求向量組的秩與極大無關組(修改整理)

1、求向量組的秩與最大無關組一、對于具體給出的向量組，求秩與最大無關組1求向量組的秩(即矩陣的秩)的方法：為階梯形矩陣【定理】矩陣的行秩等于其列秩，且等于矩陣的秩.(三秩相等) 把向量組的向量作為矩陣的列(或行)向量組成矩陣A; 對矩陣A進行初等行變換化為階梯形矩陣 B; 階梯形B中非零行的個數(shù)即為所求向量組的秩.的秩.【例 1 】 求下列向量組 ai =(1,2, 3, 4), a2=( 2, 3, 4, 5), as =(3, 4, 5, 6)解1 ：以ai, a2, a3為列向量作成矩陣 A,用初等 行變換將A化為階梯形矩陣后可求因為階梯形矩陣的列秩為2,所以向量組的秩為 2.解2：以ai,

2、 a2 ,a3為行向量作成矩陣 A,用初等行變換將A化為階梯形矩陣后可求因為階梯形矩陣的行秩為2,所以向量組的秩為2.2、求向量組的最大線性無關組的方法方法1逐個選錄法給定一個非零向量組 A：1,2,n 設1 0 ,則1線性相關，保留1 加入2,若2與1線性相關，去掉2;若2與1線性無關，保留1 ,2 依次進行下去，最后求出的向量組就是所求的最大無關組【例2】求向量組:1,2, 1TT2, 3,1,34,1, 1,的最大無關組解：因為a非零，故保留a取a2,因為a1與a2線性無關，故保留a2取a3,易得a3=2a計a2,故a1, a2 ，a3線性相關。所以最大無關組為 a. a2方法2初等變換

3、法【定理】 矩陣A經初等行變換化為 B,則B的列向量組與 A對應的列向量組有相同的線性相關性證明從略，下面通過例子驗證結論成立向量組：1=(1,2,3) T,2=(-1,2,0) T,3=(1,6,6) T地件關果：碼叫 爲“慮皿 熱=甜+兀 S+4= 21 + 7s由上可得，求向量組的最大線性無關組的方法：(1)列向量行變換 把向量組的向量作為矩陣的列向量組成矩陣A； 對矩陣A進行初等行變換化為階梯形矩陣B; A中的與B的每階梯首 列對應的向量組，即為最大無關組.【例 3】求向量組：1=(2,1,3,-1)T,2=(3,-1,2,0)T,3=(1,3,4,-2)T,4=(4,-3,1,1)T

4、 的秩和一個最大無關組，并把不屬于最大無關組的向量用最大無關組線性表示。解 以1, 2, 3, 4為列構造矩陣A,并實施初等 行變換化為行階梯形矩陣求其秩：知r(A)=2,故向量組的最大無關組含2個向量23141-13-31-13-3113305-51001-12A1 ,2 ,3 ,4324105-510000010210-11-20000而兩個非零行的非零首兀分別在第1,2列，故1, 2為向量組的一個最大無關組1-1事實上,1，021知r ( 1, 2)=2,故1, 2線性無關00001 02-1為把3,4用1,2線性表示0 1,把A變成行最簡形矩陣A-12B0 0000 000記矩陣B=(

5、 1,2,3,4),因為初等行變換保持了列向量間的線性表出性,因此向量1,2,3,4與向量1, 2,3, 4之間有相同的線性關系。210而310121212,4122000000因此 3=2 1-2,4=-1+221, 2,0,322, 5, 3,630,1, 3,02, 1,4, 75, 8,1,2解：以給定向量為 列向量作成矩陣A,用初等 行變換將A化為階梯形矩陣 B【例4】求下列向量組的一個最大無關組，其中:2 -*03-72-Sf 120 2 5矩陣已是階梯形矩陣的每階梯 CMl 1 3 2首列所在的列是1, 2i 4列，所以的第Qi .J10 Oj 11-Ji1. 2. 4列就是1的

6、列向量組的極大線性0 0 0 0.*無關紐，即5,毎是向童的一個極丸銭桂無關組,0000 -13 -13再利用初等行變換，將 B再化成行最簡形矩陣 C.2 0 2-1 1 30 0 10 0 02 =JJ1r20030-110-1I 00011k00000;即列向量組的一個 極大無關組化為了單 位向雖紐.鍛設第*列為，該如何表示？根據(jù)行最簡形距陣C可知m , a?t a4 是向量紐的一個扱大無關組，且 a32ala5 -i()a4, 偏|+2+4 -用最大線性無關組表示其它向量的方法為:把向量組的向量作為矩陣的列向量組成矩陣A;對矩陣A進行初等行變換化為階梯形矩陣B;把階梯形B進行初等行變換化

7、為行最簡形矩陣C；初等矩陣A, B, C初等變換行作為求秩無關B中見線性無關C做陪 根據(jù)行最簡形矩陣列向量的分量，用最大無關組表示其它向量.【例5】 求向量組，的秩和一個最大無關組解:(1)當且時，故向量組的秩為3,且是一個最大無關組;(2)當時，故向量組的秩為3，且是一個最大無關組;(3)當時，若，則，此時向量組的秩為2,且是一個最大無關組.若，則，此時向量組的秩為 3，且是一個最大無關組(2)行向量列變換同理，也可以用向量組中各向量為 行向量組成矩陣(即列向量的轉置矩陣)，通過做初等 列變換來求向量 組的最大無關組?！纠?】 求向量組，的一個最大無關組解：以給定向量為 行向量作成矩陣 A,

8、用初等列變換將A化為行最簡形（行向量列變換 ）由于的第 1，2，4 個行向量構成的向量組線性無關，故是向量組的一個最大無關組方法 3 線性相關法 （了解）若非零向量組 A： 1, 2,n線性無關，則 A的最大無關組就是 1, 2,n若非零向量組 A線性相關，則 A中必有最大無關組二、對于抽象的向量組，求秩與最大無關組常利用一些有關的結論，如：1、若向量組（I）可由向量組（n）線性表示，則（I）的秩不超過（n）的秩2、等價向量組有相同的秩3、秩為的向量組中任意個線性無關的向量都是該向量組的最大無關組【例 7】 設向量組的秩為 . 又設求向量組的秩 .解 法 1： 由于，且，所以，故向量組與等價，從而的秩為 .解法 2： 將看做列向量，則有，其中可求得 0，即可逆，從而可由線性表示，由已知可由線性表示，故這兩個向量組等價，即它們有相同的秩 .【例7】設向量組（I）:和向量組（n）