傳熱學(xué)大作業(yè)

1、傳熱學(xué)大作業(yè)傳熱學(xué)大作業(yè)二維物體熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法1. 二維熱傳導(dǎo)問題的物理描述:本次需要解決的問題是結(jié)合給定的邊界條件，通過二維導(dǎo)熱物體的數(shù)值解法，求解出某建筑物墻角穩(wěn)態(tài)下的溫度分布t以及單位長度壁面上的熱流量1.1關(guān)于邊界條件和研究對象選取的物理描述：如圖所示為本次作業(yè)需要求 解的建筑物墻壁的截面。尺寸如圖中所標(biāo)注。-4L3L21.2由于墻角的對稱性，A-A, B-B截 面都是絕熱面，并且由于對稱性，我們 只需要研究墻角的1/4即可（圖中陰影部 分）。假設(shè)在垂直紙面方向上不存在熱量 的傳遞，我們只需要對墻角進(jìn)行二維問題的研究即可。1.3關(guān)于導(dǎo)熱量計算截面的物理描述：本次大作業(yè)需要解決對流

2、邊界條件和等溫邊界 條件下兩類邊界條件的問題。由于對稱性，我們只需研究1/4墻角外表面和內(nèi)表面的導(dǎo)熱量再乘4,即是墻壁的總導(dǎo)熱量。2. 二維熱傳導(dǎo)問題的數(shù)學(xué)描寫:(hijfi/twi)(h2,tf2/tw2)本次實驗的墻角滿足二維，穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源的 條件，因此：壁面內(nèi)滿足導(dǎo)熱微分方程：箸+冷=0。在絕熱面處，滿足邊界條件：-磴）=0。在對流邊界處滿足邊界條件：3. 二維熱傳導(dǎo)問題離散方程的建立:本次作業(yè)中墻角的溫度場是一個穩(wěn)態(tài)的連 續(xù)的場。本次作業(yè)中將1/4墻角的溫度場離散 化，劃分成若干小的網(wǎng)格，每個網(wǎng)格的節(jié)點看 成以它為中心的一個小區(qū)域的代表。通過這些 節(jié)點，采用“熱平衡法”，建立起相應(yīng)的離

3、散 方程，通過高斯-賽德爾迭代法，得到最終收 斂的溫度場，從而完成對墻角溫度場的數(shù)值 解。對1/4墻角的網(wǎng)格劃分如下:(hi,tf 1/twi)選取步長Ax = Ay = 0.1m,為了方便研 究，對導(dǎo)熱物體的網(wǎng)格節(jié)點進(jìn)行編碼，編碼規(guī)則 如下：x, yx,y坐標(biāo)軸的方向如圖所示，x,y軸的單位 長度為步長Ax,取左下角點為(1,1)點，其他點 的標(biāo)號為其在x,y軸上的坐標(biāo)。以此進(jìn)行編碼, 進(jìn)行離散方程的建立。建立離散方程，要對導(dǎo)熱物體中的節(jié)點根據(jù) 其邊界條件進(jìn)行分類(特殊節(jié)點用陰影標(biāo)出)： 首先以對流邊界條件下的墻角為例1 外壁面上，平直邊界節(jié)點:(i,j+ Ddj-1)建立離散方程:+入心口

4、丿+1 tjj人Ay+ 入 Ax 町一、tjAy+ hoAx(t/o - titj) = 0以(i,j)為中心節(jié)點，進(jìn)步整理得:2 (tjj-i + ti,j+1) + A tf+ij + ho Ax tfo2X + ho Ax2. 外部角點:A%- + A AxZ建立離散方程:ho Ax(tfo - ti j) + 入# ；+1以(i,j)為中心節(jié)點，進(jìn)一步整理得:2 (以切+巳-1) +局朋 tf。A + ho 兀3. 絕熱+對流邊界角點:建立離散方程：h。字(+哆逬F+俘如滬=。以(i,j)為中心節(jié)點，進(jìn)一步整理得:2 (切+i + fi+ij) + ho 眾.片。久+局纓4. 內(nèi)部角點

5、:(A D建立離散方程:以(i,j)為中心節(jié)點,進(jìn)步整理得:2_ 2（4+切 + hj-i） + 久（S+1 + 4-切）+ 加 Ax 切3久+加Ax5. 絕熱平直邊界節(jié)點:建立離散方程:+ AAy bx以(i,j)為中心節(jié)點,進(jìn)步整理得:2A6. 對于普通內(nèi)部節(jié)點:(I J- D建立離散方程:+ AAy bx+ AAyD+ij _ 如Ax以(i, j)為中心節(jié)點,進(jìn)一步整理得:等溫邊界條件下：等溫邊界下內(nèi)部節(jié)點和絕熱邊界下的節(jié)點離散方程與上述5, 6式形式相同,在等溫壁面處,節(jié)點方程只需寫成珀丿=切即可4. 方程的求解:由上圖可知，本題中有16*12=192個節(jié)點, 相應(yīng)地，就會有192個待

