大一高等數(shù)學(上)期中測試

1、填空題：（每小題1.設f(x)高等數(shù)學（上）期中測試題4分，共32分，要求：寫出簡答過程，并且把答案填在橫線上）(1x)x,x）上處處連續(xù)，則e-1。limx 0limx 0limx 0a,有連續(xù)性有ae-12. 已知f (3)2,則 lirfh 0h)f(3)1。解已知f2hlimf(3)f(3 h)h 0則 limf(3 h) f h 02hh1f(3)lim2 h 0f(3 h)3函數(shù)f ( x)2cosx 在0 上的最大值為2 6解令 f x 1 2sin x 0得 x6則最大值為4.設解dy解dxd2ydx25(t5(1dydtdxdtsint)cost)dydxdxdydxQ.d2

2、ydx2|t0205sin tcostddydtdxdtt 0丄20t 01 x x l n x2cost 1 cost sin t21 cost5 1 cost1 x / cx5設 y x (x 0)，則 y x1 xsin xy1 xsinxy解兩邊取對數(shù)有In y1 x In x兩邊關于x求導得In x1 x,整理后即得結果x6.設函數(shù) yy(x)由方程 x y cos(xy) 0確定，則dy ysinxy 1dx。1 xsin xy解對方程兩邊關于x求導得：1 y - sin xyy xy 0ysin xy 1. ysin xy 1 .y則dydx7.曲線ye 2x在點 M (0,1)

3、處的曲率K4/5_25_解yx 02e 2xx 02 yx 0A 2x4e1x04則ky44亦12%12%25y28函數(shù)f (x) xe在x01處的二階泰勒公式為 f(x)3e,23e3e 2e x 1x 1x 126nx解由f xn x e ，代入泰勒公式即得二選擇題：(每小題4分，共32分，每小題的四個選項中只有一個是正確的，要求寫出簡答過程，并且將答 案對應的選項的字母填入題后括號里)0時，下列函數(shù)中為無窮小的函數(shù)是(Dx不存在D .00e0A.lg sin x ；1B.COS；x1C. sin ； xD.解 A. Iimlgx 0sin xB. limcos01不存在xC. limsi

4、nx 012設 f (x)0sin2，x 0 f ( )0 Cx2，則 f (x)在點 x 0處(C)。222211A.極限不存在；C 連續(xù)，但不可導;B.極限存在，但不連續(xù);D.可導。解由limx 0f (x)在點xsin 二x0處連續(xù)limxlimxymcbin12不存在xf (x)在點x0處不可導3設y.arccos x sinA.B.1，則 y (?)D.arccos x cos1sin-xx4曲線tcost 在t tsint處的切線方程是（4A.B.C.D.dydx4（xdy dt dxsintcostdtt costtsint則切線方程為 y2x5已知函數(shù)40A. 2e2xcos

5、x，則 y（40）cosx ； b. 240e2xsin2xc. ecosx ；2xd. esin x。5解e2x2n e2xcosxcos x則x06曲線yxx3的凹區(qū)間是（B）。A.(,0)；B. 0,;C.（,） ; D.以上都不對。解yA5 35 21101xy3x 3 3 393 x當x0,+時,y 0,則曲線是凹的7.若 f (x)f (x),(x)，在(,0)內(nèi) f且f(x)0,則在(0,）內(nèi)有（C ）。A. f(x)0, f (x)0； b. f (x)0, f (x)C. f(x)0, f (x)0； d. f (x)0, f (x)解設x:0,則 x,0Q f-xf xf

6、-xf x又Q f-x0fxfx 0由f-xf x且fx0A則即得結果0 ；0。(x) 08.函 數(shù) y f(x) 對切x滿足2ln x In2xf (x)3x f (x)2 1 e x，若 f (x0)0(x00)則(B)。A.f(X。)是 f (x) 的極大值；f(x)是 f(x) 的極小值；(x, f (x)是曲線 y f (x) 的拐點;d. f (x0)不是f (x)的極值，(x0, f (x0)也不是曲線yf (x)的拐點1 ex0ex01解fx0x0xxe 0當x0f x00,當x00 fx00也即fx00,則xx不是拐點又fX。0,則f (x0)是f (x)的極小值B.C.o1

7、求函數(shù) f(x)ln2x的單調(diào)區(qū)間與極值。(8分)三解答題:解定義區(qū)間為0,2In x 丄 x In2 x令 f x xx20,111,e22 e2 e ,f xf x極小值極大值有x 1或者xe2）單調(diào)減少，在1,e2上單調(diào)增加2則在(0,1 e ,解應用洛比塔法則，有極小值：1 0,2極大值：f e42e2.求下列極限。（每小題6分）1 1 lim-（-一x 0 x sin xtan1 1 cosx解原式lim ()x 0 x sin xlim -x 0 x(2) lim1x 1Incos( x 1)1 sin x21x21x 1cos2 2xtan x 12 secx 1limlim2x

8、 1x 1cos x2 22sin x2sin x 1cos x 1原式lim423.確定函數(shù) f(x)的間斷點，并指出間斷點所屬的類型。(8分)Xe1解函數(shù)在 x 0,x=1 處無定義.x由于 lim 1 e1 x 1 e00x 0故lim f xx 0,從而x0是f x的無窮間斷點又limx 1 1 xxlim e1 x ex 1lim，故x 1 1 xx0, lim e1 x ex 1所以f 10,1,因此x 1是f x的跳躍間斷點4. (8 分)設函數(shù) f (X)在 0,1 上連續(xù)，在 (0,1) 內(nèi)可導，且1f(0)f(1) 0, fq 1，證明：(1)存在1(2,1)，使 f ();(2)存在(0,1)，使得 f ()f()1證(1)設F xf x x由 f(x)在0,1 上連續(xù)，在 (0,1) 內(nèi)可導上連續(xù)，可導1在,1上F2f丄丄1丄丄02 2 2 2F 1 f 110 11