變分法與最優(yōu)控制

1、.1 第二講第二講 變分法與變分法與 最優(yōu)控制最優(yōu)控制 .2 主要內容主要內容 2.1 變分法概述 2.2 無約束最優(yōu)化問題 無約束固定端點泛函極值必要條件 無約束自由端點泛函極值必要條件 2.3 等式約束最優(yōu)化問題 2.4 變分法求解最優(yōu)控制問題 引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問題 求解綜合型（波爾扎）問題 .3 2.1 變分法概述 1、泛函定義 2、泛函的連續(xù)性 3、泛函的極值 4、線性泛函 5、泛函的變分 6、泛函變分的求法 7、泛函變分的規(guī)則 8、泛函極值的條件 .4 2.1 變分法概述變分法概述 1、泛函定義、泛函定義 l定義：定義： 如果變量如果變量y對于某一函數(shù)類中的每一個函數(shù)對于某

2、一函數(shù)類中的每一個函數(shù) x(t)，都有一個都有一個確定的值確定的值與之對應，那么就與之對應，那么就 稱變量稱變量y為依賴于函數(shù)為依賴于函數(shù)x(t)的泛函，記為：的泛函，記為： y=J x(t)。 說明：說明：由于函數(shù)的值是由自變量的選取而確定的，而泛函 的值是由自變量的函數(shù)的選取而確定的，所以將泛函理解 為“函數(shù)的函數(shù)”。 .5 【例2.1】 是一個泛函。 變量J的值是由函數(shù)x(t) 的選取而確定。 當 時, 有 。 當 時, 有 。 .6 【例2.2】曲線的弧長 求：平面上連接給定兩點A(x0，y0) 和B(x1，y1)的曲線的弧長 J。 A、B兩點間的曲線方程為：y=f(x) A、B兩點間

3、的弧長為： dx dx dy J x x 1 0 2 1 .7 泛函的上述概念，可以推廣到含有幾個函數(shù)的 泛函的情況，例如： 1 0 )()(dttytxJ dtttxtxLtxJ f t t 0 ),(),()( 求一般函數(shù)極值 微分法 求泛函極值 變分法 .8 2 2、泛函的連續(xù)性、泛函的連續(xù)性 l 函數(shù)相近(零階相近) 當函數(shù)x(t)與 x0(t)之差的絕對值，即 x(t)-x0(t) , t1t t2 對于x(t)的定義域中的一切t（ t1 t t2 ）都很小時， 稱函數(shù)x(t)與函數(shù)x0(t)是相近的，也稱為零階相近。 .9 l 一階相近 當函數(shù)x(t)與 x0(t)之差的絕對值以及

4、它們的一 階導數(shù) 和 之差的絕對值，即 t1 t t2 都很小，稱函數(shù)x(t)與函數(shù)x0(t)是一階相近的。 )(tx )( 0 tx )()()()( 00 txtxtxtx和 注意：一階相近的兩個函數(shù)，必然 是零階相近，反之不成立。 l K階相近 當 t1 t t2 都很小時，稱函數(shù)x(t)與函數(shù)x0(t)是k階 相近的。 )()(, )()(, )()( )( 0 )( 00 txtxtxtxtxtx kk .10 l 函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 l 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體 構成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： l 在函數(shù)空間

5、Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的 k階導數(shù)的函數(shù)的全體構成的函數(shù)空間）中，任意兩個 函數(shù)間的距離定義為： )()(max)(),( 00 txtxtxtxd bta )()(, )()(, )()(max)(),( )( 0 )( 000 txtxtxtxtxtxtxtxd kk bta 顯然，式（2.1）定量地表示兩個函數(shù)之間的零階相近度， 而式（2.1）定量地表示兩個函數(shù)之間的k階相近度。 （2.1） （2.2） 零階距離零階距離零階距離零階距離 l 函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 l 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體 構成的函數(shù)空間）中

6、，通常采用下式定義距離： l 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的 k階導數(shù)的函數(shù)的全體構成的函數(shù)空間）中，任意兩個 函數(shù)間的距離定義為： )()(max)(),( 00 txtxtxtxd bta （2.1） 零階距離零階距離零階距離零階距離 )()(, )()(, )()(max)(),( )( 0 )( 000 txtxtxtxtxtxtxtxd kk bta l 函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 l 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體 構成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： l 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)

7、的 k階導數(shù)的函數(shù)的全體構成的函數(shù)空間）中，任意兩個 函數(shù)間的距離定義為： )()(, )()(, )()(max)(),( )( 0 )( 000 txtxtxtxtxtxtxtxd kk bta l 函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 l 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體 構成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： l 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的 k階導數(shù)的函數(shù)的全體構成的函數(shù)空間）中，任意兩個 函數(shù)間的距離定義為： )()(, )()(, )()(max)(),( )( 0 )( 000 txtxtxtxtxtxtxtxd

8、kk bta l 函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 l 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體 構成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： l 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的 k階導數(shù)的函數(shù)的全體構成的函數(shù)空間）中，任意兩個 函數(shù)間的距離定義為： )()(, )()(, )()(max)(),( )( 0 )( 000 txtxtxtxtxtxtxtxd kk bta l 函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 l 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體 構成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： l 在函數(shù)空

