數(shù)學(xué)建模中預(yù)測方法[稻谷書苑]

1、沈沈 炎炎 峰峰 TEL:664802 2015.8.1 1教學(xué)運(yùn)用 歷屆CUMCM數(shù)據(jù)預(yù)測題目 n2003年 A題 SARS的傳播問題 n2005年 A題 長江水質(zhì)評價(jià)和預(yù)測問題 n2006年 B題 艾滋病療法的評價(jià)及療效的 預(yù) 測問題 n2007年 A題中國人口增加預(yù)測問題 n2009年 D題 “會(huì)議籌備”對與會(huì)人數(shù)的確定 n2010 B題 上海世博會(huì)影響力 相關(guān)數(shù)據(jù)預(yù)測 n2012 A題 葡萄酒質(zhì)量評價(jià)和相關(guān)預(yù)測問題 n2013 A題 交通事故階段車流量的分析與預(yù)測 2 教學(xué)運(yùn)用 3 教學(xué)運(yùn)用 4 教學(xué)運(yùn)用 5 教學(xué)運(yùn)用 6 教學(xué)運(yùn)用 7 教學(xué)運(yùn)用 Model Assessment Ob

2、jectives: Choose an appropriate model from candidates Estimate the prediction performance of a given model For both of these purposes, the best approach is to run the procedure on an independent test set, if one is available If possible one should use different test data for (1) and (2) above: a val

3、idation set for (1) and a test set for (2) Often there is insufficient data to create a separate validation or test set. In this instance Cross-Validation is useful. 8 教學(xué)運(yùn)用 K-Fold Cross-Validation Divide the data into K roughly equal parts (typically K=5 or 10) for each k = 1,2,K, fit a candidate mo

4、del to the other K-1 parts, and compute its error in predicting the kth part: This gives the cross-validation error do this for many models and choose the model that makes smallest. 2 ( )( ) kii i kth part Eyy 9 教學(xué)運(yùn)用 年份199019911992199319941995 一季度4.776.387.4610.348.4810.39 二季度6.168.066.3710.458.1510

5、.48 三季度5.049.648.469.549.4312.23 四季度5.136.838.898.279.6710.98 某市六年來汽車貨運(yùn)量（億噸公里）某市六年來汽車貨運(yùn)量（億噸公里） 10 教學(xué)運(yùn)用 年份199019911992199319941995 一季度4.776.387.4610.348.4810.39 二季度6.168.066.3710.458.1510.48 三季度5.049.648.469.549.4312.23 四季度5.136.838.898.279.6710.98 某市六年來汽車貨運(yùn)量（億噸公里）某市六年來汽車貨運(yùn)量（億噸公里） 11 教學(xué)運(yùn)用 02468101214

6、16 4 5 6 7 8 9 10 11 12 教學(xué)運(yùn)用 13 教學(xué)運(yùn)用 某市六年來汽車貨運(yùn)量時(shí)間序列分解某市六年來汽車貨運(yùn)量時(shí)間序列分解 14 教學(xué)運(yùn)用 15 教學(xué)運(yùn)用 1 1 移動(dòng)平均法移動(dòng)平均法 n移動(dòng)平均法：在原時(shí)間序列內(nèi)依次 求連續(xù)若干期的平均數(shù)作為其某一 期的趨勢值，如此逐項(xiàng)遞移求得一 系列的移動(dòng)平均數(shù)，形成一個(gè)新的、 派生的平均數(shù)時(shí)間序列。 n 在新的時(shí)間序列中偶然因素的影響 被削弱，從而呈現(xiàn)出現(xiàn)象在較長時(shí) 間的基本發(fā)展趨勢。 16 教學(xué)運(yùn)用 n把時(shí)間序列連續(xù) N 期的平均數(shù)作為最 近一期（第t期）的趨勢值: )( 1 11 )1( Ntttt YYY N M N 期移動(dòng)平均數(shù)

7、17 教學(xué)運(yùn)用 n把時(shí)間序列連續(xù) N 期的平均數(shù)作為 N 期的中間 一期的趨勢值。 n如果N為奇數(shù)，則把N期的移動(dòng)平均值作為中間一期 的趨勢值。 n如果N為偶數(shù)，須將移動(dòng)平均數(shù)再進(jìn)行一次兩項(xiàng)移 動(dòng)平均，以調(diào)整趨勢值的位置，使趨勢值能對準(zhǔn)某 一時(shí)期)。相當(dāng)于對原序列進(jìn)行一次N+1 項(xiàng)移動(dòng)平 均，首末兩個(gè)數(shù)據(jù)的權(quán)重為0.5，中間數(shù)據(jù)權(quán)重為1。 為偶數(shù)）NYYYY N M NtNtttNt ()5 . 05 . 0( 1 112/ 中心化移動(dòng)平均 18 教學(xué)運(yùn)用 Example 1 n新衛(wèi)機(jī)械廠的銷售收入（萬元）：新衛(wèi)機(jī)械廠的銷售收入（萬元）： 年年 份份 銷售銷售 收入收入 年年 份份 銷售銷售

