平面向量數(shù)量積運算專題

1、平面向量數(shù)量積運算題型一 平面向量數(shù)量積的基本運算例 1 (1)(2014 天津 )已知菱形 ABCD的邊長為 2，BAD120，點 E，F(xiàn) 分別在邊 BC，DC 上，BC3BE，DCDF.若AEAF1，則 的值為 .(2) 已知圓 O的半徑為 1，PA，PB為該圓的兩條切線， A，B為切點，那么 PAPB的最小值為 ( )A. 4 2B. 3 2C.42 2D. 32 2變式訓(xùn)練 1 (2015湖北 )已知向量 OAAB，| OA| 3，則OAOB題型二 利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例 2 (1)(2015 重慶 )若非零向量 a，b滿足|a|232|b|，且(ab)(3a2b)，則a與

2、b 的夾角為 ( )D.(2) 若平面向量 a與平面向量 b的夾角等于 3，|a|2，|b|3，則 2ab與 a2b的夾角 的余弦值等于 ( )B.1261D.112變式訓(xùn)練 2 (2014課標(biāo)全國 ) 已知 A，B，C為圓 O上的三點，若 AO12(ABAC) ，則 AB與 AC的夾角為 .題型三 利用數(shù)量積求向量的模例 3 (1) 已知平面向量 a和 b，|a|1，|b|2，且 a與 b的夾角為 120，則|2 ab| 等于 ( )(2) 已知直角梯形 ABCD中， ADBC， ADC90， AD2，BC1，P是腰 DC上的動點，則| PA3PB| 的最小值為 .1變式訓(xùn)練 3 (2015

3、 浙江 ) 已知 e1，e2是平面單位向量， 且 e1e22. 若平面向量 b 滿足 be1 be21，則 |b| .高考題型精練1.(2015 山東 )已知菱形 ABCD的邊長為 a， ABC60，則 BDCD等于 ()A.32a23B. a4x，xy，y， x y，2.(2014 浙江 )記 maxx， y min x，y 設(shè) a，b 為平面向y，xy，x， xy，量，則 ( )| ab| ，| ab| min| a|，|b| ab| ，| ab| min| a|，|b|2 | a b| ，22| a b| |a| | b|2 | a b| ，22| a b| |a| | b|3.(201

4、5 湖南 )已知點 A， B，C在圓 x2y21 上運動，且 ABBC. 若點 P的坐標(biāo)為 (2,0) ， 則| PAPBPC|的最大值為 ()4.如圖，在等腰直角 ABO中， OAOB1，C為 AB上靠近點 A的四等分點，過 C作 AB的垂線 l ，P為垂線上任一點，設(shè) OAa，OBb，OPp，則 p（ba） 等于（）A.23C.25. 在平面上，AB1AB2，| OB1| | OB2|A.(0 ， 25B.(C.( 25， 2D.(6. 如圖所示，ABC中，ACB90127， 211，APAB1AB2.若| OP| 2，則| OA| 的取值范圍是 （且 ACBC4，點 M滿足 BM3MA，

5、則CMCB等于（7.（2014 安徽 ）設(shè) a，b為非零向量， | b| 2| a| ，兩組向量 x1，x2，x3，x4和 y1，y2，y3，y4 均由 2 個 a 和 2 個 b 排列而成 . 若 x1y1 x2 y2 x3 y3x4y4所有可能取值中的最小值為 4| a| 2，則 a 與 b 的夾角為 （ ）8.（2014 江蘇 ） 如圖，在平行四邊形ABCD中，已知 AB8，AD5，CP3PD， APBP2，則 ABAD的值是 9. 設(shè)非零向量 a，b 的夾角為 ，記 f（ a，b） acos bsin .若 e1，e2均為單位向量，且 e1e2 2 ，則向量 f（e1，e2）與 f （

6、 e2， e1）的夾角為 .10.如圖，在ABC中，O為 BC中點，若 AB1，AC3，AB，AC60，則|OA|11. 已知向量 a （sin3x，4) ，b(cos2x， 1). 當(dāng) a b時，求 cos 2x sin 2 x 的值；12. 在 ABC中， AC 10，過頂點 C作 AB的垂線，垂足為 D，AD5，且滿足 AD 5DB.(1) 求|ABAC| ； （2） 存在實數(shù) t 1，使得向量 xABtAC，ytABAC，令 kxy，求 k 的最小值 .22cos 120 122 3122 3122cos 120 33442 323103平面向量數(shù)量積運算題型一 平面向量數(shù)量積的基本運