9、間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的 k階導數(shù)的函數(shù)的全體構成的函數(shù)空間）中，任意兩個 函數(shù)間的距離定義為： )()(, )()(, )()(max)(),( )( 0 )( 000 txtxtxtxtxtxtxtxd kk bta l 函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 l 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體 構成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： l 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的 k階導數(shù)的函數(shù)的全體構成的函數(shù)空間）中，任意兩個 函數(shù)間的距離定義為： )()(, )()(, )()(max)(),( )( 0 )( 0

10、00 txtxtxtxtxtxtxtxd kk bta l 函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 l 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體 構成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： l 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的 k階導數(shù)的函數(shù)的全體構成的函數(shù)空間）中，任意兩個 函數(shù)間的距離定義為： k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離 l 函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同

11、。 l 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體 構成的函數(shù)空間）中，通常采用下式定義距離： l 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的 k階導數(shù)的函數(shù)的全體構成的函數(shù)空間）中，任意兩個 函數(shù)間的距離定義為： 零階距離零階距離零階距離零階距離 k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離k階距離階距離 l 函數(shù)間距離 在不同的函數(shù)空間，函數(shù)間的距離定義也不同。 l 在函數(shù)空間Ca，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)的全體 構成的函數(shù)空間）中

12、，通常采用下式定義距離： l 在函數(shù)空間Cka，b（在區(qū)間a，b上連續(xù)且具有連續(xù)的 k階導數(shù)的函數(shù)的全體構成的函數(shù)空間）中，任意兩個 函數(shù)間的距離定義為： .11 l 泛函的連續(xù)性 如果對于任意給定的正數(shù)，可以找到這樣一個 0，當 dx(t)，x0(t) 時，存在 Jx(t)Jx0(t) 那么，就說泛函J在點x0(t)處是連續(xù)的。 根據(jù)所采用的函數(shù)之間距離定義的不同，對應的 泛函分別稱為零階連續(xù)泛函(2.1)或k階連續(xù)泛函 (2.2)。 .12 3 3、泛函的極值、泛函的極值 l如果是在與僅僅具有零階 接近度的曲線的泛函中比較得出的極 值，稱為強極值。 l如果是在與 具有一階或一階 以上接近度

13、的曲線 的泛函中比較得出 的極值，則稱為弱極值。 )( 0 txJ )( 0 tx )(tx )( 0 txJ)( 0 tx )(tx .13 4 4、線性泛函、線性泛函 連續(xù)泛函如果滿足下列條件： （1）疊加原理 ： Jx1(t)+ x2(t)= Jx1(t)+ Jx2(t) （2） 齊次性： Jcx(t)=c Jx(t) 其中，c是任意常數(shù)，就稱為線性泛函。 例如： 2 1 )()(sin)()( t t dttxtttxtxJ 2 1 )()()()()( t t dttxtqtxtptxJ 2 )()( t txtxJ 都滿足上述兩個條件，故均為線性泛函。 .14 5 5、泛函的變分、

14、泛函的變分 l 宗量的變分宗量的變分 若函數(shù)x(t)是變量J的自變量函數(shù)，則稱x(t)為泛 函Jx(t)的宗量函數(shù)。 宗量的變分是指在同一函數(shù)類中的兩個宗量函數(shù)間 的差： .15 )(),(txtxLJ 也就是說，泛函的變分是泛函的變分是泛函增量的線性主部泛函增量的線性主部。 當一個泛函具有變分時，稱該泛函是可微的泛函是可微的。 l 泛函的變分泛函的變分 當宗量x(t)有變分時，泛函的增量可以表示為 )()()()(txJtxtxJtxJ )(),()(),(txtxrtxtxL 其中，Lx(t)，x(t)是關于x(t)的線性連續(xù)泛函； rx(t)，x(t)是關于x(t)的高階無窮?。?Lx(

15、t)，x(t)稱為泛函的變分，記為 線性線性 主部主部 .16 6 6、泛函變分的求法、泛函變分的求法 定理定理2 21 1 連續(xù)泛函J(x)的變分，等于 泛函 對的導數(shù)在=0 時的值. 即 定理定理2 22 2 連續(xù)泛函J(x)的二次變分定義為 （證明略） （證明略） .17 7 7、泛函變分的規(guī)則、泛函變分的規(guī)則 .18 求泛函 的變分。 【例2.3】 .19 8 8、泛函極值的條件、泛函極值的條件 泛函極值的泛函極值的必要條件必要條件： 定理定理2 23 3 連續(xù)可微泛函J(x) 在x0(t)上達到極值 的必要條件為：J(x)在x=x0處必有 泛函極值的泛函極值的充要條件充要條件： 定理

