數(shù)學(xué)建模代數(shù)方程和差分方程模型M

1、6.1 投入產(chǎn)出模型投入產(chǎn)出模型 6.2 CT技術(shù)的圖像重建技術(shù)的圖像重建 6.3 原子彈爆炸的能量估計原子彈爆炸的能量估計 6.4 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型 6.5 減肥計劃減肥計劃節(jié)食與運(yùn)動節(jié)食與運(yùn)動 6.6 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 第六章第六章 代數(shù)方程與差分方程模型代數(shù)方程與差分方程模型 國民經(jīng)濟(jì)各個部門之間存在著相互依存和制約關(guān)系，國民經(jīng)濟(jì)各個部門之間存在著相互依存和制約關(guān)系， 每個部門將其他部門的產(chǎn)品或半成品經(jīng)過加工（投入）每個部門將其他部門的產(chǎn)品或半成品經(jīng)過加工（投入） 變?yōu)樽约旱漠a(chǎn)品（產(chǎn)出）變?yōu)樽约旱漠a(chǎn)品（產(chǎn)出）. 根據(jù)各部門間投入和產(chǎn)出的平衡

2、關(guān)系，確定各部根據(jù)各部門間投入和產(chǎn)出的平衡關(guān)系，確定各部 門的產(chǎn)出水平以滿足社會的需求門的產(chǎn)出水平以滿足社會的需求 . 20世紀(jì)世紀(jì)30年代由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家列昂節(jié)夫提出和研究年代由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家列昂節(jié)夫提出和研究. 從靜態(tài)擴(kuò)展到動態(tài)，與數(shù)量經(jīng)濟(jì)分析方法日益融合，從靜態(tài)擴(kuò)展到動態(tài)，與數(shù)量經(jīng)濟(jì)分析方法日益融合， 應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大 . 6.1 投入產(chǎn)出模型投入產(chǎn)出模型 背景背景 建立靜態(tài)投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，討論具體應(yīng)用建立靜態(tài)投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，討論具體應(yīng)用. 投入產(chǎn)出表投入產(chǎn)出表 國民經(jīng)濟(jì)各部門間生產(chǎn)和消耗、投入和產(chǎn)出的數(shù)量關(guān)系國民經(jīng)濟(jì)各部門間生產(chǎn)和消耗、投入和產(chǎn)出的數(shù)量關(guān)系 產(chǎn)出產(chǎn)出 投

3、入投入 農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)工業(yè)工業(yè)建筑建筑 業(yè)業(yè) 運(yùn)輸運(yùn)輸 郵電郵電 批零批零 餐飲餐飲 其他其他 服務(wù)服務(wù) 外部外部 需求需求 總產(chǎn)出總產(chǎn)出 農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)464788229131271312842918 工業(yè)工業(yè)499860514444035571223408316814 建筑業(yè)建筑業(yè)593202312426912875 運(yùn)輸郵電運(yùn)輸郵電62527128163671464771570 批零餐飲批零餐飲79749140431302739272341 其他服務(wù)其他服務(wù)146128527222521954227255414 初始投入初始投入1663485165970312183093 總投入總投入2918168

4、142875157023415414 中國中國2002年投入產(chǎn)出表（產(chǎn)值單位：億元）年投入產(chǎn)出表（產(chǎn)值單位：億元） 直接消耗系數(shù)表直接消耗系數(shù)表 產(chǎn)出產(chǎn)出 投入投入 農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)工業(yè)工業(yè)建筑業(yè)建筑業(yè)運(yùn)輸郵電運(yùn)輸郵電批零餐飲批零餐飲其他服務(wù)其他服務(wù) 農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)0.1590.0470.0800.0080.0540.002 工業(yè)工業(yè)0.1710.5120.5020.2570.2380.226 建筑業(yè)建筑業(yè)0.0020.0010.0010.0130.0100.023 運(yùn)輸郵電運(yùn)輸郵電0.0210.0310.0450.1040.0290.027 批零餐飲批零餐飲0.0270.0450.0490.0270.05

5、60.050 其他服務(wù)其他服務(wù)0.0500.0760.0950.1430.0940.100 一個部門的單位產(chǎn)出對各個部門的直接消耗一個部門的單位產(chǎn)出對各個部門的直接消耗 中國中國2002年直接消耗系數(shù)表年直接消耗系數(shù)表 由投入產(chǎn)出表直接得到由投入產(chǎn)出表直接得到 農(nóng)業(yè)每農(nóng)業(yè)每1億元產(chǎn)出直接消耗億元產(chǎn)出直接消耗0.159億元農(nóng)業(yè)產(chǎn)品億元農(nóng)業(yè)產(chǎn)品 直接消耗直接消耗0.171億元工業(yè)產(chǎn)品億元工業(yè)產(chǎn)品 反映國民經(jīng)濟(jì)各個部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系反映國民經(jīng)濟(jì)各個部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系 投入產(chǎn)出的數(shù)學(xué)模型投入產(chǎn)出的數(shù)學(xué)模型 xi第第i部門的總產(chǎn)出部門的總產(chǎn)出di對第對第i部門的外部需求部門的外部需求 xij第第

