最新大一上學期(第一學期)高數期末考試題匯編

1、大一上學期高數期末考試一、單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1 設 f ( x) = cos x( x + sin x ),則在 x = 0處有()(A) f(O)=2( B)f (0)= 1 (C) f(0)=0( D)f(x)不可導.設(x) = _x, P(x)=3 3/ X,則當x - 1時()2.1 x.(A) (x)與-(x)是同階無窮小，但不是等價無窮??；(B)(x)與-(x)是等價無窮??；(C(X)是比-(x)高階的無窮??；(D) - (x)是比(x)高階的無窮小.x3.若F (x)= o (2t_x) f (t)dt，其中f(x )在區(qū)間上(-1,1)二階可導

2、且 f(x) 0，則().(A) 函數F(x)必在x=0處取得極大值；(B) 函數F(x)必在x = 0處取得極小值；(C) 函數F(x)在x=0處沒有極值，但點(0,F(0)為曲線y二F(x)的拐點；(D)函數F(x)在x=0處沒有極值，點(0，F(0)也不是曲線y = F(x)的拐點。14 設f (x)是連續(xù)函數，且f (x)= x + 2J0 f(t)dt ,貝U f(x)=(.x2x22(A) 2( B) 2(C) x -1(D) x 2.二、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)2lim(1 3x)航二x .0已知cosx是f(x)的一個原函數，x5.6.則 f(x) COS

3、xdx =x2 2? 2 _ 1lim (cos coscos)=7. n nnn.12 2x arcsin x 1 dx =11 - x28. - 2.三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分)9.設函數y = y(x)由方程ex_ sin(xyp1確定，求y(x)以及y).10.1 - x7x(1 x7)dx.11.xe X,2x - x2,12.0 x 11f(xt)dt0求；f(x)dx g(x)=設函數f(x)連續(xù)，g(X)并討論g(x)在x =o處的連續(xù)性.lim = A，且x0 X，A為常數.求y(1) =13.求微分方程Xy 2y = x In x滿足9的解.四、解答題

4、(本大題10分)14. 已知上半平面內一曲線 y二y(x)(x -o)，過點(o,1)，且曲線上任一點 M(xo,y。)處切線斜率數值上等于此曲線與 x軸、y軸、直線x = x所圍成 面積的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程.五、解答題(本大題10分)15. 過坐標原點作曲線y = ln X的切線，該切線與曲線y = ln X及x軸圍成平面圖形D.(1)求D的面積A ； (2)求D繞直線x = e旋轉一周所得旋轉體的體積 V.六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共8分)16. 設函數f(x)在上連續(xù)且單調遞減，證明對任意的q，0,1，q1f ( x ) dx q f ( x) dx00Tl

5、JIr 1Jf(x)dx=0 Jf(x) COS x dx = 017. 設函數f(x)在0 上連續(xù)，且0,0證明：在0,二內至少存在兩個不同的點1 , 2，使f1)= f2)= 0.(提XF(x)二 f(x)dx示：設0解答一、單項選擇題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）1、D 2、A 3、C 4、C4 分,兀二、填空題(本大題有4小題，每小題1 COSX 2e6- ()+ C5. e . 6. 2 x.7.三、解答題(本大題有5小題，每小題9. 解：方程兩邊求導ex y(1 y ) cocy( xy)( yy(x-ex； ycos(xy)e +x cos(xy)x = 0, y =

6、0 , y (0) = -110. 解: u = x7 7x6dx=du原式=-7 * u(1 +u)1 (ln |u| -2ln |u 1|) c12丄ln| x71-2ln|1 x7| C77f (x)dxxedx2x-x2dx330:xd(-e； 1丄 屮0-xe -edu（丄一7 u11.解:兀32e -1412.解：由f(0) =0共 16 分)g(x)二2.8分,-(x - 1)2dx8.3共 40 分)亠 I cos (令x-1 二si”) 一21f(xt)dt 二0知 g(0) =0。xt I f(u)duxt =u0x(x= 0)xxf(x) - f (u)du g (x)2

7、x(X=0)f(u)dug (0)二 lim 2lim f(X)二 Ax)0x2x 少 2x 2X2 , g (x)在X = 0處連續(xù)。xf(x)Jf(u)du A A lim g (x) = lim02= A _三dy 2y = ln x2dx13. 解：dx x_fdxy = e x ( e x ln xdx C)1 t 1xln x x Cx391 1 1 y( 1 ) C=0 y xlnx x9，39四、解答題(本大題1分)X14. 解：由已知且八20ydx*，將此方程關于x求導得y 2y 特征方程：r2 -2=：0解出特征根:其通解為y=C1e.C2e2x代入初始條件y（o）= y（

8、）J得1 2xe3Ci2, C2 冷_2丄y e 故所求曲線方程為：3五、解答題（本大題10分）15. 解：（1）根據題意，先設切點為由于切線過原點，解出X。二e，從而切線方程為:1 1A= J（ey _ey）dy = ：e_1則平面圖形面積 02y - In Xo(xo,lnxo)，切線方程：1y xe1(x - Xo)Xo1= JI3Vi,則xD繞直線兀2旋轉一周所得旋轉體的體積2蔦（53）（2）三角形繞直線x = e 一周所得圓錐體體積記為曲線y = ln x與x軸及直線x = e所圍成的圖形繞直線x = e 一周所得旋轉體體積 為V21V2 =(eey)2dy0六、證明題(本大題有2小

9、題，每小題4分，共12分)q1qqiJf(x)dx_qJf (x)dx = J f (x) d x _q( J f (x) d x +J f (x)dx)16. 證明：oo00qqi二(1 _q) f(x)d x _q f(x)dxoqi【o,q 2 q，if ( i)_f( 2)=q(1-q)f (%)-q(1-q)f K 0故有：q1f (x) d x _ q f (x) dx00證畢。17.xF (x) = f f(t)dt , 0 蘭 x 蘭兀證：構造輔助函數：0。其滿足在，二】上連續(xù)，在(0,二)上可導。F (x)= f(x)，且 F(0) = F()= 07171ji710 = J f (x)cosxdx =cosxdF(x) = F (x)cosx| + sinx F (x)dx 由題設，有00|00，JIF(x)sin