16、定理2 24 4 設可微泛函J(x)存在二次變分， 則在 x=x0處達到極小值的充要條件為： 同理，設可微泛函J(x)存在二次變分， 則在x=x0 處達到極大值的充要條件為： .20 主要內容主要內容 2.1 變分法概述 2.2 無約束最優(yōu)化問題 無約束固定端點泛函極值必要條件 無約束自由端點泛函極值必要條件 2.3 等式約束最優(yōu)化問題 2.4 變分法求解最優(yōu)控制問題 引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問題 求解綜合型（波爾扎）問題 .21 2.2 無約束最優(yōu)化問題無約束最優(yōu)化問題 1 1、無約束固定端點泛函極值必要條件、無約束固定端點泛函極值必要條件 ),(),(ttxtxL 問題問題 2-12-1

17、無約束固定終端泛函極值問題為無約束固定終端泛函極值問題為: : 其中, 及x(t)在t0,tf上連續(xù)可微， t0及tf 固定， n Rtx)( 求滿足上式的極值軌線x*(t)。 x(t0)= x0，x(tf)= xf， .22 f t t dtttxtxLtxJ 0 ),(),()( ),(),(ttxtxL 定理定理2 25 5 若給定曲線x(t)的始端x(t0)= x0和終端x(tf)= xf， 則泛函 達到極值的必要條件是，曲線x(t)滿足歐拉方程 其中x(t)應有連續(xù)的二階導數(shù)， 則至少應是二次連續(xù)可微的。 歐拉(Euler)方程 （證明略） 邊界條件 0 xx L dt d L 或

18、.23 歐拉方程的全導數(shù)形式歐拉方程的全導數(shù)形式 在 中，第二項 為全導數(shù) )(tx L dt d 令 ),(txxg x L dt d z x L dt d dt dt x L tdt dx x L xdt xd x L x xt L dt dx xx L dt xd x L 22 2 2 0 2 222 x L x xx L x xt L x L 0 xxxxt xx LxLxLL 得歐拉方程的全導數(shù)形式 或 .24 【例2.4】 求泛函 在邊界條件 下的極值曲線及極值. .25 幾種特殊的歐拉方程（可以得到封閉形式的解）幾種特殊的歐拉方程（可以得到封閉形式的解） 被積函數(shù)L不依賴于 ，即

19、 被積函數(shù)L不依賴于x， 即 被積函數(shù)L不依賴于t， 即 在這種情況下，歐拉方程的首次積分為 其中c是待定的積分常數(shù)。實際上，將上 式左邊對t求全導數(shù)，有 x ),(txLL ),(txLL ),(xxLL cLxL x xxxxxxxx LxxLxLxLxLxLxL dt d 2 )( 0)( xxxxx LxLxLx cLxL x x xtxtxL),(),( 0 xxxxt xx LxLxLL 被積函數(shù)L 線性地依賴于 ，即 .26 【例2.5】 最速降線(又稱捷線)問題 設在豎直平面內有兩點A和B， 它們不在同一條鉛垂線上?，F(xiàn)有 一質點受重力的作用自較高的A 點向較低的B點滑動，如果不

20、考 慮各種阻力的影響，問應取怎樣 的路徑，才能使所經歷的時間最 短？ 在A、B兩點所在的豎直 平面內選擇一坐標系， 如上圖所示。A點為坐 標原點，水平線為x軸， 鉛垂線為y軸。 結論:最速降線是一條圓滾線。 .27 對于向量空間的泛函，也存在著歐拉方程，不 過是歐拉方程組（即向量歐拉方程）。 定理定理2 26 6 在n維函數(shù)空間中，若極值曲線 X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T和終端 X(tf)=x1(tf),x2(tf),xn(tf)T是給定的，則泛函 f t t dtttXtXLtXJ 0 ),(),()( 達到極值的

21、必要條件是曲線X(t)滿足向量歐拉方程 0 X X L dt d L 其中X(t)應有連續(xù)的二階導數(shù)，而 則至少應是 二次連續(xù)可微的。 ),(),(ttXtXL 向量歐拉方程向量歐拉方程 或 0 X L dt d X L .28 向量歐拉方程 向量歐拉方程向量歐拉方程 可寫成標量方程組 0 X L dt d X L 0 0 0 22 11 nn x L dt d x L x L dt d x L x L dt d x L .29 【例2.6】 求泛函 滿足邊界條件 的極值函數(shù)。 2 0 2 2 2 12121 )2()(),( dtxxxxtxtxJ 1) 2 (, 0)0(, 1) 2 (,

22、 0)0( 2211 xxxx 思考：能否利用MATLAB符號工具箱求解微分方程組？ .30 當極值曲線x*(t)的端點變化時，要使泛函 達到極小值， x*(t)首先應當滿足歐拉方程： f t t ttxtxLtxJ 0 ),(),()( 0 xx L dt d L 若端點固定,可以利用端點條件: ff xtx xtx )( )( 00 確定歐拉方程中的兩個待定的積分常數(shù)。 問題：問題：若端點可變，如何確定這兩個積分常數(shù)？若端點可變，如何確定這兩個積分常數(shù)？ 2.2 無約束最優(yōu)化問題無約束最優(yōu)化問題 2、無約束自由端點泛函極值必要條件（橫截條件）、無約束自由端點泛函極值必要條件（橫截條件） .