6、i部門對第部門對第j部門的投入部門的投入 aij直接消耗系數(shù)直接消耗系數(shù)第第j部門單位產(chǎn)出部門單位產(chǎn)出 對第對第i部門的直接消耗部門的直接消耗 xij第第j部門總產(chǎn)出對第部門總產(chǎn)出對第i部門的直接消耗部門的直接消耗 每個部門的總產(chǎn)出等于總投入每個部門的總產(chǎn)出等于總投入 xj第第j部門的總投入部門的總投入 設(shè)共有設(shè)共有n個部門個部門 技術(shù)水平?jīng)]有明顯提高技術(shù)水平?jīng)]有明顯提高 模型應(yīng)用模型應(yīng)用 假設(shè)直接消耗系數(shù)不變假設(shè)直接消耗系數(shù)不變 問題問題1 如果某年對農(nóng)業(yè)、工業(yè)、建筑業(yè)、運(yùn)輸郵如果某年對農(nóng)業(yè)、工業(yè)、建筑業(yè)、運(yùn)輸郵 電、批零餐飲和其他服務(wù)的外部需求分別為電、批零餐飲和其他服務(wù)的外部需求分別為1

7、500, 4200, 3000, 500, 950, 3000億元億元, 問這問這6個部門的總產(chǎn)個部門的總產(chǎn) 出分別應(yīng)為多少？出分別應(yīng)為多少？ d=(1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000)T A由直接消耗系數(shù)表給出由直接消耗系數(shù)表給出 6個部門的總產(chǎn)出個部門的總產(chǎn)出 x=(3277, 17872, 3210, 1672, 2478, 5888)（億元）（億元）. 求解求解 模型應(yīng)用模型應(yīng)用 總產(chǎn)出對外部需求線性總產(chǎn)出對外部需求線性 dd增加增加1個單位個單位 x的增量的增量 若農(nóng)業(yè)的外部需求增加若農(nóng)業(yè)的外部需求增加1單位單位 x為為 的第的第1列列 6個部門的總產(chǎn)出

8、分別增加個部門的總產(chǎn)出分別增加1.2266，0.5624， 0.0075，0.0549，0.0709，0.1325單位單位. 問題問題2 如果如果6個部門的外部需求分別增加個部門的外部需求分別增加1個單位個單位, 問它們的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加多少？問它們的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加多少？ 求解求解 其余外部需求增加其余外部需求增加1單位單位 x為為 的其余各列的其余各列 6.2 CT技術(shù)的圖像重建技術(shù)的圖像重建 CT(計算機(jī)斷層成像計算機(jī)斷層成像 )技術(shù)是技術(shù)是20世紀(jì)世紀(jì)50至至70年代由年代由 美國科學(xué)家科馬克和英國科學(xué)家豪斯費(fèi)爾德發(fā)明的美國科學(xué)家科馬克和英國科學(xué)家豪斯費(fèi)爾德發(fā)明的. 1971年第一代供

9、臨床應(yīng)用的年第一代供臨床應(yīng)用的CT設(shè)備問世設(shè)備問世. 螺旋式螺旋式CT機(jī)等新型設(shè)備被醫(yī)療機(jī)構(gòu)普遍采用機(jī)等新型設(shè)備被醫(yī)療機(jī)構(gòu)普遍采用. CT技術(shù)在工業(yè)無損探測、資源勘探、生態(tài)監(jiān)測技術(shù)在工業(yè)無損探測、資源勘探、生態(tài)監(jiān)測 等領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用等領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用. 背景背景 什么是什么是CT，它與傳統(tǒng)的，它與傳統(tǒng)的X射線成像有什么區(qū)別？射線成像有什么區(qū)別？ No Image 光源光源 人眼人眼 光源光源 人眼人眼 一個半透明物體嵌入一個半透明物體嵌入5個不同透明度的球個不同透明度的球 概念圖示概念圖示 單方向觀察無法確定單方向觀察無法確定 球的數(shù)目和透明度球的數(shù)目和透明度 讓物體旋轉(zhuǎn)從多角度