8、收入收入 年份年份 銷售銷售 收入收入 年份年份銷售銷售 收入收入 198 5 1080199 0 2160 1995 216020003240 198 6 1260199 1 2340 1996 234020013420 198 7 1800199 2 1980 1997 288020023240 198 8 1620199 3 2520 1998 306020033060 198 9 1440199 4 2559 1999 270020043600 19 教學(xué)運(yùn)用 中心移動(dòng)平均法 銷售銷售 收入收入 3 3年移年移 動(dòng)平均動(dòng)平均 銷售銷售 收入收入 4 4年移動(dòng)年移動(dòng) 平均平均 移正移正

9、198198 5 5 1080108010801080 198198 6 6 126012601380138012601260 198198 7 7 18001800156015601800180014851485 198198 8 8 162016201620162016201620 1642.1642. 5 5 198198 9 9 144014401740174014401440 1822.1822. 5 5 14401440 15301530 17551755 18901890 20 教學(xué)運(yùn)用 移動(dòng)平均的結(jié)果移動(dòng)平均的結(jié)果 21 教學(xué)運(yùn)用 n移動(dòng)平均法一般用來消除不規(guī)則變動(dòng)的 影響，把

10、序列進(jìn)行修勻（smoothing)， 以觀察序列的其他成分。 n如果移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù)等于季節(jié)長度則可以 消除季節(jié)成分的影響； n如果移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù)等于平均周期長度的 倍數(shù)則可以消除循環(huán)變動(dòng)的影響。 n由于區(qū)分長期趨勢和循環(huán)變動(dòng)比較困難，在 應(yīng)用中有時(shí)對二者不做區(qū)分，而是把兩項(xiàng)合 在一起稱為“趨勢循環(huán)”成分（trend-cycle)。 移動(dòng)平均法的應(yīng)用移動(dòng)平均法的應(yīng)用 22 教學(xué)運(yùn)用 指數(shù)平滑方法的基本原理 n指數(shù)平滑是一種加權(quán)移動(dòng)平均，既可以用來 描述時(shí)間序列的變化趨勢，也可以實(shí)現(xiàn)時(shí)間 序列的預(yù)測。 n指數(shù)平滑預(yù)測的基本原理是：用時(shí)間序列過 去取值的加權(quán)平均作為未來的預(yù)測值，離當(dāng) 前時(shí)刻越近的取

11、值，其權(quán)重越大。 23 教學(xué)運(yùn)用 ttt YYY )1 ( 1 式中： 1 t Y表示時(shí)間序列第t+1期的預(yù)測值； t Y 表示時(shí)間序列第t期的實(shí)際觀測值； t Y 表示時(shí)間序列第t期的預(yù)測值； 表示平滑系數(shù)，01。 11 1 2 2 1 1 )1 ()1 ()1 ()1 ( )1 ( YYYYY YYY tt ttt ttt n單參數(shù)指數(shù)平滑的模型為： 24 教學(xué)運(yùn)用 適用場合 n單參數(shù)（一次）指數(shù)平滑適用于不包含 長期趨勢和季節(jié)成分的時(shí)間序列預(yù)測 n如果原序列有增長趨勢，平滑序列將系 統(tǒng)的低于實(shí)際值 n如果原序列有下降趨勢，平滑序列將系 統(tǒng)的高于實(shí)際值 25 教學(xué)運(yùn)用 平滑系數(shù)的確定 n選

12、擇合適的平滑系數(shù)是提高預(yù)測精度的關(guān) 鍵。 n如果序列波動(dòng)較小，則平滑系數(shù)應(yīng)取小一 些，不同時(shí)期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)差別小一些，使 預(yù)測模型能包含更多歷史數(shù)據(jù)的信息； n如果序列趨勢波動(dòng)較大，則平滑系數(shù)應(yīng)取 得大一些。這樣，可以給近期數(shù)據(jù)較大的 權(quán)數(shù)，以使預(yù)測模型更好地適序列趨勢的 變化。 n統(tǒng)計(jì)軟件中可以根據(jù)擬合誤差的大小自動(dòng) 篩選最優(yōu)的平滑系數(shù)值。 26 教學(xué)運(yùn)用 初始預(yù)測值的確定 n初始預(yù)測值的確定 n等于第一個(gè)觀測值 n等于前k個(gè)值的算術(shù)平均 n適用場合：單參數(shù)（一次）指數(shù)平滑適 用于不包含長期趨勢和季節(jié)成分的平穩(wěn) 時(shí)間序列預(yù)測 27 教學(xué)運(yùn)用 案例分析 n新衛(wèi)機(jī)械廠銷售額的單參數(shù)指數(shù)平滑 預(yù)測