23、31 圖形分析圖形分析 , 都固定，圖a 即 )( 0 tx )()( * ff txtx 即 0)( 0 tx0)( f tx 固定, 自由 圖 b )()( 00 * txtx 0)( 0 tx即 因為 自由 所以0)( f tx 0 )( f t x 終端僅在 上滑動 f tt 求出最優(yōu) 許多狀態(tài)軌線 )( f tx )()( 00 * txtx )( 0 tx )( f tx )(tx )( 0 tx )( f tx )( f tx )(tx )( f tx )( 0 tx)( f tx .32 自由， 固定 ，圖c 則橫截條件變?yōu)椋?f x ff xtx)( 0 )( 0 t x 始

24、端僅在 上滑動 0 tt 端點變動的情況： 自由端點，無約束條件的變分，如圖: 始點 在曲線 上變動 0 x)(tx 終點 在曲線 上變動 f x)(tx )( 0 tx)( f tx t )( f tx )( 0 tx )(tx )(t 0 x f x f ftt 0 t 0 0tt f t )(0th )(t )(tx )()(thtx )(th )(fth )(tx 0)( * 0 tt x LxL 0)( * f tt x LxL .33 問題描述：問題描述：假定極值曲線的始端A(t0，x0)是固定的， 而終端B(tf，xf)是可變的，并沿著給定的曲線 )()( ff ttx 現(xiàn)在的問

25、題是：需要確定 一條從給定的點A(t0，x0)到 給定的曲線 上的某一 點B(tf，xf)的連續(xù)可微的曲 線x(t) ，使得泛函 f t t ttxtxLtxJ 0 ),(),()( 達到極小值。 變動，如右下圖所示。 )( f t .34 橫截條件 定理定理2-72-7 若曲線x(t)由一給定的點(t0，x0)到給定的曲線 x(tf)=(tf)上的某一點(tf，xf)，則泛函 f t t ttxtxLtxJ 0 ),(),()( 達到極值的必要條件必要條件是， x(t)滿足歐拉方程 0 xx L dt d L 和橫截條件 0)( * f tt x LxL 其中x(t)應有連續(xù)的二階導數(shù)， 則

26、至少應是二 次連續(xù)可微的，而(t) 則應有連續(xù)的一階導數(shù)。 ),(),(ttxtxL （證明略） .35 若極值曲線的始端不是固定的，并沿著曲線 )()( 00 ttx 變動，則同樣可以推導出始端的橫截條件 0)( * 0 tt x LxL 定理定理2-72-7擴展擴展 .36 根據(jù)定理定理2-7和上式，可得到端點可變時，Lagrange 問題的解，除有歐拉方程外，還有橫截條件： (1)始端、終端可變，即x(t0)=(t0)， x(tf)=(tf)，則橫截條 件為： 0)( * 0 tt x LxL 0)( * f tt x LxL (2) 當t0、 tf 可變，而x(t0) 與x(tf)固定

27、時，則橫截條件為： , 0 * 0 tt x LxL 0 * f tt x LxL (3)當t0、 tf 固定，而x(t0) 與x(tf)可變時，即始端與終端分 別在t=t0、t=tf上滑動，則橫截條件為： 0 * 0 tt x L 0 * f tt x L 橫截條件總結橫截條件總結 .37 定理2-7和以上幾種情況的橫截條件，都可以將其推廣 到n維函數(shù)向量X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的泛函的情形。 定 理定 理 2 - 82 - 8 在n維 函 數(shù) 空 間 中 ， 若 曲 線 X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T 的始端 X(t0)=x1(t0),x2(t0),x

28、n(t0)T是 固定的，而終端X(tf)=x1(tf), x2(tf), xn(tf)T是可變的，且 在曲面X(tf)=(tf)上變動，則泛函 f t t dtttXtXLtXJ 0 ),(),()( 達到極值的必要條件是，曲線X(t)滿足向量歐拉方程 0 XX L dt d L 和橫截條件 0)( * f tt X T LXL .38 若曲線X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端不是固定的，而 是可變的，并在給定的曲面 )()( 00 ttX 上變動，其中 ，則同 樣可以推導出始端的橫截條件為： T n tttt)(,),(),()( 002010 0)( * 0 tt X L

29、XL .39 【例2.7】 泛函求極值 若x(0)與x(2)任意，求極值曲線x*及極值 J(x*). dtxxxxxxJ x 2 0 2 2 1 )(min .40 【例2-8】求固定點A（0，1）到給定直線 的弧長最短的曲線方程tt 2)( .41 主要內容主要內容 2.1 變分法概述 2.2 無約束最優(yōu)化問題 無約束固定端點泛函極值必要條件 無約束自由端點泛函極值必要條件 2.3 等式約束最優(yōu)化問題 2.4 變分法求解最優(yōu)控制問題 引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問題 求解綜合型（波爾扎）問題 .42 回顧等式約束條件下函數(shù)極值問題的解法 設有函數(shù)),(yxgZ （2.2） 現(xiàn)在需要求函數(shù)Z在以

