（江蘇專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第七章 不等式、推理與證明、數(shù)學歸納法 7.7 數(shù)學歸納法課件

1、7.7數(shù)學歸納法 第七章 不等式、推理與證明、數(shù)學歸納法 KAOQINGKAOXIANGFENXI 考情考向分析 高考要求理解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的命題，以 附加題形式在高考中出現(xiàn)，難度為中高檔 NEIRONGSUOYIN 內(nèi)容索引 基礎知識 自主學習 題型分類 深度剖析 課時作業(yè) 1基礎知識 自主學習 PART ONE 知識梳理 1.由一系列有限的_得出_的推理方法，通常叫做歸 納法. 2.用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題時，其步驟如下： (1)歸納奠基：證明取第一個自然數(shù)n0時命題成立； (2)歸納遞推：假設nk(kN*，kn0)時命題成立，證明當nk1時，命

2、 題成立； (3)由(1)(2)得出結論. ZHISHISHULIZHISHISHULI 特殊現(xiàn)象一般性的結論 【概念方法微思考】 1.用數(shù)學歸納法證明命題時，n取第1個值n0，是否n0就是1? 提示n0是對命題成立的第1個正整數(shù)，不一定是1.如證明n邊形的內(nèi)角和時， n3. 2.用數(shù)學歸納法證明命題時，歸納假設不用可以嗎？ 提示不可以，用數(shù)學歸納法證明命題，必須用到歸納假設. 基礎自測 JICHUZICEJICHUZICE 題組一思考辨析 123456 1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)所有與正整數(shù)有關的數(shù)學命題都必須用數(shù)學歸納法證明.() (2)不論是等式還是不等式

3、，用數(shù)學歸納法證明時，由nk到nk1時，項數(shù) 都增加了一項.() (3)用數(shù)學歸納法證明等式“12222n22n31”，驗證n1時， 左邊式子應為122223.() (4)用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時，n03.() 題組二教材改編 123456 解析nN*，n1， 123456 3.P103T13在數(shù)列an中，a1 ，且Snn(2n1)an，通過求a2，a3，a4，猜 想an的表達式為_. 123456 123456 123456 1aa2 解析當n1時，n12， 左邊1a1a21aa2. 題組三易錯自糾 123456 6.用數(shù)學歸納法證明1232n2n122n1(nN*)時，假設當

4、nk時 命題成立，則當nk1時，左端增加的項數(shù)是_.2k 解析運用數(shù)學歸納法證明 1232n2n122n1(nN*). 當nk時，則有1232k2k122k1(kN*)， 左邊表示的為2k項的和. 當nk1時，左邊1232k(2k1)2k1， 表示的為2k1項的和，增加了2k12k2k項. 2題型分類深度剖析 PART TWO 題型一用數(shù)學歸納法證明等式 自主演練自主演練 證明當n1時， 左邊右邊，所以等式成立. 假設nk(kN*，k1)時等式成立， 則當nk1時， 所以當nk1時，等式也成立. 由可知，對于一切nN*等式都成立. 假設當nk(kN*)時，等式成立， 那么，當nk1時， 所以當

5、nk1時，等式也成立. 由知，等式對任何nN*均成立. 思維升華 用數(shù)學歸納法證明等式時應注意： (1)明確初始值n0的取值； (2)由nk證明nk1時，弄清左邊增加的項，明確變形目標； (3)變形時常用的幾種方法：因式分解；添拆項；配方法. 題型二證明不等式 師生共研師生共研 例1 若函數(shù)f(x)x22x3，定義數(shù)列xn如下：x12，xn1是過點P(4,5)， Qn(xn，f(xn)(nN*)的直線PQn與x軸的交點的橫坐標，試運用數(shù)學歸納法證明： 2xnxn13. 證明當n1時，x12，f(x1)3，Q1(2，3). 所以直線PQ1的方程為y4x11， 即n1時結論成立. 假設當nk(k1

6、，kN*)時，結論成立， 即2xkxk13. 當nk1時，直線PQk1的方程為 代入上式，令y0， 由歸納假設，2xk13， 即xk1xk2，所以2xk1xk23， 即當nk1時，結論成立. 由知對任意的正整數(shù)n,2xnxn11時，k2k10，即k(2k1)k22k1， 綜合可知，原不等式對nN*且n1恒成立. 題型三數(shù)學歸納法的綜合應用 多維探究多維探究 命題點1整除問題 例2 (2018蘇北四市期中)設nN*，f(n)3n7n2. (1)求f(1)，f(2)，f(3)的值； 解nN*，f(n)3n7n2， f(1)3728， f(2)3272256， f(3)33732368. (2)求證

7、：對任意的正整數(shù)n，f(n)是8的倍數(shù). 證明用數(shù)學歸納法證明如下： 當n1時，f(1)3728，成立； 假設當nk(kN*)時成立，即f(k)3k7k2能被8整除， 則當nk1時， f(k1)3k17k12 33k77k2 3(3k7k2)47k4 3(3k7k2)4(7k1)， 3k7k2能被8整除，7k1是偶數(shù)， 3(3k7k2)4(7k1)一定能被8整除， 即nk1時也成立. 由得對任意正整數(shù)n，f(n)是8的倍數(shù). 命題點2和二項式系數(shù)有關的問題 F2 015(2)1. (1)若fk(x)xk，求F2 015(2)的值； 設nm(mN*)時，對一切實數(shù)x(x0，1，m)， 那么，當n