7、算 例 1 (1)(2014 天津 )已知菱形 ABCD的邊長為 2，BAD120，點 E，F(xiàn) 分別在邊 BC，DC上，BC3BE，DCDF.若AEAF1，則 的值為 (2) 已知圓 O的半徑為 1，PA，PB為該圓的兩條切線， A，B為切點，那么 PAPB的最小值為 ( )A. 4 2B. 3 2C. 4 2 2D. 32 2答案 （1）2 （2）D解析 (1) 如圖， 31BCDC 2 1 1 1 AEAF（ABBE）（ADDF）（AB3BC）（ADDC） ABAD AB DC 3BC AD23，又 AE AF1，10331， 2.則 tan12 x ，從而 cos21 tan 221 t

8、an 2x212.x21 x21 x22 1x 132 2 3，PAPB | PA| |PB| cos2 4 2x 1 x x2 2x 1 x 12 2 2x 1 3 x 1 2 x21當(dāng)且僅當(dāng) x2 1 2， 即 x2 21 時取等號，故 PAPB的最小值為 2 2 3.方法二 設(shè) APB ， 0，則| PA| | PB| tan 2PAPB | PA| PB|cos 2() 2cos tan 22sin 22 )2 cos 2 sin 22(1 sin 21sin21 2sin 22sin22令 xsin 2 2 ， 0x 1，則PAPB1x12x 2xx132 2 3，x當(dāng)且僅當(dāng)故 PA

9、PB的最小值為 2 2 3.方法三 以 O為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則圓 O的方程為 x2 y2 1， 設(shè) A（ x1， y1） ，B（ x1， y1） ，P（ x0,0） ， 2 2 2 則PAPB（x1x0，y1）（x1x0， y1）x12x1x0x0y1.由 OA PA? OAPA（x1，y1）（x1x0，y1） 0? x1x1x0y1 0，又 x21y21 1，所以 x1x0 1.從而 PA PB x12 2x1x0 x20 y21 x12 x0 （1 x1） 2x1 x0 32 2 3.故 PAPB的最小值為 2 2 3.具b的點評 （1） 平面向量數(shù)量積的運算有兩種形式

10、： 一是依據(jù)長度和夾角， 二是利用坐標(biāo)運算， 體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來選擇.注意兩向量 a，b 的數(shù)量積 ab 與代數(shù)中 a，乘積寫法不同，不應(yīng)該漏掉其中的“”.（2） 向量的數(shù)量積運算需要注意的問題：ab 0時得不到 a0或 b0，根據(jù)平面向量數(shù)量22積的性質(zhì)有 | a| 2a2，但 | ab| |a| |b|.變式訓(xùn)練 1 （2015湖北 ）已知向量 OAAB，| OA| 3，則OAOB 答案 9 解析 因為 OAAB，所以 OAAB0.所以O(shè)AOBOA(OAAB)OA2OAAB|OA| 20 329.題型二 利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例 2 （1）（2015 重慶 ）若非零向

11、量 a，b滿足|a|232|b|，且（ab）（3a2b），則a與 b 的夾角為 （ ）D.（2） 若平面向量 a與平面向量 b的夾角等于 3，|a|2，|b|3，則 2ab與 a2b的夾角的余弦值等于 （ ）B.2161D.112答案 (1)A (2)B22解析 （1） 由（ab）（3a2b）得（ab）（3 a2b）0，即 3a2ab2b20.又|a|223 | b| ，設(shè) a，b ，22 即 3|a| 2| a| |b| cos 2|b| 20， 38|b|2232|b|2cos 2|b| 20.2 cos 2 . 又0 ， 4 .(2) 記向量 2ab 與 a2b 的夾角為 ，2又(2ab

12、)22242 3 423cos3 13 ，52，2 2 2（ a2b） 222432423cos22（2ab） （a 2b） 2a22b2 3ab81891，故 cos2a b a 2b|2 ab| |a 2b|126，即 2ab與 a2b的夾角的余弦值是 1點評 求向量的夾角時要注意： (1) 向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律， (2) 數(shù)量積大于 0 說明不共 線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0 說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0 且兩向量不能共線時兩向量的夾角為鈍角 . 1 變式訓(xùn)練 2 (2014課標(biāo)全國 )已知 A，B，C為圓 O上的三點，若 AO 12( AB AC) ，則 AB與AC