30、下約束條件下的極值。 0),(yxf （2.1） （1）消元法：從約束條件（2.2）中將y解出來。 用x表示y，即 y=y(x) 然后將y(x)代入g(x,y)中，得到 Z=gx, y(x) （2.3） 這樣，函數(shù)Z只含有一個自變量x. 等式等式(2.2)約束條件下的函數(shù)約束條件下的函數(shù)(2.1)極值問題極值問題 無約束條件的函數(shù)無約束條件的函數(shù)(2.3)極值問題極值問題 存在兩個問題： 從方程(2.2) 中將y解出來往 往很困難； 對x和y這兩 個自變量未能 平等看待。 .43 （2）拉格朗日乘子法（Lagrange factor） 步驟如下： 作一個輔助函數(shù) F=g(x,y)+f(x,y)

31、 式中， 是待定常數(shù)，稱為拉格朗日乘子； 0, 0 y F x F (2.4) 聯(lián)立求解方程（2.2）和（2.4），求出駐點（ x0 ， y 0）和待定常數(shù)值; 判斷（ x0 ，y 0）是否是函數(shù)g(x,y)的極值點。 （2.2）0),(yxf 約束條件約束條件 求輔助函數(shù)F的無條件極值，即令 Lagrange函數(shù)函數(shù) 等式約束條件下的函數(shù)極值問題等式約束條件下的函數(shù)極值問題 無約束條件的函數(shù)極值問題無約束條件的函數(shù)極值問題 .44 （2）拉格朗日乘子法（Lagrange factor） 擴展：擴展： 1、拉格朗日乘子法對于求n元函數(shù) Z=g（x1，x2，xn） 在約束條件下的極值問題，同樣適

32、用。 2、拉格朗日乘子法對于求在多個約束方程 fi（x1，x2，xm） =0， i=1，2， ，m； 下的極值問題，同樣適用。 3、m n是必要的。 向量向量函數(shù)函數(shù) 向量向量方程約束方程約束 .45 2.3 等式約束最優(yōu)化問題等式約束最優(yōu)化問題 1 1、等式約束固定終端泛函極值必要條件、等式約束固定終端泛函極值必要條件 問題問題 2-22-2等式約束固定端點泛函極值問題為等式約束固定端點泛函極值問題為: : 情況下的極值軌線X*(t)。 （2.5） 求泛函 f t t dtttXtXgJ 0 ),(),( 在約束方程為, 0),(),( 0f tttttXtXf 和端點條件為 ff XtX

33、XtX )( )( 00 （2.6） 向量形式向量形式 .46 【解決方法】 引入拉格朗日向量乘子，將等式約束泛函極值問題 轉化為無約束泛函極值問題。 步驟如下： （1）構造輔助泛函 其中(t)= 1(t), 2(t), m (t)T是m維待定向量乘子。 （2.7） 無約束條件的泛函（無約束條件的泛函（2.72.7）極值問題）極值問題 有約束條件（有約束條件（2.62.6）的泛函（）的泛函（2.52.5）極值問題）極值問題 dtttXtXftttXtXgJ f t t T 0 ),(),()(),(),( 0 .47 （2）令 寫出歐拉方程 0 X X L dt d L ),(),()(),(

34、),(ttXtXftttXtXgL T （3）聯(lián)立求解歐拉方程（2.8）和約束方程 （2.6），可以得到n維向量函數(shù)X(t)和m維向量乘 子 (t)。 （4）利用端點條件確定歐拉方程解中的2n個積分 常數(shù)，得到候選函數(shù)X*(t) 。 （5）檢驗候選函數(shù)X*(t)是否使泛函（2.7）達到極 值，以及是極大值還是極小值。 （2.8） .48 定理2-92-9 如果n維向量函數(shù) X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T 能使泛函 f t t dtttXtXgJ 0 ),(),( 在等式約束 , 0),(),( 0f tttttXtXf 條件下達到極值，這里f是m維向量函數(shù)， m n，必存在適當

35、的 m維向量函數(shù) (t)= 1(t), 2(t), m (t)T 使泛函 dtttXtXftttXtXgJ f t t T 0 ),(),()(),(),( 0 達到無條件極值。即函數(shù)X (t)是上述泛函J0的歐拉方程 0 X X L dt d L 的解，其中),(),()(),(),(),(ttXtXfttttXtXgL T 而X (t)和(t)由歐拉方程和約束方程共同確定。 .49 無約束條件的泛函無約束條件的泛函J J0 0極值問題極值問題 有約束條件的泛函有約束條件的泛函J J極值問題極值問題 等價等價 證明：證明： .50 2 0 2 )( 2 1 dttxJ 取極小值。給定的邊界條

36、件為 0)2(, 1)0(, 0)2(, 1)0(xxxx 例例2-92-9 已知受控系統(tǒng)的動態(tài)結構如圖所示。求最優(yōu) 控制u*(t)及最優(yōu)軌線x*(t) ，使目標泛函 .51 2.3 等式約束最優(yōu)化問題等式約束最優(yōu)化問題 2 2、等式約束自由端點泛函極值必要條件、等式約束自由端點泛函極值必要條件 如何求解？如何求解？ .52 主要內容主要內容 2.1 變分法概述 2.2 無約束最優(yōu)化問題 無約束固定端點泛函極值必要條件 無約束自由端點泛函極值必要條件 2.3 等式約束最優(yōu)化問題 2.4 變分法求解最優(yōu)控制問題 引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問題 求解綜合型（波爾扎）問題 .53 2.4 變分法求解