8、m1時，對一切實數(shù)x(x0，1，(m1)， 即nm1時，等式成立. 故對一切正整數(shù)n及一切實數(shù)x(x0，1，n)， 命題點3和數(shù)列集合等有關的交匯問題 例4設集合M1,2,3，n(nN*，n3)，記M的含有三個元素的子集 個數(shù)為Sn，同時將每一個子集中的三個元素由小到大排列，取出中間的數(shù)， 所有這些中間的數(shù)的和記為Tn. 當n4時，M1,2,3,4，S44，T4223310， 下面用數(shù)學歸納法證明： 當n3時，由(1)知猜想成立. 而當集合M從1,2,3，k變?yōu)?,2,3，k，k1時， Tk1在Tk的基礎上增加了1個2,2個3,3個4，(k1)個k， 所以Tk1Tk213243k(k1) 所以

9、當nk1時，猜想也成立. 綜上所述，猜想成立. 思維升華 利用數(shù)學歸納法可以探索與正整數(shù)n有關的未知問題、存在性問題，其基本 模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結論，然后經(jīng)邏輯推理 即演繹推理論證結論的正確性. 跟蹤訓練2 (1)求證：對一切正整數(shù)n,42n13n2都能被13整除. 證明當n1時，421131291能被13整除. 假設當nk(kN*)時，42k13k2能被13整除， 則當nk1時， 42(k1)13k342k1423k2342k1342k13 42k1133(42k13k2)， 42k113能被13整除，42k13k2能被13整除， 當nk1時也成立， 由可知，當nN*

10、時，42n13n2能被13整除. 求a1，a2； 證明：anan12，nN. 證明用數(shù)學歸納法證明： a0a12，命題成立. ()假設nk(kN*，k1)時有ak1ak2. 則nk1時， 而ak1ak0， nk1時命題成立. 由()()知，對一切nN都有anan12. akak10，即akak1. 3課時作業(yè) PART THREE 基礎保分練 123456 123456 所以當n1時，不等式成立； (2)假設當nk(kN*)時，akak1成立， 所以，當nk1時，不等式成立. 綜上所述，不等式anan1(nN*)成立. 123456 2.用數(shù)學歸納法證明an1(a1)2n1能被a2a1整除(n

11、N*). 123456 證明當n1時，左邊a2(a1)1a2a1，可被a2a1整除； 假設當nk(k1，kN*)時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除， 則當nk1時， ak11(a1)2(k1)1 ak2(a1)2k1 aak1(a1)2(a1)2k1 aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1， 由假設可知aak1(a1)2k1能被a2a1整除， 又(a2a1)(a1)2k1也能被a2a1整除， 123456 所以ak2(a1)2k1能被a2a1整除， 即nk1時，命題也成立. 由知，對一切nN*命題都成立. 123456 (1)

12、分別計算出a2，a3，a4的值，然后猜想數(shù)列an的通項公式； 123456 123456 化簡得(a42)25， 123456 (2)用數(shù)學歸納法證明你的猜想. 假設當nk(k1，kN*)時，(*)式成立， 當nk1時，(*)式也成立. 123456 (1)若b1，求a2，a3及數(shù)列an的通項公式； 123456 再由題設條件知(an11)2(an1)21. 從而(an1)2是首項為0，公差為1的等差數(shù)列， 下面用數(shù)學歸納法證明上式： 當n1時，結論顯然成立. 123456 假設當nk(k1，kN*)時結論成立， 所以當nk1時結論成立. 123456 (2)若b1，問：是否存在實數(shù)c使得a2

13、nca2n1對所有nN*成立？證明你 的結論. 123456 則an1f(an). 下面用數(shù)學歸納法證明加強命題： a2nca2n11. 假設當nk(k1，kN*)時結論成立， 123456 即a2kca2k1f(a2k1)f(1)a2， 即1ca2k2a2. 再由f(x)在(，1上為減函數(shù)，得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31， 故ca2k31. 因此a2(k1)ca2(k1)11. 即當nk1時結論成立. 123456 則an1f(an). 先證：0an1(nN*). 當n1時，結論顯然成立. 假設當nk(k1，kN*)時結論成立，即0ak1. 易知f(x)在(，1上為減函數(shù)， 即0

14、ak11. 即當nk1時結論成立. 故成立. 再證：a2na2n1(nN*). 123456 有a2a3，即n1時成立. 假設當nk(k1，kN*)時，結論成立，即a2kf(a2k1)a2k2， a2(k1)f(a2k1)f(a2n1)，即a2n1a2n2， 123456 5.已知函數(shù)f0(x)x(sin xcos x)，設fn(x)為fn1(x)的導數(shù)，nN*. (1)求f1(x)，f2(x)的表達式； 解因為fn(x)為fn1(x)的導數(shù)， 所以f1(x)f0(x)(sin xcos x)x(cos xsin x) (x1)cos x(x1)(sin x)， 同理，f2(x)(x2)sin x(x2)cos x. 技能提升練 123456 (2)寫出fn(x)的表達式，并用數(shù)學歸納法證明. 123456 解由(1)得f3(x)f2(x)(x3)cos x(x3)sin x， 把 f1(x)，f2(x)，f3(x)分別改