10、觀察能讓物體旋轉(zhuǎn)從多角度觀察能 分辨出分辨出5個球及各自的透明度個球及各自的透明度 人體內(nèi)臟人體內(nèi)臟 膠膠 片片 傳統(tǒng)的傳統(tǒng)的X射線成像原理射線成像原理 CT技術(shù)原理技術(shù)原理 探探 測測 器器 X 射射 線線 X 光光 管管 人體內(nèi)臟人體內(nèi)臟 CT技術(shù)技術(shù): 在不同深度的斷面上在不同深度的斷面上,從各個角度用探測器接從各個角度用探測器接 收旋轉(zhuǎn)的收旋轉(zhuǎn)的X光管發(fā)出、穿過人體而使強(qiáng)度衰減的射線光管發(fā)出、穿過人體而使強(qiáng)度衰減的射線; 經(jīng)過測量和計算將人體器官和組織的影像重新構(gòu)建經(jīng)過測量和計算將人體器官和組織的影像重新構(gòu)建. 圖像圖像 重建重建 X射線強(qiáng)度衰減與圖像重建的數(shù)學(xué)原理射線強(qiáng)度衰減與圖像重

11、建的數(shù)學(xué)原理 射線強(qiáng)度的衰減射線強(qiáng)度的衰減 率與強(qiáng)度成正比率與強(qiáng)度成正比. I射線強(qiáng)度射線強(qiáng)度 l物質(zhì)在射線方向的厚度物質(zhì)在射線方向的厚度 物質(zhì)對射線的衰減系數(shù)物質(zhì)對射線的衰減系數(shù) I0入射強(qiáng)度入射強(qiáng)度 射線沿直線射線沿直線L穿行穿行, 穿過由穿過由 不同衰減系數(shù)的物質(zhì)組成的不同衰減系數(shù)的物質(zhì)組成的 非均勻物體非均勻物體(人體器官人體器官). I0 L 0 y x (x, y) No Image X射線強(qiáng)度衰減與圖像重建的數(shù)學(xué)原理射線強(qiáng)度衰減與圖像重建的數(shù)學(xué)原理 右端數(shù)值可從右端數(shù)值可從CT 的測量數(shù)據(jù)得到的測量數(shù)據(jù)得到 多條直線多條直線L的線積分的線積分 被積函數(shù)被積函數(shù)(x, y) FQ(

12、q)與與Q相距相距q的直線的直線L的線積分的線積分Pf(L)對所有對所有q的平均值的平均值 拉東變換拉東變換 拉東逆變換拉東逆變換 圖像圖像 重建重建 反映人體器官大小、形狀、密度的圖像反映人體器官大小、形狀、密度的圖像 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 原理原理 實際上只能在有限條直線上得到投影實際上只能在有限條直線上得到投影(線積分線積分). 圖像重建在數(shù)學(xué)方法上的進(jìn)展，為圖像重建在數(shù)學(xué)方法上的進(jìn)展，為CT技術(shù)在各個技術(shù)在各個 領(lǐng)域成功的和不斷拓廣的應(yīng)用提供了必要條件領(lǐng)域成功的和不斷拓廣的應(yīng)用提供了必要條件. 圖像重建的代數(shù)模型圖像重建的代數(shù)模型 lj 每個像素對射線的衰減系數(shù)是常數(shù)每個像素對射線的衰減系數(shù)是常數(shù)

13、 m個像素個像素(j=1, m), n束射線束射線(i=1,n) Li的強(qiáng)度測量數(shù)據(jù)的強(qiáng)度測量數(shù)據(jù) j像素像素j的衰減系數(shù)的衰減系數(shù) lj射線在像素射線在像素j中的穿行長度中的穿行長度 J(Li)射線射線Li穿過的像素穿過的像素j的集合的集合 像素像素j 射線射線Li No Image j Li lij 圖像重建的代數(shù)模型圖像重建的代數(shù)模型 常用算法常用算法 設(shè)像素的邊長和射線的寬度均為設(shè)像素的邊長和射線的寬度均為 中心線法中心線法 aij射線射線Li的中心線在像素的中心線在像素j內(nèi)的內(nèi)的 長度長度lij與與之比之比. 面積法面積法 aij射線射線Li的中心線在像素的中心線在像素j內(nèi)的面積內(nèi)的

14、面積sij與與之比之比. sij 中心法中心法 aij=1射線射線Li經(jīng)過像素經(jīng)過像素j的中心點的中心點. 圖像重建的代數(shù)模型圖像重建的代數(shù)模型 中心法的簡化形式中心法的簡化形式 假定射線的寬度為零假定射線的寬度為零, 間距間距 aij=1 Li經(jīng)過像素經(jīng)過像素j內(nèi)任一點內(nèi)任一點 987 654 321 L4 L8 L7 L6 L5 L3 L2 L1 根據(jù)根據(jù)A和和b, 由由 確定像素的衰減系數(shù)向量確定像素的衰減系數(shù)向量x m和和n很大且很大且m n, 方程有無窮多解方程有無窮多解 + 測量誤差和噪聲測量誤差和噪聲 在在x和和e滿足的最優(yōu)準(zhǔn)則下估計滿足的最優(yōu)準(zhǔn)則下估計x 代數(shù)重建技術(shù)代數(shù)重建技