6、求解的離散方程。在 如此高階次的方程組下，根據(jù)目前的計算機(jī)發(fā)展水平，采用克萊姆法則求解是不現(xiàn)實的，因此,采用方便計算機(jī)求解的高斯一賽德爾迭代法進(jìn)行迭代求解。根據(jù)數(shù)學(xué)上的“主對角線占優(yōu)”原則，在我 們采用熱平衡法導(dǎo)出差分方程時，如果每一個方程都選用導(dǎo)出該方程的中心節(jié)點的溫度作為迭代變量，那么迭代一定收斂。在計算過程中往往需要進(jìn)行足夠多的次數(shù), 迭代才能收斂。判斷收斂的方法是在相鄰兩次 迭代值之差（或相對偏差）的絕對值足夠小時, 稱已達(dá)到迭代收斂，迭代計算終止。本次計算中采用絕對殘差判據(jù):maxlV-嚴(yán)| 斗F面是本次作業(yè)所釆用的程序框圖:輸入被模擬對象根據(jù)設(shè)定的步長列寫邊界角點和列寫一般內(nèi)部角作

7、圖，并根據(jù)結(jié)果計算4方程的求解（續(xù)）:4hAyAt +對于對流邊界條件下，內(nèi)壁面和外壁面的熱 流量可以根據(jù)對流換熱公式：7 h Ax At在等溫邊界條件下，由于環(huán)境未知，無法直接在等溫壁面上進(jìn)行計算。但由于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，可以借助等溫壁面附近的截面（下圖中標(biāo)紅）進(jìn)行 計算。公式為：ZAt v-1At久%二卜久AyAy Z-iAx5. 計算程序源代碼:（請見附件）等溫邊界條件: 運算結(jié)果: 計算獲得的各網(wǎng)格節(jié)點溫度（分歧點用紅色標(biāo) 出）:o. o3O .o3oo3oo3o -o32. 621721002o92oo33222421621002oo31DO1212242172oo3631100132226

8、2oo3195517O 2552oo347931691942oo376O319001542oo3465215001342oo3263213001242oo3162212001142oo3161211001142oo3o6o21o001o42oo3o6o21o001o42oo3o6o21o001o42oo3o6o21o001o42oo3O 03O -03O -03O 03O 032423425429425523815819816*917023216 2 1O 319315512 646764719O . oo Oo Oo OO . oO . oO . oO . oO . oO . oo .oO

9、. oo oO . oO . o0! = 60.402 = 60.4根據(jù)“熱電模擬”實驗獲得的各網(wǎng)格節(jié)點溫度（分歧點用紅色標(biāo)出）:333333333333333300000000000000000000000000000000O 03O -03OO 3oO 3oO 35522 * 6 2172100 2o9270232224216 2100 25511 8 121 224217219631100 132 226 2O . o195517O 2552O . o4793169 i942O . o76O31900 1542O . o4652 1500 1342o o2632 1300 1242O .

10、 o1622 1200 1142O .o1612 1100 1142O . oo612 1100 1o42O .oo6o2 1o00 1o42O . oo6o2 1o00 1o42o oo6o2 1o00 1o42O 03O -03O -03O 03O *031422423425429422 8 13815819816912 2 13216 2 1O 319311 62 6467647O . oO . oo Oo Oo O3211600482100122熱流量:0! = 60.3502 = 60.35溫度分布圖像: -OU25 20、r15110、 501610x對流邊界條件：運算結(jié)果：計算獲

11、得的各節(jié)點溫度:22222222999998889753198722222222998876667150495222222222987654435566681622222222888888886655555522222222655555550877666622222222332222223098777778200 8 2900 21923922 6 256296 2472O 826321428426*526 * 6 290251252 200322529716 8 199 i91283264125176 19915222516 * 80 234147140214 i2

12、712 0 2o4 iO 71O 02o4 i96199193196100919319*61009193100 6 100*919318 6 1009101 = 28.302 = 28.3根據(jù)“熱電模擬”實驗獲得的各網(wǎng)格節(jié)點溫度（分 歧點用紅色標(biāo)出）：222222229999998897532087222222229988776671605063222222229876544356667816222222229865321030628559222221112222222288888888665555552222222265555555098766662222222233222222319888772221111100099999420998881111111126 8 200 e 8 200 8 2982192O 622 e 6 26 6 29*624723326321420042652502