13、的夾角為 答案 90解析 AO12(ABAC) ，點 O是 ABC中邊 BC的中點， BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得 AB與 AC的夾角為 90 題型三 利用數(shù)量積求向量的模 例 3 (1) 已知平面向量 a和 b，|a|1，|b|2，且 a與 b的夾角為 120，則|2 ab| 等于(2) 已知直角梯形 ABCD中， ADBC， ADC90， AD2，BC1，P是腰 DC上的動點，則| PA3PB| 的最小值為 答案 （1）A （2）5 解析 (1) 因為平面向量 a和 b，| a|1，| b| 2，且 a 與 b的夾角為 120，所以 |2ab| 2a 2b22|2 a| |b|cos 1

14、20 2 2 2 12212 222212 2 2.(2) 方法一 以 D為原點，分別以 DA、DC所在直線為 x、y 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 設(shè) DC a， DPx.D（0,0），A（2,0） ，C（0，a），B（1，a），P（0，x） ，PA （2 ， x) ，PB (1 ，ax) ，PA3PB（5,3 a4x） ，| PA 3PB| 225（3a4x） 225，|PA3PB| 的最小值為 5.方法二 設(shè)DPxDC（0 x1），PC（1 x） DC，PADA DPDAxDC， 1PBPC CB （1 x）DC2DA，（3 4x ） DC，4x）2DC225（34x） 2DC225

15、，| PA 3PB| 2 245DA22 25（3 4x） DADC（3|PA3PB| 的最小值為 5.點評 （1） 把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中， 給有關(guān)向量賦以具體的坐標(biāo)求向量的模， 如向量 a（ x，y） ，求向量 a的模只需利用公式 |a| x2 y2即可求解 .（2） 向量不放在坐標(biāo)系中研究， 求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式，關(guān)鍵是 會把向量 a 的模進行如下轉(zhuǎn)化： | a| a2.1變式訓(xùn)練 3 （2015浙江 ） 已知 e1，e2是平面單位向量， 且 e1e22. 若平面向量 b 滿足 be1 be21，則 |b| .答案 2331解析

16、因為 | e1| | e2| 1 且 e1e22. 所以 e1與 e2的夾角為 60. 又因為 be1 b e2 1， 所以 be1be20，即 b（e1 e2） 0，所以 b（e1 e2）. 所以 b與 e1的夾角為 30，所 以 be1| b| |e1 |cos 30 1.所以|b| 233.高考題型精練1.（2015 山東 ）已知菱形 ABCD的邊長為 a， ABC60，則 BDCD等于 （）3B. a4A. 32a2答案 D解析 如圖所示，由題意，得 BC a， CD a， BCD120 3a ，BD2BC2CD22BCCDcos 120 a2a22aa BD 3a.BDCD | BD

17、| CD|cos 30 3a2 2323a22.（2014 浙江 ）記 maxx，y x x ymin x，y，xy，yy，xy， 設(shè) a，b 為平面向x，x| ab| ，此時， | ab| 2| a| 2| b| 2；當(dāng)a，b夾角為鈍角時， | ab| a| 2|b|2；當(dāng) ab時，|ab|2|ab|2|a|2|b| 2，故選 D.3.(2015 湖南 )已知點 A， B，C在圓 x2y21 上運動，且 ABBC. 若點 P的坐標(biāo)為 (2,0) ， 則| PAPBPC|的最大值為 ()答案 B解析 A， B，C在圓 x2 y2 1 上，且 ABBC，AC為圓直徑，故 PAPC2PO（4,0）

18、 ，設(shè) B（x，y），則 x2y21且x1,1 ，PB （ x2，y） ， PAPBPC（x6，y）. 故| PAPBPC| 12x37， x 1 時有最大值 497， 故選 B.4. 如圖，在等腰直角 ABO中， OAOB1，C為 AB上靠近點 A的四等分點，過 C作 AB的垂線 l ，P為垂線上任一點，設(shè) OAa，OBb，OPp，則 p（ba） 等于（）1A.23C.2 答案 A 解析 以 OA，OB所在直線分別作為 x 軸，y 軸，O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，31 則 A（1,0） ，B（0,1） ， C（ 4， 4） ，5. 在平面上，AB1AB2，|OB1|OB2|1，APAB1AB2.若| OP|a，所以A4.所以f （ x） 4cos（2 A6） 2sin（21 x4）2.因為x0 ， 3 ，所以 2x4 ， 11.4 ， 12 .所以 231 f （ x） 4cos（2 A6） 221