15、術(shù)(ART) 6.3 原子彈爆炸的能量估計原子彈爆炸的能量估計 1945年年7月月16日美國科學(xué)家在新墨西哥州阿拉莫日美國科學(xué)家在新墨西哥州阿拉莫 戈多沙漠試爆了全球第一顆原子彈戈多沙漠試爆了全球第一顆原子彈, 震驚世界震驚世界! 當(dāng)時資料是保密的當(dāng)時資料是保密的, 無法準(zhǔn)確估計爆炸的威力無法準(zhǔn)確估計爆炸的威力. 英國物理學(xué)家泰勒研究了兩年后美國公開的錄像帶英國物理學(xué)家泰勒研究了兩年后美國公開的錄像帶, 利用數(shù)學(xué)模型估計這次爆炸釋放的能量為利用數(shù)學(xué)模型估計這次爆炸釋放的能量為19.2千噸千噸. 后來公布爆炸實際后來公布爆炸實際 釋放的能量釋放的能量21千噸千噸 t(ms)r(m)t(ms)r(

16、m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m) 0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.5 0.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.0 0.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.0 0.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.0 0.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0 泰勒測量：泰勒測量： 時刻時刻t 所對應(yīng)的所對應(yīng)的“蘑菇云蘑菇云”的半的半 徑徑r 原子彈爆炸的能量估計原子彈爆炸的能量

17、估計 爆炸產(chǎn)生的沖擊波以爆炸點為中心呈球面向四周傳播爆炸產(chǎn)生的沖擊波以爆炸點為中心呈球面向四周傳播, 爆炸的能量越大，在一定時刻沖擊波傳播得越遠(yuǎn)爆炸的能量越大，在一定時刻沖擊波傳播得越遠(yuǎn). 沖擊波由爆炸形成的沖擊波由爆炸形成的“蘑菇云蘑菇云”反映出來反映出來. 泰勒用量綱分析方法建立數(shù)學(xué)模型泰勒用量綱分析方法建立數(shù)學(xué)模型, 輔以小型試驗輔以小型試驗, 又利用測量數(shù)據(jù)對爆炸的能量進(jìn)行估計又利用測量數(shù)據(jù)對爆炸的能量進(jìn)行估計. 物物 理理 量量 的的 量量 綱綱 長度長度 l 的量綱記的量綱記 L=l 質(zhì)量質(zhì)量 m的量綱記的量綱記 M=m 時間時間 t 的量綱記的量綱記 T=t 動力學(xué)中動力學(xué)中 基

18、本量綱基本量綱 L, M, T 速度速度 v 的量綱的量綱 v=LT-1 導(dǎo)出量綱導(dǎo)出量綱 加速度加速度 a 的量綱的量綱 a=LT-2 力力 f 的量綱的量綱 f=LMT-2 引力常數(shù)引力常數(shù) k 的量綱的量綱 k 對無量綱量對無量綱量 ， =1(=L0M0T0) 量綱齊次原則量綱齊次原則 =fl2m-2=L3M-1T-2 在經(jīng)驗和實驗的基礎(chǔ)上利用物理定律的量綱齊次原則在經(jīng)驗和實驗的基礎(chǔ)上利用物理定律的量綱齊次原則, 確定各物理量之間的關(guān)系確定各物理量之間的關(guān)系. 量綱齊次原則量綱齊次原則等式兩端的量綱一致等式兩端的量綱一致 量綱分析量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系利用量綱齊次原

19、則尋求物理量之間的關(guān)系. 例：單擺運(yùn)動例：單擺運(yùn)動 l mg m 求擺動周期求擺動周期 t 的表達(dá)式的表達(dá)式 設(shè)物理量設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式之間有關(guān)系式 1, 2, 3 為待定系數(shù)，為待定系數(shù)， 為無量綱量為無量綱量 (1)的量綱表達(dá)式的量綱表達(dá)式 與與 對比對比 對對 x,y,z的兩組量測值的兩組量測值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ) 為什么假設(shè)這種形式為什么假設(shè)這種形式? 設(shè)設(shè)p= f(x,y,z) x,y,z的量綱單的量綱單 位縮小位縮小a,b,c倍倍 p= f(x,y,z)的形式

