最詳!!定積分與微積分[稻谷書(shū)苑]

1、第3課時(shí) 定積分與微積分 基本定理 1定積分的概念定積分的概念 (1)定積分的定義和相關(guān)概念定積分的定義和相關(guān)概念 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上連上連 續(xù)，用分點(diǎn)續(xù)，用分點(diǎn)ax0 x1xi 1xixn b將區(qū)間將區(qū)間a，b等分成等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)個(gè)小區(qū)間，在每個(gè) 小區(qū)間小區(qū)間xi 1， ，xi上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)i(i1,2， 基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理 ，n)，作和式，作和式 ， 當(dāng)當(dāng)n時(shí)，上述和式無(wú)限接近時(shí)，上述和式無(wú)限接近 ， 這個(gè)這個(gè) 叫做函數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上的定上的定 基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理 某個(gè)常數(shù)某個(gè)常數(shù) 常數(shù)常數(shù) 積分，記作積分，記作

2、，即，即baf(x)dx 基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理 a與與b a，b 函數(shù)函數(shù)f(x) x 基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理 基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理 基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理 (3)定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) kf(x)dx f1(x)f2(x)dx . f(x)dx 基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理 基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理 你能從定積分的幾何意義解釋性你能從定積分的幾何意義解釋性 質(zhì)質(zhì)嗎？嗎？ 【思考思考提示提示】如圖所示，設(shè)在區(qū)如圖所示，設(shè)在區(qū) 間間a，b上恒有上恒有f(x)0，c是區(qū)間是區(qū)間(a，b)內(nèi)的內(nèi)的 一點(diǎn)，那么從幾何圖形上看，直線一點(diǎn)，那么從幾何圖形上看，直線xc把把 大的曲邊梯形分

3、成了兩個(gè)小曲邊梯形，因大的曲邊梯形分成了兩個(gè)小曲邊梯形，因 此，大曲邊梯形的面積此，大曲邊梯形的面積S是兩個(gè)小曲邊梯形是兩個(gè)小曲邊梯形 的面積的面積S1，S2之和，即之和，即SS1S2，用定積，用定積 分表示就是性質(zhì)分表示就是性質(zhì). 基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理 F(b)F(a) 答案答案：A 三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化 三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化 答案答案：B 三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化 答案答案：D 三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化 答案答案：1 三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化 求函數(shù)求函數(shù)f(x)的定積分，關(guān)鍵是求的定積分，關(guān)鍵是求 出函數(shù)出函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，即滿，即滿 足足F(x)

4、f(x)正確運(yùn)用求導(dǎo)運(yùn)算與正確運(yùn)用求導(dǎo)運(yùn)算與 求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算的關(guān)系求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算的關(guān)系 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 考點(diǎn)一考點(diǎn)一求已知函數(shù)的定積分求已知函數(shù)的定積分 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】(1)(2)先利用定積先利用定積 分的性質(zhì)將被積函數(shù)化簡(jiǎn)再求分的性質(zhì)將被積函數(shù)化簡(jiǎn)再求(3)先先 化簡(jiǎn)，再求定積分化簡(jiǎn)，再求定積分 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 【規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)】計(jì)算簡(jiǎn)單定積分的步驟計(jì)算簡(jiǎn)單定積分的步驟 (1)把被積函數(shù)變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦函數(shù)、把被積函數(shù)變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦函數(shù)、 余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或

5、差；余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差； (2)利用定積分的性質(zhì)把所求的定積分化利用定積分的性質(zhì)把所求的定積分化 為若干個(gè)定積分的和或差；為若干個(gè)定積分的和或差； (3)分別用求導(dǎo)公式找到分別用求導(dǎo)公式找到F(x)，使得，使得F(x) f(x)； (4)利用牛頓利用牛頓萊布尼茲公式求出各個(gè)萊布尼茲公式求出各個(gè) 定積分的值；定積分的值； (5)計(jì)算所求定積分的值計(jì)算所求定積分的值 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 1分段函數(shù)的定積分分段函數(shù)的定積分 (1)分段函數(shù)在區(qū)間分段函數(shù)在區(qū)間a，b上的定積上的定積 分可分成幾段定積分的和的形式分可分成幾段定積分的和的形式 (2)分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)分段的標(biāo)

6、準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù) 表達(dá)式是確定的，一般按照原函數(shù)分段表達(dá)式是確定的，一般按照原函數(shù)分段 的情況分，無(wú)需分得過(guò)細(xì)的情況分，無(wú)需分得過(guò)細(xì) 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 求分段函數(shù)的定積分求分段函數(shù)的定積分 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】(1)f(x)在在0,5上上 的定積分，可按照的定積分，可按照f(shuō)(x)的分段標(biāo)準(zhǔn)，的分段標(biāo)準(zhǔn)， 分成分成0,1，(1,4，(4,5三段的定積分三段的定積分 的和；的和； 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】分段函數(shù)在區(qū)間分段函數(shù)在區(qū)間 a，b上的定積

