、若 f(X。)= 0 ,求證：f (xo) =0f (x)| x zx0 = 0. dx- 13、計(jì)算下列導(dǎo)數(shù)(微分)： (1) (A)設(shè) y =ln、.、(1 x) (1 x2)，則 y (0) = -3 2. (2) (A)設(shè) y = 3(x1)(x7)廠x(1_X2)，求 y (1)11 12. (3) (A)若 y = f(3x2). (3x 2), f (x)二arctanx2，則 y(0)=3二 4. (

23、4) (A)若 y = f (x)由 ey 6xy x2 -1 = 0確定，則 y (0) - - 2 (5) (B)設(shè) y = f (x y)，其中 f 具有二階導(dǎo)數(shù)，且 f J 1，求 y(x)f ； (1- f )3. (6) (A)設(shè)丿X = f(t3t71，其中f可導(dǎo)，且(0)0,則史 )= f(e -1)dx xm (7) (8) 卜亠3門(1嚴(yán)所確定，則寫 i y =t +tdx (B)設(shè)函數(shù) f (x)= !ln 丘,XTy = f (f(x),則 dy 2x-1,xc1dx (A)設(shè) y = y(x)由 _ (6t 5)(t 1) (9) (B)設(shè) f (x)二 max tx, x2,x3 二 x (0, 2)，則 f (x)= _ 1 10 ： x1 3x2 1 ：. x ： 2 (10) (A) 設(shè) f (x) =(1-x), (1 x)，則 f (n)(x) =(-1)n 2 n! (x 1). (B) 設(shè)函數(shù) f (x) =x2 f (0) = (一 1嚴(yán)n! (n2). ln x f(0)f(1) = 2，令 F(X)二 f (t)dt，則 F (1) = 2. X X2 2X2