13、n分析預(yù)測創(chuàng)建模型方法選擇 “指數(shù)平滑”;根據(jù)需要設(shè)置“條件”。 n擬合情況與2年的預(yù)測值（下頁圖）。 nSPSS Statistics 估計(jì)的=0.689. n擬合數(shù)據(jù)的MAPE=12.847%. 28 教學(xué)運(yùn)用 單參數(shù)指數(shù)平滑的圖形結(jié)果 29 教學(xué)運(yùn)用 n時(shí)序圖檢驗(yàn) 根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列均值與方差為常數(shù)平穩(wěn)時(shí)間序列均值與方差為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的時(shí)序圖應(yīng)該顯示出該 序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近隨機(jī)波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍有界、無明顯趨勢及周期 特征 n自相關(guān)圖檢驗(yàn) 平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性。該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來描述就是隨著延遲期數(shù) 的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)對很快地衰減

14、向零。 n純隨機(jī)性檢驗(yàn)（白噪聲檢驗(yàn)） 平穩(wěn)性檢驗(yàn)平穩(wěn)性檢驗(yàn) 30 教學(xué)運(yùn)用 nAR(p)AR(p)模型模型 nMA(q)MA(q)模型模型 nARMAARMA（p p，q q）模型）模型 平穩(wěn)時(shí)間序列分析模型： ARMA模型的全稱是自回歸移 動(dòng)平均（auto regression moving average）模型，它是目 前最常用的擬合平穩(wěn)時(shí)間序列的模型擬合平穩(wěn)時(shí)間序列的模型。ARMA模型又可 細(xì)分為AR模型、MA模型和ARMA模型三大類。 tptpttt xxxx 22110 qtqtttt x 2211 qtqtttptptttt xxxx 221122110 31 教學(xué)運(yùn)用 n確定性時(shí)

15、間序列分析（確定性時(shí)間序列分析（平滑法平滑法、趨勢外推擬合法）趨勢外推擬合法） 通常這種非平穩(wěn)的時(shí)間序列顯示出非常明顯的規(guī)律 性，比如有顯著的趨勢或有固定的變化周期 。 n隨機(jī)性時(shí)間序列分析隨機(jī)性時(shí)間序列分析（ARIMA模型模型 ） 由隨機(jī)因素導(dǎo)致的的非平穩(wěn)時(shí)間序列，通常這種隨機(jī) 波動(dòng)非常難以確定和分析 。通過差分法或適當(dāng)?shù)淖儞Q通過差分法或適當(dāng)?shù)淖儞Q 使非平穩(wěn)序列的化成為平穩(wěn)序列使非平穩(wěn)序列的化成為平穩(wěn)序列 。 在實(shí)際情況中，絕大部分序列都是非平穩(wěn)的，因 而對非平穩(wěn)序列的分析更普遍、更重要，相應(yīng)地各種分 析方法也更多。通常包含下列兩種方法： n非平穩(wěn)序列分析法非平穩(wěn)序列分析法 32 教學(xué)運(yùn)用

16、ARIMA(Autoregressive Integrated Moving Average)模型模型，差分自回歸滑 動(dòng)平均模型（滑動(dòng)也譯作移動(dòng)），又稱求 合自回歸滑動(dòng)平均模型。 ARIMA（p，d，q）中，AR是自回歸，p 為自回歸項(xiàng)數(shù)；MA為滑動(dòng)平均，q為滑 動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)，d為使之成為平穩(wěn)序列所做為使之成為平穩(wěn)序列所做 的差分次數(shù)（階數(shù)）的差分次數(shù)（階數(shù)）。 ARIMA（p，d，q）模型是ARMA（p，q） 模型的擴(kuò)展。 33 教學(xué)運(yùn)用 34 教學(xué)運(yùn)用 例：建立國際航線旅客月度人數(shù)的例：建立國際航線旅客月度人數(shù)的ARIMA模型。我們已有一組模型。我們已有一組1949 年至年至1961年國際航