7、分可分成幾段定積分上的定積分可分成幾段定積分 的和的形式的和的形式. 分段的標(biāo)準(zhǔn)只需依據(jù)已分段的標(biāo)準(zhǔn)只需依據(jù)已 知函數(shù)的分段標(biāo)準(zhǔn)即可知函數(shù)的分段標(biāo)準(zhǔn)即可 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 利用定積分求平面圖形面積的利用定積分求平面圖形面積的 關(guān)鍵是畫(huà)出幾何圖形，結(jié)合圖形位關(guān)鍵是畫(huà)出幾何圖形，結(jié)合圖形位 置，確定積分區(qū)間以及被積函數(shù)，置，確定積分區(qū)間以及被積函數(shù)， 從而得到面積的積分表達(dá)式，再利從而得到面積的積分表達(dá)式，再利 用微積分基本定理求出積分值用微積分基本定理求出積分值 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 考點(diǎn)三考點(diǎn)三定積分的幾何意義定積分的幾何意義 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 利用定積分的性質(zhì)和定義表示下

8、利用定積分的性質(zhì)和定義表示下 列曲線圍成的平面區(qū)域的面積列曲線圍成的平面區(qū)域的面積 (2)yx2，xy2. 【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】先將區(qū)域面積表先將區(qū)域面積表 示成若干個(gè)定積分的和或差，再運(yùn)用示成若干個(gè)定積分的和或差，再運(yùn)用 牛頓牛頓萊布尼茲公式計(jì)算萊布尼茲公式計(jì)算 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 (2)曲線所圍成的平面區(qū)域如圖曲線所圍成的平面區(qū)域如圖(2)所示：所示： SA1A2. 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 利用定積分解決變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題利用定積分解決變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 和變力做功問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是求出物和變力做功問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是求出物 體作變速運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)和變

9、力與體作變速運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)和變力與 位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分 區(qū)間，得到積分表達(dá)式，區(qū)間，得到積分表達(dá)式， 再利用微再利用微 積分基本定理計(jì)算即得所求積分基本定理計(jì)算即得所求 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 考點(diǎn)四考點(diǎn)四定積分在物理中的應(yīng)用定積分在物理中的應(yīng)用 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】從圖上可以看出從圖上可以看出 物體在物體在0t1時(shí)做加速運(yùn)動(dòng)，時(shí)做加速運(yùn)動(dòng)，1t3時(shí)時(shí) 做勻速運(yùn)動(dòng)，做勻速運(yùn)動(dòng)，3t6時(shí)也做加速運(yùn)動(dòng)，時(shí)也做加速運(yùn)動(dòng)， 但加速度不同，也就是說(shuō)但加速度不同，也就是說(shuō)0t6時(shí)，時(shí)， v(t)為一個(gè)分段函數(shù)，故應(yīng)分三段求積為一個(gè)分段函

10、數(shù)，故應(yīng)分三段求積 分才能求出曲邊梯形的面積分才能求出曲邊梯形的面積 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 (本題滿分本題滿分10分分)物體物體A以初速度為以初速度為2(速速 度度v的單位：的單位：m/s)、加速度為、加速度為a(t)6t(t的單的單 位：位：s)在一直線上運(yùn)動(dòng)在此直線上與物在一直線上運(yùn)動(dòng)在此直線上與物 體體A出發(fā)的同時(shí)，物體出發(fā)的同時(shí)，物體B在物體在物體A的正前方的正前方 5 m處以處以v10t1(t的單位：的單位：s，v的單位：的單位： m/s)的速度運(yùn)動(dòng)的速度運(yùn)動(dòng) (1)求物體求物體A的速度；的速度； (2)兩物體何時(shí)相遇？相遇地與物體兩物體何時(shí)相遇？相遇地與物體A 的出發(fā)地的距離是多少？的出發(fā)地的距離是多少？ 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 解解：(1)設(shè)物體設(shè)物體A在時(shí)刻在時(shí)刻t的速度為的速度為v(t)， 依題意有依題意有v(0)2， 2分分 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練 規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié) 規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié) 2求定積分的常用技巧求定積分的常用技巧 (1)對(duì)被積函數(shù)，要先化簡(jiǎn)，再求對(duì)被積函數(shù)，要先化簡(jiǎn)，再求 積分積分 (2)求被