20、為的形式為 量綱齊量綱齊 次原則次原則 單擺運(yùn)動單擺運(yùn)動 000201 001010100 4 321 )( )()()( TMLTML TMLTMLTML y yyy 0002 41243 TMLTML yyyyy 201 001 010 100 TMLg TMLl TMLm TMLt 單擺運(yùn)動中單擺運(yùn)動中 t, m, l, g 的一般表達(dá)式的一般表達(dá)式0),(glmtf 02 0 0 41 2 43 yy y yy glt 12 )/(glt 4321 yyyy glmt y1y4 為待定常數(shù)為待定常數(shù), 為無量綱量為無量綱量 0)(F T ) 1, 1, 0, 2( T yyyyy),(

21、 4321 基本解基本解 設(shè)設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0 mjXq n i a ij ij , 2 , 1, 1 ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-r F( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價等價, F未定未定. Pi定理定理 (Buckingham) 是與量綱單位無關(guān)的物理定律，是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2, Xn 是是 基本量綱基本量綱, n m, q1, q2, qm 的量綱可表為的量綱可表為 , mnij aA 量綱矩陣記作量綱矩陣記作rrankA若 線性齊次方程組線性齊次方程

22、組0Ay有有 m-r 個基本解，記作個基本解，記作 m j y js sj q 1 為為m-r 個相互獨立的無量綱量個相互獨立的無量綱量, 且且 則則 記爆炸能量為記爆炸能量為E，將，將“蘑菇云蘑菇云”近似看成一個球近似看成一個球 形形. 時刻時刻 t 球的半徑為球的半徑為 rt, E 空氣密度空氣密度, 大氣壓強(qiáng)大氣壓強(qiáng)P 基本量綱：基本量綱：L, M, T 21 3 22 ; ; ; ; MTLP ML MTLE TtLr ),(PEtr 原子彈爆炸能量估計的量綱分析方法建模原子彈爆炸能量估計的量綱分析方法建模 r與哪些因素有關(guān)？與哪些因素有關(guān)？ r t E P 20210 11100 1

23、3201 53 A L M T 量綱矩陣量綱矩陣 0),(PEtrf y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0) y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T 原子彈爆炸能量估計的量綱分析方法建模原子彈爆炸能量估計的量綱分析方法建模 rARank 3ARank 5/1 2 5/15/15/2 1 Et rErt 5/1 32 56 5/35/25/6 2 E Pt PEt 0),( 21 F 5/1 32 56 5/1 2 E Pt Et r T yyyyyyAy),(, 0 54321 有有2個基本解個基本解 5/1 32 56 5/1 2 E PtEt r 兩個無兩個無 量綱量量綱量 原子

24、彈爆炸能量估計的數(shù)值計算原子彈爆炸能量估計的數(shù)值計算 5/ 1 32 56 5/ 1 2 E PtEt r 時間時間 t 非常短非常短 能量能量 E 非常大非常大 )0( 5/1 32 56 E Pt 泰勒泰勒根據(jù)一些小型爆炸試驗的數(shù)據(jù)建議根據(jù)一些小型爆炸試驗的數(shù)據(jù)建議 1)0( 5/1 2 Et r 用用r, t 的實際數(shù)據(jù)做平均的實際數(shù)據(jù)做平均 空氣密度空氣密度 =1.25 (kg/m3) 1千噸千噸(TNT能量能量) = 4.184*1012焦?fàn)柦範(fàn)?2 5 t r E E=19.7957 (千噸千噸) E=8.28251013(焦耳焦耳) 實際值實際值21千噸千噸 泰勒的泰勒的計算計算

25、 5/1 2 Et r t r 最小二乘法擬合最小二乘法擬合 r=atb E tr 101010 log 5 1 log 5 2 log E=8.02761013 (焦耳焦耳)即即19.2千噸千噸 取取y平均值得平均值得c=6.9038 E ctrycy 101010 log 2 1 ,loglog 2 5 , 模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗 b=0.40582/5 量綱分析法的評注量綱分析法的評注 物理量的選取物理量的選取 基本量綱的選取基本量綱的選取 基本解的構(gòu)造基本解的構(gòu)造 結(jié)果的局限性結(jié)果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的中包括哪些物理量是至關(guān)重要的. 基本量綱個數(shù)基本量綱個數(shù)n;

26、選哪些基本量綱選哪些基本量綱. 有目的地構(gòu)造有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解的基本解. 方法的普適性方法的普適性 函數(shù)函數(shù)F和無量綱量未定和無量綱量未定. 不需要特定的專業(yè)知識不需要特定的專業(yè)知識. 物理模擬示例：物理模擬示例：波浪對航船的阻力波浪對航船的阻力 航船阻力航船阻力 f航船速度航船速度v, 船體尺寸船體尺寸l, 浸沒面積浸沒面積 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g . 0),(fsvlg 量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用 物理模擬物理模擬: 按照一定的比例尺寸構(gòu)造它的物理模型按照一定的比例尺寸構(gòu)造它的物理模型, 通過對模型的研究得出原型的結(jié)果通過

