三角形重心、外心、垂心、內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)

1、三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1. O 是 ABC 的重心 二 OA OB OC = 0 ；-S .AOBPC k)二-S -AOCS若0是ABC的重心，貝UBOCPG 二 J ( PA3=3S ab C 故 OA OB OC = 0 ；G為,ABC的重心.2. 0 是 AABC 的垂心二 OA OB =OB OC =OC OA 若O是ABC (非直角三角形)的垂心，則S boc : s aoc : S AOB二tan A : tan B: tan C故 tan AOA tan BOB tanCOC =02 2 23. O 是 ABC 的外心二 |OA |=|OB|=|OC|

2、(或OA = OB = OC )若 O 是 ABC 的外心則 S boc： S aoc： S Aosin BOC：sin AOC：sin AOB =sin2A :sin2B: sin2C故 sin2AOA sin2BOB sin2COC =0AB AC BABC CACBr 、 * DC /l/l ? aTTTT - 白 OA (5 ) OB (r r ) OC (= 5 ) = 04. O 是內(nèi)心 ABC 的充要條件是|AB | AC|BA | |BC |CA | |CB |引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記 AB,BC,CA的單位向量為ei，e2，e3，則剛才O是ABC內(nèi)心的充要條件可

3、以寫成OA (ei e3)= OB (ei e2)= OC g e3)= 0，o是ABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOA bOB cO 00若 O是 ABC的內(nèi)心，則S boc : S aoc : S aob = a: b: cC故 aOA bOB cOC -0或 sinAOA sinBOB sinCOC =0；| AB|PC |BC |PA |CA| PB =0= P 是 ABC 的內(nèi)心;向量（冉 -A）r - 0）所在直線過- ABC的內(nèi)心（是.BAC的角平 |AB| |AC|分線所在直線）；范例（一）將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1 . O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)

4、，動(dòng)點(diǎn)P滿足AB ACIOP =OA ()， 則P點(diǎn)的軌跡一定通過 ABC的( )H lACl（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因?yàn)?AB是向量aB的單位向量設(shè)aB與AC方向上的單位向量分別為e2 , 又網(wǎng) _OP OA =Ap，則原式可化為 AP（q e2），由菱形的基本性質(zhì)知 AP平分.BAC，那么在 MBC 中，AP平分N BAC，則知選B.（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2.H是厶ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，HA HB = HB HC =HC HA二點(diǎn)H是厶ABC的垂心.由 HA HB =HBm m卡甲 、 甲甲HC HB (HC _HA) =0= HB AC

5、 =0= HB _ AC ,同理HC _ AB， HA _ BC .故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（證略）例3.(湖南)P是厶ABC所在平面上一點(diǎn)，若 PA PPB PPC PA，貝U P是厶ABC的(D )A .外心B .內(nèi)心C.重心D .垂心解析:由 PA PB 二PB PC 得 PA PB PB PC =0.即卩 PB (PA - PC) = 0,即 PB CA = 0則PB _CA,同理PA _ BC,PC _ AB 所以P為 ABC的垂心.故選D.（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4.G是厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，GA gbGC=0=點(diǎn)G是厶ABC的重心.證明 作圖如

6、右，圖中GB，GC二GE連結(jié)BE和CE,貝U CE=GB，BE=GC=BGCE為平行四邊形=D是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊 上的中線將 GB GC =GE 代入 GA GB GC =0，得GA EG =0= GA =：GE =-2GD，故G是厶ABC的重心.（反之亦然（證略）例5. P是厶ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是厶ABC的重心=P-（PA PB PC）. 3證明 PG = PA AG 二PB BG 二 PC CG 二 3PG 二（AG BG CG） （PA PB PC）/ G 是厶 ABC 的重心 I GA GB GC =0= AG BG CG =0，即卩 3PG 二 PA PB PC由此可

7、得PG =-（PA PB PC）.（反之亦然（證略）3例6若O為厶ABC內(nèi)一點(diǎn),OA OB OC =0，則O是ABC的（A .內(nèi)心B.外心C.垂心D .重心解析：由O?+O+O3=0得品+O=OA，如圖以 ob oc為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則 OB+OC=OD，由平行四邊形性質(zhì)知 貳彌， OA=2OE，同理可證其它兩邊上的這個(gè)性 質(zhì)，所以是重心，選Do（四）將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若O為 ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA = OB =OC，則O是 ABC的（）A .內(nèi)心B.外心 C.垂心 D .重心解析：由向量模的定義知 O到ABC的三頂點(diǎn)距離相等。故O是ABC的外心，選B。（五）將平面向量與三