17、線旅客月度人數(shù)的年國際航線旅客月度人數(shù)的144條記錄。使用條記錄。使用ARIMA過程過程 進(jìn)行建模和預(yù)測。其數(shù)據(jù)列于下表所示。進(jìn)行建模和預(yù)測。其數(shù)據(jù)列于下表所示。 YEAR123456789101112 1949112118132129121135148148136119104118 1950115126141135125149170170158133114140 1951145150178163172178199199184162146166 1952171180193181183218230242209191172194 1953196196236235229243264272237211

18、180201 1954204188235227234264302293259229203229 1955242233267269270315364347312274237278 1956284277317313318374413405355306271306 1957315301356348355422465467404347305336 1958340318362348363435491505404359310337 1959360342406396420472548559463407362405 1960417391419461472535622606408461390432 35 教學(xué)運(yùn)

19、用 n（1）繪制時(shí)序圖）繪制時(shí)序圖 36 教學(xué)運(yùn)用 n（2）對平穩(wěn)性和季節(jié)性的識(shí)別）對平穩(wěn)性和季節(jié)性的識(shí)別 對平穩(wěn)性和季節(jié)性的識(shí)別通常有時(shí)序圖和自相關(guān)圖兩種方法， 或兩者結(jié)合起來一起判斷。 l 時(shí)序圖，是通過直接觀察時(shí)間序列折線圖來檢驗(yàn)序列是 否平穩(wěn)。如果時(shí)間序列有某種趨勢或呈現(xiàn)出增加或減少范 圍的擴(kuò)散現(xiàn)象，則序列是不平穩(wěn)的。 l 自相關(guān)圖。如果序列的折線圖并不明顯地呈現(xiàn)上述現(xiàn)象， 而我們又無法直接判斷序列究竟平穩(wěn)與否，通?？梢岳?自相關(guān)圖自相關(guān)圖來檢測序列是否平穩(wěn)。 37 教學(xué)運(yùn)用 38 教學(xué)運(yùn)用 n（3）變換不平穩(wěn)序列為平穩(wěn)序列）變換不平穩(wěn)序列為平穩(wěn)序列 l 如果時(shí)間序列呈線性趨勢，均值

20、不是常數(shù)，利用一階差分 將產(chǎn)生一個(gè)平穩(wěn)序列。 l 如果時(shí)間序列呈二次趨勢，均值不是常數(shù)，利用二階差分 將產(chǎn)生一個(gè)平穩(wěn)序列。 l 如果時(shí)間序列呈現(xiàn)出隨時(shí)間的上升或下降而偏差，方差不 是常數(shù)，通?？衫萌∽匀粚?shù)轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列。 l 如果時(shí)間序列呈現(xiàn)指數(shù)趨勢，均值和方差都不是常數(shù)，通 常也可利用取自然對數(shù)轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列。 l 如果時(shí)間序列呈現(xiàn)“相對環(huán)”趨勢，通常將數(shù)據(jù)除以同時(shí) 發(fā)生的時(shí)間序列的相應(yīng)值轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列。 39 教學(xué)運(yùn)用 a）取對數(shù)消除振幅變大趨勢-線性增長趨勢 40 教學(xué)運(yùn)用 b）需要對這個(gè)新序列數(shù)據(jù)再進(jìn)行滯后一次（消除增長消除增長） 和滯后12次（消除季節(jié)消除季節(jié)）共兩次差分最終轉(zhuǎn)換

21、為平穩(wěn)序列 （4）檢驗(yàn)待選的時(shí)間序列模型的自相關(guān)函數(shù)檢驗(yàn)待選的時(shí)間序列模型的自相關(guān)函數(shù) 41 教學(xué)運(yùn)用 ACF圖中，我們認(rèn)為自相關(guān)系數(shù)在延遲圖中，我們認(rèn)為自相關(guān)系數(shù)在延遲1階后都落入階后都落入2倍標(biāo)準(zhǔn)倍標(biāo)準(zhǔn) 差內(nèi)，然后在延遲差內(nèi)，然后在延遲12階處突然有一個(gè)較大的自相關(guān)系數(shù)，階處突然有一個(gè)較大的自相關(guān)系數(shù)， 緊接著又落入緊接著又落入2倍標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，很象在倍標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，很象在1，12處截尾處截尾 42 教學(xué)運(yùn)用 n（5）估計(jì)備選時(shí)間序列模型的參數(shù)估計(jì)）估計(jì)備選時(shí)間序列模型的參數(shù)估計(jì) n（6）利用確定的模型進(jìn)行預(yù)測）利用確定的模型進(jìn)行預(yù)測 43 教學(xué)運(yùn)用 (7.4.1)yabx 44 教學(xué)運(yùn)用 2 2