27、對模型的研究得出原型的結(jié)果. 量綱分析可以指導(dǎo)物理模擬中比例尺寸的確定量綱分析可以指導(dǎo)物理模擬中比例尺寸的確定. 0),(fsvlg 物理模擬示例：物理模擬示例：波浪對航船的阻力波浪對航船的阻力 slgvlglf 2 3 2/12/1 2 113 1 , 定理定理 2 3232 3 ,),( l s gl v glf待定， 0),( 321 F 2 3232 3 ,),( l s lg v glf 同上， 原型船原型船 模型船模型船 gvlsf, 模型船的模型船的 均已知均已知 gvls,當(dāng)原型船的當(dāng)原型船的 給定后計算給定后計算 f 物理物理 模擬模擬 gg l l v v 2 )( l l

28、 s s 2 32 32 3 , ),( l s gl v glf 物理模擬示例：物理模擬示例：波浪對航船的阻力波浪對航船的阻力 原原 型型 船船 模模 型型 船船 模擬模擬 條件條件 量測模型船阻力量測模型船阻力f，可計算，可計算 f. 按一定尺寸比例建造按一定尺寸比例建造 模型船模型船, 并調(diào)節(jié)船速并調(diào)節(jié)船速. 無量綱化示例：火箭發(fā)射無量綱化示例：火箭發(fā)射 2 21 1 )(rx mm kxm vxx rx gr x )0(, 0)0( )( 2 2 ),;(gvrtxx m1 m2 x r v 0 g 星球表面豎直發(fā)射火箭。初速星球表面豎直發(fā)射火箭。初速v, 星星 球半徑球半徑r, 星球

29、表面重力加速度星球表面重力加速度g. 研究火箭高度研究火箭高度 x 隨時間隨時間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律. t=0 時時 x=0, 火箭質(zhì)量火箭質(zhì)量m1, 星球質(zhì)量星球質(zhì)量m2 牛頓第二定律，萬有引力定律牛頓第二定律，萬有引力定律 )0( xg x grkm 2 2 3個獨立參數(shù)個獨立參數(shù) 用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù)用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù) x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2 變量變量 x,t 和獨立參數(shù)和獨立參數(shù) r,v,g 的量綱的量綱 用用參數(shù)參數(shù)r,v,g的組合的組合, ,分別分別 構(gòu)造與構(gòu)造與x,t具有相同具有相同量綱量綱 的的xc, tc （特征

30、尺度）（特征尺度） 無量綱變量無量綱變量tx , vrtrx cc /, 如如 ),;(gvrtxx 利用新變量利用新變量, tx將被簡化將被簡化 cc t t t x x x, 令令 xc, tc的不同構(gòu)造的不同構(gòu)造 vrtrx cc /,1）令 cc t t t x x x, x r v t d xd r v x xv t d xd vx 2 2 22 ),;(gvrtxx );(txx 為無量綱量為無量綱量 rvttrxx/,/ 1) 0(, 0) 0( , ) 1( 1 2 2 xx rg v x x 用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù)用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù) 的不同簡化結(jié)果的不同簡

31、化結(jié)果),;(gvrtxx , )( 2 2 rx gr x vx x )0( , 0)0( gvtgvx cc /,/ 2 3）令 ),;(gvrtxx 1000 1 1 2 2 )(,)( , )( xx rg v x x );(txx 為無量綱量為無量綱量 ),;(gvrtxx grtrx cc /, 2）令 rg v x x x x 2 2 0 00 1 1 ,)( )( )( );(txx 為無量綱量為無量綱量 用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù)用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù) )/(80008 . 9106370 3 smrg 1) 2) 3) 的共同點的共同點 只含只含1個參數(shù)個參數(shù)無

32、量綱量無量綱量 );(txx 解解 1) 2) 3) 的重要差別的重要差別 rg v 2 考察無量綱量考察無量綱量 v1 在在1) 2) 3) 中能否忽略以中能否忽略以 為因子的項？為因子的項？ 1) 0(, 0) 0( , ) 1( 1 2 2 xx rg v x x 1) 忽略忽略 項項 無解無解 x不能忽略不能忽略 項項 1)0(, 0)0( , 0 ) 1( 1 2 xx x 無量綱無量綱 化方法化方法 t t tx 2 )( 2 1) 0(, 0) 0( , 1 xx x 0)0(, 0)0( , ) 1( 1 2 xx x x rg v x x x x 2 2 ,)0( 0)0(