8、角形四心結(jié)合考查例 8.已知向量 OR， OP2，OP3 滿足條件 OR +OP2 +OP3 =0，|OR |=|OP2 |=|OP3 1 = 1，求證 P1P2P3是正三角形（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）證明由已知OPi +OP2 =-OP3，兩邊平方得OPiOP2同理 OP2 OP3 =OP3OP1)、F(2 22x2 x1AH =(x2,y4),QF 珂刁一三BC 弋2 -X12)o”3) IRP2 FIP2P3 FIP3P1 |= 、3，從而 P1P2P3 是正三角形.反之，若點(diǎn)o是正三角形 P1P2P3的中心，則顯然有 旳+匝+匝=0且| |=|OP2 i=|Op3 |

9、.即O是厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，OP1+OP2+OP3 =0 且|OP1 |=|OP2 |=|OP3 匸 點(diǎn) O 是正 P1P2P3 的中心.例9.在 ABC中，已知Q G H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q G H三點(diǎn)共線，且 QG:GH=1:2設(shè) A(0,0)、B(X1,0 )、【證明】:以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系C（x2,y 2），D E、F分別為AB BC AC的中點(diǎn)，則有：D（X1,0）、E（,） F（,狂）由題設(shè)可設(shè) Q（乞2 2 2 2 2 2X1 X2G（_vAH *BC =x2(x2 _xj y2y4 =0 ._ X2(X2 X1)y4

10、y2-T , *QF ACQF *AC =X2(貸今)2(-丫3)=02 2 2X2(X2X1)丄 y2y3QHNX?2x2 %2_3X2（X2 -xj yz）石2 2）2 牛 yj*X2（X2 -Xi） y23 _2y 22)/ 2x 2 X i =（3X2（X2-Xi） y 23X2（X2 -Xi）y261 t二 _QH36y22y2-T）即 QH =3QG，故 QG H三點(diǎn)共線，且QG GH=1： 2例10.若0、H分別是 ABC的外心和垂心.求證0H =0A OB 0C .證明 若厶ABC的垂心為H，外心為0，如圖.連B0并延長(zhǎng)交外接圓于D，連結(jié)AD，CD. AD _ AB，CD _

11、BC .又垂心為 H，AH _ BC，CH _ AB， AH / CD，CH / AD，四邊形AHCD為平行四邊形，AH =DC =D0 -+OC，故 OH =OA+AH =0A+0B+0C .著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置關(guān)系：(1) 三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線一一“歐拉線”；(2) 三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一一垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距 離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)化成如下的向量問題.例ii. 設(shè)0、G、H分別是銳角 ABC的外心、重心、垂心.求證 OG Joh3證明 按重心定理 G是

12、厶ABC的重心：=OG =*(0A OB OC)按垂心定理 OH =0A OB OC由此可得 OG二丄OH .3補(bǔ)充練習(xí)i 已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，0是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足0P=( 0A+0B+2 0C),則點(diǎn)P 一定為三角形ABC的(B )322A.AB邊中線的中點(diǎn)B.AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C.重心D.AB邊的中點(diǎn)- -i i -i h i. B 取 AB 邊的中點(diǎn) M，貝U OA 0B=20M，由 OP =( 0A +0B+20C)可得 32230P =30M - 2MC , MP =ZMC，即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且3點(diǎn)P不過重心，故選

13、B.著+BC2 二 OB2+CA2 二 OC2+ABV則O為 ABC的(D)A 外心B 內(nèi)心C重心D 垂心2.已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)2 .在同一個(gè)平面上有.ABC及一點(diǎn)O滿足關(guān)系式:(A3.C ）外心 B 內(nèi)心已知O是平面上一C重心 D 垂心 定點(diǎn)，A B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足:OP =OA （AB AC），貝U P的軌跡一定通過厶ABC的A 外心 B 內(nèi)心 C重心 D 垂心4 .已知 ABC，P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)PA 4PC PA PB PB=0 ,貝U P點(diǎn)為三角形的B 內(nèi)心 C重心 D 垂心A 外心B 內(nèi)心P滿足:5 .已知 ABC ,