37、最優(yōu)控制問題變分法求解最優(yōu)控制問題 當狀態(tài)變量和控制變量均不受約束，即 X(t)Rn，U(t) Rm時，最優(yōu)控制問題是個在 等式約束條件下求泛函極值的變分問題，因 此，可以利用在上一節(jié)中介紹的拉格朗日乘 子法來求解。 在這一節(jié)中，利用拉格朗日乘子法求解 最優(yōu)控制問題時，將引入哈密頓（Hamilton） 函數(shù)，推導出幾種典型的最優(yōu)控制問題應滿 足的必要條件。 .54 2.4 變分法求解最優(yōu)控制問題變分法求解最優(yōu)控制問題 1 1、引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問題、引入哈密頓函數(shù)求解拉格朗日問題 ),(),()(ttUtXftX (2.10) 初始條件 00) (XtX (2.9) 終端條件：tf固定

38、，X(tf)自由和性能泛函 f t t dtttUtXLJ 0 ),(),(2.11) 給定系統(tǒng)狀態(tài)方程 要求從容許控制U(t) Rm中確定最優(yōu)控制U*(t)，使系統(tǒng)（2.9） 從給定的初態(tài)X(t0)轉移到某個終態(tài)X(tf) ，并使性能泛函（2.11） 達到極小值。這是拉格朗日問題，又稱為積分型最優(yōu)控制問題。 問題問題 2-32-3 .55 解：將狀態(tài)方程 （2.9）改寫為 0)(),(),(tXttUtXf (2.12) 最優(yōu)控制問題 微分方程（2.12）在約束 條件下求泛函 極值的變分 問題。 f t t dtttUtXLJ 0 ),(),( ),(),()(ttUtXftX .56 利用

39、拉格朗日乘子法，引入n維拉格朗日乘子向量 (t)= 1(t), 2(t), n (t)T (t)稱為協(xié)態(tài)變量，以便與狀態(tài)變量相對應。 f t t T dttXttUtXftttUtXLJ 0 )(),(),()(),(),( 0 (2.13) dtttUttXtXF f t t 0 ),(),(),(),( 求泛函 在等式 約束條件下的極值問題 求泛函（2.13）J0 的無約束條件的極值問題。 f t t dtttUtXLJ 0 ),(),( 構造輔助泛函：構造輔助泛函： 0)(),(),(tXttUtXf .57 定義定義哈密頓（哈密頓（HamiltonHamilton）函數(shù)）函數(shù)為：為：

40、),(),()(),(),(),(),(),(),(ttUtXftttUtXLttUttXtXH T )()(),(),(),(),(),(),(),(tXtttUttXHttUttXtXF T )()(),(),(),(ttXttUttXH T )(),(),()(),(),(),(),(),(),(tXttUtXftttUtXLttUttXtXF T 輔助泛函輔助泛函 標量函數(shù)標量函數(shù) 哈密頓函數(shù)與輔助函數(shù)之間關系為：哈密頓函數(shù)與輔助函數(shù)之間關系為： .58 0 0 0 U F dt d U F F dt dF X F dt d X F 將 代入歐拉方程，得 0 ),(),()( )( U

41、 H ttUtXf H tX X H t 協(xié)態(tài)方程 （共軛方程） 狀態(tài)方程 規(guī)范方程 （正則方程） 控制方程 l利用變分法寫出輔助泛函利用變分法寫出輔助泛函 的歐拉方程的歐拉方程 ),(),(),(),(ttUttXtXF )()(),(),(),(),(),(),(),(tXtttUttXHttUttXtXF T .59 初始狀態(tài)為 00) (XtX 由于終端時刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由，所以橫截條件為 0 f tt X F 得 0)( f t l聯(lián)立求解規(guī)范方程聯(lián)立求解規(guī)范方程 可以得到兩個未知函數(shù)X(t)和 (t)。 l由邊界條件確定積分常量：由邊界條件確定積分常量：混合邊界問題

42、或兩點邊界值問題。 ),(),()( )( ttUtXf H tX X H t .60 求解兩點邊值問題步驟： l 由控制方程由控制方程 求得求得 U=UX(t)，(t)，t ； l 將上式代入規(guī)范方程消去其中的將上式代入規(guī)范方程消去其中的U(t)，得到得到 l 利用邊界條件聯(lián)立求解方程以上方程，可得唯一確定的解利用邊界條件聯(lián)立求解方程以上方程，可得唯一確定的解 X(t)和和(t)； l 將所求得的將所求得的X(t)和和(t)代入代入U=UX(t)，(t)，t ，求得相應的，求得相應的 U(t)。 ,),(),(),()(ttttXUtXftX ,),(),(),()(ttttXUtXH X

