傳熱學大作業(yè)

1、傳熱學大作業(yè)傳熱學大作業(yè)二維物體熱傳導問題的數(shù)值解法1. 二維熱傳導問題的物理描述:本次需要解決的問題是結合給定的邊界條件，通過二維導熱物體的數(shù)值解法，求解出某建筑物墻角穩(wěn)態(tài)下的溫度分布t以及單位長度壁面上的熱流量1.1關于邊界條件和研究對象選取的物理描述：如圖所示為本次作業(yè)需要求 解的建筑物墻壁的截面。尺寸如圖中所標注。-4L3L21.2由于墻角的對稱性，A-A, B-B截 面都是絕熱面，并且由于對稱性，我們 只需要研究墻角的1/4即可（圖中陰影部 分）。假設在垂直紙面方向上不存在熱量 的傳遞，我們只需要對墻角進行二維問題的研究即可。1.3關于導熱量計算截面的物理描述：本次大作業(yè)需要解決對流

2、邊界條件和等溫邊界 條件下兩類邊界條件的問題。由于對稱性，我們只需研究1/4墻角外表面和內表面的導熱量再乘4,即是墻壁的總導熱量。2. 二維熱傳導問題的數(shù)學描寫:(hijfi/twi)(h2,tf2/tw2)本次實驗的墻角滿足二維，穩(wěn)態(tài)無內熱源的 條件，因此：壁面內滿足導熱微分方程：箸+冷=0。在絕熱面處，滿足邊界條件：-磴）=0。在對流邊界處滿足邊界條件：3. 二維熱傳導問題離散方程的建立:本次作業(yè)中墻角的溫度場是一個穩(wěn)態(tài)的連 續(xù)的場。本次作業(yè)中將1/4墻角的溫度場離散 化，劃分成若干小的網(wǎng)格，每個網(wǎng)格的節(jié)點看 成以它為中心的一個小區(qū)域的代表。通過這些 節(jié)點，采用“熱平衡法”，建立起相應的離

3、散 方程，通過高斯-賽德爾迭代法，得到最終收 斂的溫度場，從而完成對墻角溫度場的數(shù)值 解。對1/4墻角的網(wǎng)格劃分如下:(hi,tf 1/twi)選取步長Ax = Ay = 0.1m,為了方便研 究，對導熱物體的網(wǎng)格節(jié)點進行編碼，編碼規(guī)則 如下：x, yx,y坐標軸的方向如圖所示，x,y軸的單位 長度為步長Ax,取左下角點為(1,1)點，其他點 的標號為其在x,y軸上的坐標。以此進行編碼, 進行離散方程的建立。建立離散方程，要對導熱物體中的節(jié)點根據(jù) 其邊界條件進行分類(特殊節(jié)點用陰影標出)： 首先以對流邊界條件下的墻角為例1 外壁面上，平直邊界節(jié)點:(i,j+ Ddj-1)建立離散方程:+入心口

4、丿+1 tjj人Ay+ 入 Ax 町一、tjAy+ hoAx(t/o - titj) = 0以(i,j)為中心節(jié)點，進步整理得:2 (tjj-i + ti,j+1) + A tf+ij + ho Ax tfo2X + ho Ax2. 外部角點:A%- + A AxZ建立離散方程:ho Ax(tfo - ti j) + 入# ；+1以(i,j)為中心節(jié)點，進一步整理得:2 (以切+巳-1) +局朋 tf。A + ho 兀3. 絕熱+對流邊界角點:建立離散方程：h。字(+哆逬F+俘如滬=。以(i,j)為中心節(jié)點，進一步整理得:2 (切+i + fi+ij) + ho 眾.片。久+局纓4. 內部角點

5、:(A D建立離散方程:以(i,j)為中心節(jié)點,進步整理得:2_ 2（4+切 + hj-i） + 久（S+1 + 4-切）+ 加 Ax 切3久+加Ax5. 絕熱平直邊界節(jié)點:建立離散方程:+ AAy bx以(i,j)為中心節(jié)點,進步整理得:2A6. 對于普通內部節(jié)點:(I J- D建立離散方程:+ AAy bx+ AAyD+ij _ 如Ax以(i, j)為中心節(jié)點,進一步整理得:等溫邊界條件下：等溫邊界下內部節(jié)點和絕熱邊界下的節(jié)點離散方程與上述5, 6式形式相同,在等溫壁面處,節(jié)點方程只需寫成珀丿=切即可4. 方程的求解:由上圖可知，本題中有16*12=192個節(jié)點, 相應地，就會有192個待