14、 P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn) P滿足:a PA bPB cPC =0，貝U P 點(diǎn)P 滿足：PA PB =0，貝U P 為:ABC 的為三角形的（B ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心6.在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足：-2CA 二2zCB -2ABCP，貝U P點(diǎn)軌跡一定通過厶ABC的(B )A外心B內(nèi)心C重心D垂心7.已知非零向量Ab與AC滿足（AB +AC） Bc=o且Ab Ac ,則厶abc為（）|AB| |AC|AB| |AC| 2A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形T T解析：非零向量與滿足（） =0，即角 A的平分線垂直于BC，. AB=AC，又|

15、AB| |AC|12，/A蔦，所以ABC為等邊三角形，選D -8. ABC的外接圓的圓心為 O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為 H, OH二m（OA OB OC），則實(shí)數(shù)m=_9. 點(diǎn)O是 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OA OB =0B OC =OC OA，則點(diǎn)O是 ABC的（B ）（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（C）三條中線的交點(diǎn)（D）三條高的交點(diǎn)10. 如圖1,已知點(diǎn)G是ABC的重心，過G乍直線與ABAC兩邊分別交于MN兩點(diǎn)，且市二xAB ,AN 二 yAC，則 1 1 二 3。x y證點(diǎn)G是 ABC的重心，知GA GB GC = O,得AB（A -AB） =0,有 潮

16、= -（AB 則）。又M, N, G三點(diǎn)共線（A不在直線MN3上），于是存在，使得 A = AW ： ! - aN (且 - J = 1),有 AB訂二yAC=l(AB AC)，3卜7 =1得1，于是得-.丄=3 o，x 二yx y3例講三角形中與向量有關(guān)的問題教學(xué)目標(biāo)：1、三角形重心、內(nèi)心、垂心、外心的概念及簡(jiǎn)單的三角形形狀判斷方法2 、向量的加法、數(shù)量積等性質(zhì)3 、利用向量處理三角形中與向量有關(guān)的問題4 、數(shù)形結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)：靈活應(yīng)用向量性質(zhì)處理三角形中與有關(guān)向量的問題教學(xué)難點(diǎn)：針對(duì)性地運(yùn)用向量性質(zhì)來處理三角形中與向量有關(guān)的問題教學(xué)過程：1、課前練習(xí)2 2 21.1已知0是厶ABC內(nèi)的一點(diǎn)，

17、若0A -OB -0C，貝U 0是厶ABCA、重心B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心1.2 在厶 ABC中,有命題 AB - AC 二 BC ; AB BC CA = 0 ；若 AB AC AB - AC = 0 ,則厶ABC為等腰三角形；若AB.AC.0,則厶ABC為銳角三角形，上述命題中正確的是A、 B 、 C 、 D、2、知識(shí)回顧2.1 三角形的重心、內(nèi)心、垂心、外心及簡(jiǎn)單的三角形形狀判斷方法2.2 向量的有關(guān)性質(zhì)2.3 上述兩者間的關(guān)聯(lián)3 、利用向量基本概念解與三角形有關(guān)的向量問題例1、已知 ABC中，有AB ACABAC BC=0和 ABAC JI AB |ac| 2試判斷 ABC的

18、形狀練習(xí)1、已知 ABC中, AB二2 , BC=b , B是厶ABC中的最大角，若a *b - 0，試判斷厶ABC 的形狀。4、運(yùn)用向量等式實(shí)數(shù)互化解與三角形有關(guān)的向量問題例2、已知0是厶ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足 |0a2|bc2”0b|ac2=|0C2|ab|2 ，則 0 是厶 ABCWA、重心B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心5、運(yùn)用向量等式圖形化解與三角形有關(guān)的向量問題AB - AC例3、已知P是厶ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn) P滿足OP = OA+人 十 1，扎 Jab |ac| 丿則動(dòng)點(diǎn)P 一定過 ABC的:A、重心B 、垂心練習(xí)2、已知0為平面內(nèi)一點(diǎn)C 、外心 D 、內(nèi)心O

