有限元劃分網(wǎng)格的基本原則

1、有限元網(wǎng)格劃分的基本原則戈y分網(wǎng)格是建立有限元模型的一個重要環(huán)節(jié)，它要求考慮的題目較多，需要的工作量較大，所劃分的網(wǎng)格形式對計算精度和計算規(guī)模將產(chǎn)生直接影響。為建立正確、公道的有限元模型，這里介紹劃分網(wǎng)格時應考慮的一些基本原則。i網(wǎng)格數(shù)目網(wǎng)格數(shù)目的多少將影響計算結果的精度和計算規(guī)模的大小。一般來講，網(wǎng)格數(shù)目增加，計算精度會有所進步，但同時計算規(guī)模也會增加，所以在確定網(wǎng)格數(shù)目時應權衡兩個因數(shù)綜合考慮。圖1中的曲線1表示結構中的位移隨網(wǎng)格數(shù)目收斂的一般曲線，曲線2代表計算時間隨網(wǎng)格數(shù)目的變化?？梢钥磳?，網(wǎng)格較少時增加網(wǎng)格數(shù)目可以使計算精度明顯進步，而計算時間不會有大的增加。當網(wǎng)格數(shù)目增加到一定程度

2、后，再繼續(xù)增加網(wǎng)格時精度進步甚微，而計算時間卻有大幅度增加。所以應留意增加網(wǎng)格的經(jīng)濟性。實際應用時可以比較兩種網(wǎng)格劃分的計算結果，假如兩次計算結果相差較大，可以繼續(xù)增加網(wǎng)格，相反則停止計算。圖1位移精度和計算時間隨網(wǎng)格數(shù)目的變化在決定網(wǎng)格數(shù)目時應考慮分析數(shù)據(jù)的類型。在靜力分析時，假如僅僅是計算結構的變形，網(wǎng)格數(shù)目可以少一些。 假如需要計算應力， 則在精度要求相同的情況下應取相對較多的網(wǎng)格。同樣在響應計算中，計算應力響應所取的網(wǎng)格數(shù)應比計算位移響應多。在計算結構固有動力特性時， 若僅僅是計算少數(shù)低階模態(tài)，可以選擇較少的網(wǎng)格，假如計算的模態(tài)階次較高，則應選擇較多的網(wǎng)格。在熱分析中，結構內(nèi)部的溫度梯

3、度不大，不需要大量的內(nèi)部單元，這時可劃分較少的網(wǎng)格。2網(wǎng)格疏密網(wǎng)格疏密是指在結構不同部位采用大小不同的網(wǎng)格，這是為了適應計算數(shù)據(jù)的分布特點。在計算數(shù)據(jù)變化梯度較大的部位（如應力集中處），為了較好地反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律，需要采用比較密集的網(wǎng)格。而在計算數(shù)據(jù)變化梯度較小的部位，為減小模型規(guī)模，則應劃分相對稀疏的網(wǎng)格。這樣， 整個結構便表現(xiàn)出疏密不同的網(wǎng)格劃分形式。圖2是中心帶圓孔方板的四分之一模型，其網(wǎng)格反映了疏密不同的劃分原則。小圓孔四周存在應力集中，采用了比較密的網(wǎng)格。板的四周應力梯度較小，網(wǎng)格分得較稀。 其中圖b中網(wǎng)格疏密相差更大，它比圖a中的網(wǎng)格少48個，但計算岀的孔緣最大應力相差1%而計算時

4、間卻減小了 36%。由此可見，采用疏密不同的網(wǎng)格劃分，既可以保持相當?shù)挠嬎憔?，又可使網(wǎng)格數(shù)目減小。因此，網(wǎng)格數(shù)目應增加到結構的關鍵部位，在次要部位增加網(wǎng)格是不必要的，也是不經(jīng)濟的。圖2帶孔方板的四分之一模型劃分疏密不同的網(wǎng)格主要用于應力分析（包括靜應力和動應力），而計算固有特性時則趨于采用較均勻的鋼格形式。這是由于固有頻率和振型主要取決于結構質(zhì)量分布和剛度分布，不存在類似應力集中的現(xiàn)象，采用均勻網(wǎng)格可使結構剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的元素不致相差太大，可減小數(shù)值計算誤差。同樣，在結構溫度場計算中也趨于采用均勻網(wǎng)格。3單元階次很多單元都具有線性、二次和三次等形式，其中二次和三次形式的單元稱為高階單元。