43、t 0 U H 說明：利用引入哈密頓函數(shù)的方法求解拉格朗日型最優(yōu)控制 問題，是將求泛函在等式約束條件下對控制函數(shù)在等式約束條件下對控制函數(shù)U(t)的條件極的條件極 值問題值問題轉化為求哈密頓函數(shù)求哈密頓函數(shù)H H對控制變量對控制變量U(t)的無條件極值問的無條件極值問 題題。這種方法稱為哈密頓方法哈密頓方法。 .61 定理定理2-102-10 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ),(),()(ttUtXftX 為將系統(tǒng)從給定的初態(tài)為將系統(tǒng)從給定的初態(tài) 00) (XtX 轉移到終端時刻轉移到終端時刻 tf固定，終端狀態(tài)固定，終端狀態(tài)X(tf)自由的某個終自由的某個終 態(tài)，并使性能泛函態(tài)，并使

44、性能泛函 f t t dtttUtXLJ 0 ),(),( 達到極小值的最優(yōu)控制應滿足的必要條件是：達到極小值的最優(yōu)控制應滿足的必要條件是： .62 （1 1）設）設U*(t)是最優(yōu)控制，是最優(yōu)控制， X*(t)是對應于是對應于U*(t)的最優(yōu)軌線，則的最優(yōu)軌線，則 必存在一與必存在一與U*(t)和和X*(t)相對應的相對應的n維協(xié)態(tài)變量維協(xié)態(tài)變量 (t) ，使得使得X(t)與與 (t) 滿足規(guī)范方程滿足規(guī)范方程 ),(),()(ttUtXf H tX X H t )( 其中其中 ),(),()(),(),(ttUtXftttUtXLH T （2 2）邊界條件為）邊界條件為 00) (XtX

45、0)( f t （3 3）哈密頓函數(shù)）哈密頓函數(shù)H H對控制變量對控制變量U(t)（t0ttf）取極值，即取極值，即 0 U H .63 * * 沿著最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線，哈密頓函數(shù)沿著最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線，哈密頓函數(shù)H H對時間對時間t t求求 全導數(shù)，得全導數(shù)，得 U U HH X X H t H dt dH TTT U U H X HHH X H t H TTT t H 若H不顯含t時，則有 H(t)=常數(shù) tt0，tf; 也就是說，當H不顯含t時，哈密頓函數(shù)H是不依賴于t 的常數(shù)。 .64 2 0 2 )( 2 1 dttxJ 取極小值。給定的邊界條件為 0)2(, 1)0(, 0)2(,

46、 1)0(xxxx 解法解法2 2：哈密頓方法：哈密頓方法 例例2-92-9 已知受控系統(tǒng)的動態(tài)結構如圖所示。求最優(yōu) 控制u*(t)及最優(yōu)軌線x*(t) ，使目標泛函 .65 2 0 2 )( 2 1 dttxJ 取極小值。給定的邊界條件為 )2(, 1)0(, 0)2(, 1)0(xxxx 自由 例例2-102-10 已知受控系統(tǒng)的動態(tài)結構如圖所示。求最 優(yōu)控制u*(t)及最優(yōu)軌線x*(t) ，使目標泛函 .66 11 )(ct 212 )(ctct 21 )(ctctu 32 2 12 2 1 ctctcx 43 2 2 3 11 2 1 6 1 ctctctcx 由例由例2-92-9哈密

47、頓方法：哈密頓方法： 由協(xié)態(tài)方程得：由協(xié)態(tài)方程得： 由控制方程得：由控制方程得： 由狀態(tài)方程得：由狀態(tài)方程得： .67 例例2-112-11 已知 系統(tǒng)方程和邊界條件為 uxx xx 22 21 1)0( 1)0( 2 1 x x 0) 1 ( 0) 1 ( 2 1 x x （1）求使性能泛函 1 0 2 )( 2 1 dttuJ 為極小值的最優(yōu)控制函數(shù)與最優(yōu)軌線。 可以利用MATLAB符號工具箱求解微分方程 （2）若終端條件為x1(1)=0，x2(1)自由，求該最優(yōu)控制 問題。 .68 2.4 變分法求解最優(yōu)控制問題變分法求解最優(yōu)控制問題 2 2、求解綜合型（波爾扎）問題、求解綜合型（波爾扎

48、）問題 ),(),()(ttUtXftX (2.10) 初始條件 00) (XtX (2.9) 和性能泛函 (2.14) 給定系統(tǒng)狀態(tài)方程 要求從容許控制U(t) Rm中確定最優(yōu)控制U*(t)，使系統(tǒng)（2.9） 從給定的初態(tài)X(t0)轉移到某個終態(tài)X(tf) ，并使性能泛函（2.14） 達到極小值。這是波爾扎問題，又稱為復合型最優(yōu)控制問題。 問題問題 2-42-4 f t t ff dtttUtXLttXJ 0 ),(),(),( 注意：注意：給定的端點條件不同，上述最優(yōu)控制問題的解將不同。給定的端點條件不同，上述最優(yōu)控制問題的解將不同。 .69 1. 1. 終端時刻終端時刻tf固定，終端狀態(tài)