33、)1( 1 2) 1) 0(, 0) 0( , ) 1( 1 2 2 xx rg v x x 3) 忽略忽略 項項 0)(tx 不能忽略不能忽略 項項 忽略忽略 項項 0)(tx 1) 2) 3) 的重要差別的重要差別 無量綱無量綱 化方法化方法 vx x gx )0( 0)0( , 2 )() 3 2 t t tx gvtgvx cc /,/ 2 cc t t t x x x, vtgttx 2 2 1 )( 火箭發(fā)射過程火箭發(fā)射過程 中引力中引力m1g不變不變 即即 x+r r vxx rx gr x )0(, 0)0( )( 2 2 原原 問問 題題 可以忽略可以忽略 項項 vtgttx

34、 2 2 1 )( 是原問題是原問題 的近似解的近似解 1) 2) 3) 的重要差別的重要差別 無量綱化方法無量綱化方法 為什么為什么3)能忽略能忽略 項，得到原問題近似解，而項，得到原問題近似解，而1) 2)不能不能? vrtrx cc /,1）令）令 grtrx cc /, 2）令）令 gvtgvx cc /,/ 2 3）令）令 火箭到達(dá)最高點時間為火箭到達(dá)最高點時間為v/g, 高度為高度為v2/2g, cc tttxxx/,/ 大體上具有單位尺度大體上具有單位尺度 )1( 項可以忽略項可以忽略 c xx 1,tx )1(項不能忽略項不能忽略 無量綱化方法無量綱化方法 選擇特征尺度的一般討

35、論見：林家翹著選擇特征尺度的一般討論見：林家翹著 自然科學(xué)中確定性問題的應(yīng)用數(shù)學(xué)自然科學(xué)中確定性問題的應(yīng)用數(shù)學(xué) 無無 量量 綱綱 化化 無量綱化是研究物理問題常用的數(shù)學(xué)方法無量綱化是研究物理問題常用的數(shù)學(xué)方法. 選擇特征尺度主要依賴于物理知識和經(jīng)驗選擇特征尺度主要依賴于物理知識和經(jīng)驗. 恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度可以減少獨立參數(shù)恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度可以減少獨立參數(shù) 個數(shù)，還可以輔助確定舍棄哪些次要因素個數(shù)，還可以輔助確定舍棄哪些次要因素. 6.4 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型 問問 題題 供大于求供大于求 現(xiàn)現(xiàn) 象象 商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨

36、向穩(wěn)定? 當(dāng)不穩(wěn)定時政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定? 價格下降價格下降減少產(chǎn)量減少產(chǎn)量 增加產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲價格上漲供不應(yīng)求供不應(yīng)求 描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律. 商品數(shù)量與價格在振蕩商品數(shù)量與價格在振蕩 蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型 g x0 y0P0 f x y 0 xk第第k時段商品數(shù)量；時段商品數(shù)量；yk第第k時段商品價格時段商品價格. 消費(fèi)者的需求關(guān)系消費(fèi)者的需求關(guān)系)( kk xfy 生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系 減函數(shù)減函數(shù) 增函數(shù)增函數(shù) 需求函數(shù)需求函數(shù) f與與g的交點的交點P0(x0,y0) 平衡點平衡點

37、 一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )( 1kk yhx )( 1 kk xgy 供應(yīng)函數(shù)供應(yīng)函數(shù) x y 0 f g y0 x0 P0 設(shè)設(shè)x1偏離偏離x0 x1 x2 P2 y1 P1 y2 P3 P4 x3 y3 32211 xyxyx 0321 PPPP 00, yyxx kk P0是穩(wěn)定平衡點是穩(wěn)定平衡點 P1 P2 P3 P4 P0是不穩(wěn)定平衡點是不穩(wěn)定平衡點 gf KK x y 0 y0 x0 P0 f g )( kk xfy 00, yyxx kk 曲線斜率曲線斜率 蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型 0321 PPPP )

38、( kk xfy )( 1kk yhx 在在P0點附近用直線近似曲線點附近用直線近似曲線 )0()( 00 xxyy kk )0()( 001 yyxx kk )( 001 xxxx kk )()( 0101 xxxx k k 1 P0穩(wěn)定穩(wěn)定 P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定 0 xxk k x f K g K/1 )/ 1( )/ 1( 1 方方 程程 模模 型型 gf KK gf KK 方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致 )( 00 xxyy kk 商品數(shù)量減少商品數(shù)量減少1單位單位, 價格上漲幅度價格上漲幅度 )( 001 yyxx kk 價格上漲價格上漲1單位單位, (下時段下時段)供