5、選用高階單元可進步計算精度，由于高階單元的曲線或曲面邊界能夠更好地逼近結構的曲線和曲面邊界， 且高次插值函數(shù)可更高精度地逼近復雜場函數(shù)，所以當結構外形不規(guī)則、應力分布或變形很復雜時可以選用高階單元。 但高階單元的節(jié)點數(shù)較多， 在網(wǎng)格數(shù)目相同的情況下由高階單元組成的模 型規(guī)模要大得多，因此在使用時應權衡考慮計算精度和時間。圖3是一懸臂梁分別用線性和二次三角形單元離散時，其頂端位移隨網(wǎng)格數(shù)目的收斂情況?？梢钥磳?，但網(wǎng)格數(shù)目較少時，兩種單元的計算精度相差很大，這時采用低階單元是分歧適的。當網(wǎng)格數(shù)目較多時，兩種單元的精度相差并不很大，這時采用高階單元并不經(jīng)濟。例如在離散細節(jié)時，由于細節(jié)尺寸限制，要求細

6、節(jié)四周的網(wǎng)格劃分很密，這時采用線性單元更合適。圖3不同階次單元的收斂情況增加網(wǎng)格數(shù)目和單元階次都可以進步計算精度。因此在精度一定的情況下，用高階單元離散 結構時應選擇適當?shù)木W(wǎng)格數(shù)目，太多的網(wǎng)格并不能明顯進步計算精度，反而會使計算時間大大增加。為了兼顧計算精度和計算量，同一結構可以采用不同階次的單元，即精度要求高的重要部位用高階單元，精度要求低的次要部位用低階單元。不同階次單元之間或采用特殊的過渡單元連接，或采用多點約束等式連接。4網(wǎng)格質(zhì)量網(wǎng)格質(zhì)量是指網(wǎng)格幾何外形的公道性。質(zhì)量好壞將影響計算精度。 質(zhì)量太差的網(wǎng)格甚至會中止計算。直觀上看，網(wǎng)格各邊或各個內(nèi)角相差不大、網(wǎng)格面不過分扭曲、邊節(jié)點位于邊

7、界等份點四周 的網(wǎng)格質(zhì)量較好。網(wǎng)格質(zhì)量可用細長比、錐度比、內(nèi)角、翹曲量、拉伸值、邊節(jié)點位置偏差等指 標度量。劃分網(wǎng)格時一般要求網(wǎng)格質(zhì)量能達到某些指標要求。在重點研究的結構關鍵部位，應保證劃分高質(zhì)量網(wǎng)格，即使是個別質(zhì)量很差的網(wǎng)格也會引起很大的局部誤差。而在結構次要部位，網(wǎng)格質(zhì)量可適當降低。當模型中存在質(zhì)量很差的網(wǎng)格 （稱為畸形網(wǎng)格）時，計算過程將無法進行。 圖4是三 種常見的畸形網(wǎng)格，其中a單元的節(jié)點交叉編號， b單元的內(nèi)角大于 180，c單元的兩對節(jié)點重合，網(wǎng)格面積為零。(b)圖4幾種常見的畸形網(wǎng)格5網(wǎng)格分界面和分界點結構中的一些特殊界面和特殊點應分為網(wǎng)格邊界或節(jié)點以便定義材料特性、物理特性、

8、載荷和位移約束條件。即應使網(wǎng)格形式滿足邊界條件特點，而不應讓邊界條件來適應網(wǎng)格。常見的特殊界面和特殊點有材料分界面、幾何尺寸突變面、分布載荷分界線（點）、集中載荷作用點和位移約束作用點等。圖5是具有上述幾種界面的結構及其網(wǎng)格劃分形式。圖5特殊界面和特殊點網(wǎng)格劃分6位移協(xié)調(diào)性位移協(xié)調(diào)是指單元上的力和力矩能夠通過節(jié)點傳遞相鄰單元。為保證位移協(xié)調(diào)，一個單元的節(jié)點必須同時也是相鄰單元的節(jié)點，而不應是內(nèi)點或邊界點。相鄰單元的共有節(jié)點具有相同的自由度性質(zhì)。否則，單元之間須用多點約束等式或約束單元進行約束處理。圖6是兩種位移不協(xié)調(diào)的網(wǎng)格劃分，圖a中的節(jié)點1僅屬于一個單元， 變形后會產(chǎn)生材料裂縫或重疊。圖b中的平面單元和梁單元節(jié)點的自由度性質(zhì)不同，粱單元的力矩無法傳遞到平面單元。圖6位移不協(xié)調(diào)的網(wǎng)格劃分7網(wǎng)格布局當結構外形對稱時，其網(wǎng)格也應劃分對稱網(wǎng)格，以使模型表現(xiàn)岀相應的對稱特性（如集中質(zhì)矩陣對稱）。不對稱布局會引起一定誤差，如在圖 7中，懸臂粱截面相對y軸對稱，在對稱載荷作用下，自由端兩對稱節(jié)點1、2的撓度值本應相等。但若分圖b所示的不對稱網(wǎng)格，計算岀的y1=0.0346,y2=0.0350 。若改用圖c所示的網(wǎng)格，貝Uy1和y2完全相同。圖7網(wǎng)格布局對計算結果的影響