6、求解的離散方程。在 如此高階次的方程組下，根據(jù)目前的計算機發(fā)展水平，采用克萊姆法則求解是不現(xiàn)實的，因此,采用方便計算機求解的高斯一賽德爾迭代法進行迭代求解。根據(jù)數(shù)學上的“主對角線占優(yōu)”原則，在我 們采用熱平衡法導出差分方程時，如果每一個方程都選用導出該方程的中心節(jié)點的溫度作為迭代變量，那么迭代一定收斂。在計算過程中往往需要進行足夠多的次數(shù), 迭代才能收斂。判斷收斂的方法是在相鄰兩次 迭代值之差（或相對偏差）的絕對值足夠小時, 稱已達到迭代收斂，迭代計算終止。本次計算中采用絕對殘差判據(jù):maxlV-嚴| 斗F面是本次作業(yè)所釆用的程序框圖:輸入被模擬對象根據(jù)設定的步長列寫邊界角點和列寫一般內部角作

7、圖，并根據(jù)結果計算4方程的求解（續(xù)）:4hAyAt +對于對流邊界條件下，內壁面和外壁面的熱 流量可以根據(jù)對流換熱公式：7 h Ax At在等溫邊界條件下，由于環(huán)境未知，無法直接在等溫壁面上進行計算。但由于穩(wěn)態(tài)導熱，可以借助等溫壁面附近的截面（下圖中標紅）進行 計算。公式為：ZAt v-1At久%二卜久AyAy Z-iAx5. 計算程序源代碼:（請見附件）等溫邊界條件: 運算結果: 計算獲得的各網(wǎng)格節(jié)點溫度（分歧點用紅色標 出）:o. o3O .o3oo3oo3o -o32. 621721002o92oo33222421621002oo31DO1212242172oo3631100132226

8、2oo3195517O 2552oo347931691942oo376O319001542oo3465215001342oo3263213001242oo3162212001142oo3161211001142oo3o6o21o001o42oo3o6o21o001o42oo3o6o21o001o42oo3o6o21o001o42oo3O 03O -03O -03O 03O 032423425429425523815819816*917023216 2 1O 319315512 646764719O . oo Oo Oo OO . oO . oO . oO . oO . oO . oo .oO

9、. oo oO . oO . o0! = 60.402 = 60.4根據(jù)“熱電模擬”實驗獲得的各網(wǎng)格節(jié)點溫度（分歧點用紅色標出）:333333333333333300000000000000000000000000000000O 03O -03OO 3oO 3oO 35522 * 6 2172100 2o9270232224216 2100 25511 8 121 224217219631100 132 226 2O . o195517O 2552O . o4793169 i942O . o76O31900 1542O . o4652 1500 1342o o2632 1300 1242O .

10、 o1622 1200 1142O .o1612 1100 1142O . oo612 1100 1o42O .oo6o2 1o00 1o42O . oo6o2 1o00 1o42o oo6o2 1o00 1o42O 03O -03O -03O 03O *031422423425429422 8 13815819816912 2 13216 2 1O 319311 62 6467647O . oO . oo Oo Oo O3211600482100122熱流量:0! = 60.3502 = 60.35溫度分布圖像: -OU25 20、r15110、 501610x對流邊界條件：運算結果：計算獲

11、得的各節(jié)點溫度:22222222999998889753198722222222998876667150495222222222987654435566681622222222888888886655555522222222655555550877666622222222332222223098777778200 8 2900 21923922 6 256296 2472O 826321428426*526 * 6 290251252 200322529716 8 199 i91283264125176 19915222516 * 80 234147140214 i2

12、712 0 2o4 iO 71O 02o4 i96199193196100919319*61009193100 6 100*919318 6 1009101 = 28.302 = 28.3根據(jù)“熱電模擬”實驗獲得的各網(wǎng)格節(jié)點溫度（分 歧點用紅色標出）：222222229999998897532087222222229988776671605063222222229876544356667816222222229865321030628559222221112222222288888888665555552222222265555555098766662222222233222222319888772221111100099999420998881111111126 8 200 e 8 200 8 2982192O 622 e 6 26 6 29*624723326321420042652502