拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)

1、拋物線的焦點(diǎn)弦 【教學(xué)背景】前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的幾何性質(zhì)以及拋物線與直 線的位置關(guān)系，通過(guò)對(duì)拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)研究，達(dá)到優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)拋物 線過(guò)焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)又是歷屆模擬考和高考的熱點(diǎn)，女口2001年的高考題就出現(xiàn)兩個(gè)題目。 【問(wèn)題探究】 【探究1】求弦長(zhǎng)|AB|。 ABAF|BF（xi號(hào)）（X2#）xiX2p。 【結(jié)論1】AB x1 x2 p。 【探究2】還有沒(méi)有其他方法求弦長(zhǎng)|AB| ？ （1）當(dāng)時(shí)，直線L的斜率不存在，此時(shí)AB為拋物線的通徑 2 AB 2p結(jié)論得證; 當(dāng)時(shí)，設(shè)直線L的方程為: (x少an，即: x y cot -，代入拋 2 物線方

2、程得：y22 py COt p2 0，由韋達(dá)定理yi y2 2 p ,yi y 2pcot ， 由弦長(zhǎng)公式得 AB ,1 cot2 【結(jié)論 【探究 2 sin 【結(jié)論 【探究 yi y2 【結(jié)論 yi 目22p(1 cot2 ) 2p .2 。 sin 若直線I的傾斜角為，則弦長(zhǎng)AB 過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中，何時(shí)最短？ . 2p _ i 1 2P sin 過(guò)焦點(diǎn)的弦中通徑長(zhǎng)最小。 從剛才的解題過(guò)程中我們能否發(fā)現(xiàn)了 AB的最小值為 2 p ， Xi 2 yi x 2p 2 y2 2p x1x2 4】丫皿 2 p ； (2)xix2= 4 2p .2 。 sin 2p。 A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系? 2 2

3、(yiy2)p 。 4P24 【探究5】以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系？ 設(shè)M為AB的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線 AA i,過(guò)B點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線 BB i,過(guò)M點(diǎn)作準(zhǔn)線的 垂線MM i，由梯形的中位線性質(zhì)和拋物線的定義知： MM i aa1 lBBi竺_竺，所以二者相切。 2 2 2 【探究6】連接 AiF、Bi F 貝U AiF、 Bi F有什么關(guān)系？ AAi AF, AAiF AFAi AAi /OFAAiF AiFO AiFO AiFA 同理 Bi F0 BiFB AiFBi 90 AiF Bi F。 【結(jié)論 6】AiF BiF。 【結(jié)論5】以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。 【

4、探究7】剛才我們證得 AiFBi為直角三角形，那么圖形中還有哪些直角三角形? 由“探究5”知Mi在以AB為直徑的圓上 AM i BMi。 由“探究6”知 AiFBi為直角三角形，Mi是斜邊Ai Bi的中點(diǎn), Ai M i M i FM i FAiM i Ai F AAiFAFAi， AAiFFAiM AAi M i 90 ， AFAiAiFMi 90 ， MiF AB。 【結(jié)論 7】AM i BM i，MiF AB。 進(jìn)而可得如下結(jié)論：以 AiBi為直徑的圓與直線 AB相切。 【探究8】點(diǎn)A、0、Bi的位置關(guān)系？ 因?yàn)?koA y1 2 2p ,koB1 y22y2 ，而 y1 y2 2 p，

5、 X y1 y1 pp 2p 2 所以 k 2p 2y2 k 所以三點(diǎn)共線。 koA 2 0B1， p p y2 【結(jié)論8】點(diǎn)A、0、Bi三點(diǎn)共線。 【類似結(jié)論】 （1）B、0、Ai三點(diǎn)共線； （2）設(shè)直線A0與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為 （3）設(shè)直線B0與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為 Bi,貝U BBi平行于X軸；（2001年高考題） Ai,貝U AAi平行于X軸。 【探究9】FA ?, FB 【結(jié)論9】FA xi X2 由拋物線的定義得：|FA AF 4. BF 5. Kae k be 0; 6. 當(dāng)一時(shí)AE BE ,當(dāng)一時(shí)AE不垂直于BE。 2 2 【課后反思】 i、設(shè)計(jì)意圖： 本節(jié)課設(shè)計(jì)主要注重對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)，整堂課要求學(xué)生觀察、思考、猜驗(yàn)證，通過(guò)聯(lián)想、 類比，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，數(shù)形結(jié)合的能力，同時(shí)，緊扣拋物線的定義，拋物線與直線的 位置關(guān)系，努力尋找學(xué)生