39、應(yīng)的增量供應(yīng)的增量 考察考察 , 的含義的含義 消費(fèi)者對需求的敏感程度消費(fèi)者對需求的敏感程度 生產(chǎn)者對價格的敏感程度生產(chǎn)者對價格的敏感程度 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 xk第第k時段商品數(shù)量；時段商品數(shù)量；yk第第k時段商品價格時段商品價格. 1經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時政府的干預(yù)辦法經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時政府的干預(yù)辦法 1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價格不變以行政手段控制價格不變 2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 靠經(jīng)濟(jì)實力控制數(shù)量不變靠經(jīng)濟(jì)實力控制數(shù)量不變 x y 0 y0 g f

40、x y 0 x0 g f 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗?供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q直供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q直 2/ )( 0101 yyyxx kkk 模型的推廣模型的推廣 生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時段和前一時段生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時段和前一時段 的價格決定下一時段的產(chǎn)量的價格決定下一時段的產(chǎn)量. )( 00 xxyy kk 生產(chǎn)者管理水平提高生產(chǎn)者管理水平提高 設(shè)供應(yīng)函數(shù)為設(shè)供應(yīng)函數(shù)為 需求函數(shù)不變需求函數(shù)不變 , 2 , 1,)1 (22 012 kxxxx kkk 二階線性常系數(shù)差分方程二階線性常系數(shù)差分方程 x0為平衡點為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即研究平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件 )( 1

41、kk yhx 2 1 1 kk k yy hx 4 8)( 2 2, 1 012 )1 (22xxxx kkk 方程通解方程通解 kk k ccx 2211 (c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 02 2 平衡點穩(wěn)定，即平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:1 2,1 2平衡點穩(wěn)定條件平衡點穩(wěn)定條件 比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了!1 2 2, 1 模型的推廣模型的推廣 6.5 減肥計劃減肥計劃節(jié)食與運(yùn)動節(jié)食與運(yùn)動 背背 景景 多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持. 通過控制飲食和適當(dāng)?shù)?/p>

42、運(yùn)動，在不傷害身體通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動，在不傷害身體 的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo). 分分 析析 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起. 飲食（吸收熱量）引起體重增加飲食（吸收熱量）引起體重增加. 代謝和運(yùn)動（消耗熱量）引起體重減少代謝和運(yùn)動（消耗熱量）引起體重減少. 體重指數(shù)體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖. 模型假設(shè)模型假設(shè) 1）體重增加正比于吸收的熱量）體重增加正比于吸收的熱量每每8000千卡千卡 增加體重增加體重1千克；千克； 2）代謝引起的體重減

43、少正比于體重）代謝引起的體重減少正比于體重每周每千克每周每千克 體重消耗體重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而異因人而異), 相當(dāng)于相當(dāng)于70 千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡； 3）運(yùn)動引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動形式）運(yùn)動引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動形式 有關(guān)；有關(guān)； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克千克, 每周吸收熱量不要小于每周吸收熱量不要小于10000千卡千卡. 某甲體重某甲體重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡熱量，千卡熱量， 體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥

44、至體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克千克. 第一階段：每周減肥第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少千克，每周吸收熱量逐漸減少, 直至達(dá)到下限（直至達(dá)到下限（10000千卡）；千卡）； 第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo). 2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動，試安排計劃）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動，試安排計劃. 1）在不運(yùn)動的情況下安排一個兩階段計劃）在不運(yùn)動的情況下安排一個兩階段計劃. 減肥計劃減肥計劃 3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案. )()1()()1(kwkckwkw 確定某甲的代謝消耗系數(shù)

45、確定某甲的代謝消耗系數(shù) 即每周每千克體重消耗即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡千卡 基本模型基本模型 w(k) 第第k周周(末末)體重體重c(k) 第第k周吸收熱量周吸收熱量 代謝消耗系數(shù)代謝消耗系數(shù)(因人而異因人而異) 1）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計劃）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計劃 每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不變千克不變 wcww025. 0 1008000 20000 w c =1/8000(千克千克/千卡千卡) 第一階段第一階段: w(k)每周減每周減1千克千克, c(k)減至下限減至下限10000千卡千卡 1) 1()(kwkw k20012000

46、 )() 1()() 1(kwkckwkw 第一階段第一階段10周周, 每周減每周減1千克，第千克，第10周末體重周末體重90千克千克 kwkw)0()( 910200120001,)(kkkc吸收熱量為吸收熱量為 1）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計劃）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計劃 1)( 1 )1(kwkc 10000 m C 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 1）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計劃）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計劃 )() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型 nnkwkw求，要求已知75)(,90)( 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 第二階段第二階段19周周, 每周吸收熱量保持每周吸收熱量保持10000千卡千卡, 體重按體重按 減少至減少至75千克千克. 運(yùn)動運(yùn)動 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小時或自行車小時或