19、P =0A + 人 ABBC2則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過厶ABCA、重心例 4 、B 、垂心已知 0是、外心 ABC所在平、內(nèi)心的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) POP = 0A AC則動(dòng)點(diǎn)P 一定過 ABCAB cosBAC cosCA、重心練習(xí) 3、垂心0是CABC、外心 D 、內(nèi)心所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P0P = 0B 0C2ABAB cosBACACcosC0,=，則動(dòng)點(diǎn)P 一定過 ABC的:，A、B、C平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足A、重心例5、已知點(diǎn)B 、垂心G是的重心，C 、外心 D 、內(nèi)心過G作直線與AB、AC分別相交于M、N兩點(diǎn)， 一 一 1 1AM =x AB,AN =y AC，求證：3x y6

20、小結(jié) 處理與三角形有關(guān)的向量問題時(shí)，要允分注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，關(guān)注向量等式中的實(shí)數(shù)互化, 合理地將向量等式和圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化是處理這類問題的關(guān)鍵。7、作業(yè)1、已知0是厶ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若0A 0B 0C = 0，貝U 0是厶ABC的:A、重心B 、垂心、外心D 、內(nèi)心2、若厶ABC的外接圓的圓心為0,半徑為1,且 0A OB 0C =0，則 OA *0B 等于12已知0是 ABC所在平面上的一點(diǎn)A、C、1、 2所對(duì)的過分別是a、b、ca *0A b *0B c *0C = 0，貝U 0是厶 ABC的:A、重心B 、垂心C 、外心、內(nèi)心4、已知P是厶ABC所在平面內(nèi)與B 、垂心A不重合的一點(diǎn)，滿足A

21、B A 3AP，則P是厶ABC的C 、外心 D 、內(nèi)心A、重心5 、平面上的三個(gè)向量 OA、OB、OC滿足OA+OB+OC=0，OA = OB = OC = 1，求證: ABC為正三角形 6在厶ABC中, O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若 AMh2,求OA (OB OC)三角形四心與向量的典型問題分析向量是數(shù)形結(jié)合的載體，有方向，大小，雙重性，不能比較大小。在高中數(shù)學(xué)“平面向量”(必 修4第二章)的學(xué)習(xí)中，一方面通過數(shù)形結(jié)合來研究向量的概念和運(yùn)算；另一方面，我們又以向 量為工具，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題和物理的相關(guān)問題。在平面向量的應(yīng)用中，用平面向量解決平面幾何問題時(shí)，首先將幾何問題中的幾何

22、元素和幾 何關(guān)系用向量表示，然后選擇適當(dāng)?shù)幕紫蛄?，將相關(guān)向量表示為基向量的線性組合，把問題轉(zhuǎn) 化為基向量的運(yùn)算問題，最后將運(yùn)算的結(jié)果再還原為幾何關(guān)系。下面就以三角形的四心為出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)用向量相關(guān)知識(shí)，巧妙的解決了三角形四心所具備的一 些特定的性質(zhì)。既學(xué)習(xí)了三角形四心的一些特定性質(zhì)， 又體會(huì)了向量帶來的巧妙獨(dú)特的數(shù)學(xué)美感重心”的向量風(fēng)采【命題1】G是厶ABC所在平面上的一點(diǎn),若GA GB-0，則G是厶ABC的重心.如圖.動(dòng)點(diǎn) P滿足OP =O (AB AC)，(0, ：)，則P的軌跡一定通過 ABC的重心.【解析】由題意A (AB AC)，當(dāng)(0，：)時(shí)，由于 (AB AC)表示BC邊上的中線所在直線的向量，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過 ABC的重心，如圖.二、垂心”的向量風(fēng)采【命題3】P是厶ABC所在平面上一點(diǎn)，若 PAPB-PB PC-PC PA，貝U P是厶ABC的垂心.TtTT ttttttt【解析】由 PA PB 二 PB PC，得 PB (PA-PC) =0，即 PB CA =0，所以 PB 丄 CA .同理可證PC丄AB，PA丄BC . P是厶ABC的垂心.如圖BA B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足, - (,：),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過 ABC的垂心.B 丄ACAB cos B PC cos CAB【解析】由題意A