49、固定，終端狀態(tài)X(tf) 自由的情況自由的情況 構造構造輔助泛函輔助泛函為：為： ),( 0ff ttXJ f t t TT dttXtttUtXftttUtXL 0 )()(),(),()(),(),( 若令哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù)為 ),(),()(),(),(),(),(),(ttUtXftttUtXLttUttXHH T （2.15） （2.16） 并對式（2.15）積分號內第三項進行分部積分，則輔助泛函變 為 f f t t T t t T ff tXt dttXtttUttXHttXJ 0 0 )()( )()(),(),(),(),( 0 .70 dtXtttUttXH tXttXt

50、ttX f t t T T ff T ff 0 )()(),(),(),( )()()()(),( 00 （2.17） 求上式對狀態(tài)變量X(t)和控制變量U(t)的變分，得 f t t T TT T ff T f T f ff dtXU U H X X H tXttXttX tX ttX J 0 )()()()()( )( ),( 000 （2.19） 由于泛函J0達到極值的必要條件為 0 0 J （2.18） 由于X(t0)=0， X(tf)0， X(t)0， U(t)0，則由式（2.18） 和（2.19）可得上述波爾扎型最優(yōu)控制問題的解應 .71 終端時刻終端時刻tf固定，終端狀態(tài)固定，終

51、端狀態(tài)X(tf) 自由的波爾扎型最優(yōu)自由的波爾扎型最優(yōu) 控制問題的解應滿足的控制問題的解應滿足的必要條件必要條件為：為： 00) ( ),(),()( 0 )( XtX ttUtXf H tX U H X H t 這些關系與拉格朗日型最優(yōu)控制問題的完全相同，所不同的這些關系與拉格朗日型最優(yōu)控制問題的完全相同，所不同的 只是只是橫截條件橫截條件，即，即協(xié)態(tài)變量的終端值協(xié)態(tài)變量的終端值 )( ),( )( f ff f tX ttX t .72 2.2.終端時刻終端時刻tf固定，終端狀態(tài)固定，終端狀態(tài)X(tf) 受約束的情況受約束的情況 設終端狀態(tài)受到如下等式的約束 0),( ff ttX （2.

52、20） 其中為r（當L=0，rn-1；當L0，rn）維向量，即 T r , 21 這時，終端狀態(tài)X(tf)即不是固定的，也不是完全自由的，只 能在終端流型（2.20）上變動。在構造輔助泛函時，應考慮 終端約束條件（2.20），為此，需要引入待定的拉格朗日乘引入待定的拉格朗日乘 子向量子向量 T r , 21 .73 ),(),( 0ff T ff ttXttXJ f t t TT dttXtttUtXftttUtXL 0 )()(),(),()(),(),( 考慮到考慮到哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù)為：為： ),(),()(),(),(),(),(),(ttUtXftttUtXLttUttXHH T

53、（2.21） 并對式（2.21）積分號內第三項進行分部積分，則 輔助泛函變?yōu)?dtXH tXttXtttXttX dtXHtXtttXttXJ f f f t t T T ff T ff T ff t t T t t T ff T ff 0 0 0 )()()()(),(),( )()(),(),( 00 0 構造的構造的輔助泛函輔助泛函為：為： .74 求J0對狀態(tài)變量X(t)和控制變量U(t)的變分，得 f f t t T TT T ff T T f ff T T f ff t t T TT T ff T f T f ff T f T f ff dtXU U H X X H tXt tXt

54、 tX ttX tX ttX dtXU U H X X H tXttXt tX tX ttX tX tX ttX J 0 0 )()( )()( )( ),( )( ),( )()()()( )( )( ),( )( )( ),( 00 00 0 考慮到 J0=0, X(t0)=0， X(tf)0， X(t)0， U(t)0，則得到 所述最優(yōu)控制問題的解應滿足的必要條件 .75 00) ( ),(),()( 0 )( XtX ttUtXf H tX U H X H t 這些關系與1中的完全相同，所不同的是狀態(tài)變量的終端約束條狀態(tài)變量的終端約束條 件和橫截條件：件和橫截條件： f tt T f

55、ff XX t ttX )( 0),( 終端時刻終端時刻tf固定，終端狀態(tài)固定，終端狀態(tài)X(tf) 受約束的最優(yōu)控制問受約束的最優(yōu)控制問 題的解應滿足的必要條件：題的解應滿足的必要條件： .76 3. 終端時刻終端時刻tf可變，終端狀態(tài)可變，終端狀態(tài)X(tf) 受約束的情況受約束的情況 設終端狀態(tài)設終端狀態(tài)X(tf)受到式（受到式（2.20）的約束條件：）的約束條件： ),(),( 0ff T ff ttXttXJ f t t TT dttXtttUtXftttUtXL 0 )()(),(),()(),(),( f f t t T tt T dtXHttXttX 0 )(),(),( ),(),()(),(),(),(),(),(ttUtXftttUtXLttUttXHH T 其中，其中，哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù)為：為： 這時，不僅存在這時，不僅存在最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線，還存在一個，還存在一個最優(yōu)的終端最優(yōu)的終端 時刻時刻。 （2.22） 0),( ff ttX 輔助泛函為輔助泛函為 .77 00) ( 0 XtX U H f tt T f