22、 (7.4.6) ii iii i ab Q ii yyyex a bxye 總方差 2 2 2 i i i i Q ii aa aba a ab a bxy yx yx 45 教學(xué)運(yùn)用 00 0 (7.4.7) ii Q yabx a naby xi i naby xi i by xi i aybx n 令，即 所以 2 7.4.7 Q i i bb a by x 將式代入得（） 46 教學(xué)運(yùn)用 2 2 2 i ii i ii i Q yb xxyi bb ybxbx b ybxx yxx yxx 2 00 2 (7.4.8) ii ii xy xx xxyybxx i xxyy b xx

23、i S S 令其，即 所以 47 教學(xué)運(yùn)用 1(7.4.9) xy xyxy xxyy S rr s s 48 教學(xué)運(yùn)用 49 教學(xué)運(yùn)用 (7.4.2) 2 2 (7.4.3) nyy xx iiii b n xxi i by xi i a n n yi a x yixi b i 2 50 教學(xué)運(yùn)用 年份年份 倒倒5年年 倒倒4年年 倒倒3年年 前年前年 去年去年 今年今年 明年明年 產(chǎn)量（萬元）產(chǎn)量（萬元） 300 350 380 430 500 ？ ？ 法法 51 教學(xué)運(yùn)用 年份年份 倒倒5年年 倒倒4年年 大前年大前年 前年前年 去年去年 平均值平均值 xi -2 -1 0 1 2 0

24、0 yi 300 350 380 430 500 1960 392 xiyi -600 -350 0 430 1000 480 Xi2 4 1 0 1 4 10 Yi2 90000 122500 144400 184900 250000 791800 52 教學(xué)運(yùn)用 991.0 56.484 480 2348010 480 234801960392791800 10010 4800480 2 2 r yyS xxS yyxS SS S r xy ii yy iixx ii ixy yyxx xy xy y x x其中 959. 0 r臨界值 53 教學(xué)運(yùn)用 x bay i i )(584192

25、392448392 )(536144392348392 48392 392 5 1960 48 10 480 4 3 2 萬元明年： 萬元今年： 其中 y y xx bay n y a x y x b i i ii i i i i i 54 教學(xué)運(yùn)用 21 3636. 01075. 52415.172xxy 55 教學(xué)運(yùn)用 01 122 (7.4.11) kk yaa xa xa x 01 122 (7.4.10) iiikkii yaa xa xa x 56 教學(xué)運(yùn)用 101 212 , , nkn ya ya YA ya (0,) i N 57 教學(xué)運(yùn)用 11211 12222 12 (1

26、) 1 1 1 k k nnkn nk xxx xxx X xxx YXA 101 212 , , nkn ya ya YA ya 58 教學(xué)運(yùn)用 令誤差平方和：令誤差平方和： 由極小值條件由極小值條件 可得：可得： 2 1 ()() ()min n T ii i QyyYXAYXA 0 Q A 1 () ()(7.4.12) TT AX XX Y 記記 系數(shù)矩陣（對稱）系數(shù)矩陣（對稱） 適于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)適于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn) T RX X 最小二乘法估計(jì)最小二乘法估計(jì) 是是A的無偏估計(jì)。的無偏估計(jì)。 A 11 ( )() ()() () TTTT E AX XX YX XX XAA 59 教學(xué)運(yùn)用 2

27、 1 2 01 122 1 () () n ii i n iiikki i Qyy yaa xa xa x 01 122 0 101 122 1 01 122 2()0 2()0 2()0 iiikki iiiikki kiiiikki k Q yaa xa xa x a Q xyaa xa xa x a Q xyaa xa xa x a 60 教學(xué)運(yùn)用 01122 2 011121211 2 01122 iikkii iiiikikiii kikiikiikkikii naaxaxaxy axaxax xax xx y axax xax xaxx y 61 教學(xué)運(yùn)用 22 1 () ( ) n i i RSSyyk 22 1 () (1) n ii i ESSyynk 22 1 () (1) n i i TSSRSSESSyyn 62 教學(xué)運(yùn)用 2 1 2 1 () 1 () n i i n i i yy RSSESS r TSSTSS yy 63 教學(xué)運(yùn)用 64 教學(xué)運(yùn)用 2 () 11 ii yy ESS S nknk 10% 15% S y 65 教學(xué)運(yùn)用 ( ,1) (1) RSS k FF k nk E