三角形三線專題綜述

1、筆北及演草第四課旳：三第形三線專題ns：知識點月青訂1.三角形的三線：（1） 在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的 ，叫做這個三角形的中線，三角形的三條中線 交于一點，這點稱為三角形的.（2）在三角形中，一個內(nèi)角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的叫做三角形的角平分線，三角形的三條角平分線交于一點，這點稱為三角形的（3）從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的 叫做三角形的高線（簡稱三角形的高），三角形的三條高交于一點，這點稱為三角形的;銳角三角形的三條高線及垂心都在其 ，直角三 角形的垂心是,鈍角三角形的垂心和兩條高線在其至題講解一 選擇題（共9小題）1.

2、如圖，在 ABC中，BC邊上的高是、在 BCE中，BE邊上的 高、在 ACD中，AC邊上的高分別是（）A . AF、B .AF、C.AC、D. AF、CD、CE、CE、CD、CECDCDCEA .二角形三條冋所在的直線父于點B.有且只有一條直線與已知直線平行C .垂直于冋一條直線的兩條直線互相 垂直D .從直線外一點到這條直線的垂線段， 叫做這點到這條直線的距離2.下列說法中正確的是（）A4.如果一個三角形兩邊上的高的交點在三角形的內(nèi)部，那么這個 三角形是（）A .銳角B .直角C .鈍角D.任意三角三角三角三角形形形形5.不一定在三角形內(nèi)部的線段是（）A .三角形的角平分 線B .三角形的中

3、線C.三角形的高D .以上皆不對6. 已知 AD是厶ABC的中線，且 ABD比厶ACD的周長大3cm,則AB與AC的差為（）A . 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm7. 下列說法中正確的是（）A .三角形的角平分線、中線、高均在三角形內(nèi)部B .三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60C.直角三角形僅有一條高D .三角形的外角大于任何一個內(nèi)角&三角形的中線、角平分線、高都是線段； 三條高必交于- 點；三條角平分線必交于 一點；三條高必在三角形內(nèi).其 中正確的是（ ）A.B.C.D.9. （2015春？無錫校級月考）下列說法正確的是（） 三角形的角平分線是射線； 三角形的三條角平分線都在三

4、角形內(nèi)部，且交于同一點； 三角形的三條高都在三角形內(nèi)部； 三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分.A.B.C.D.填空題（共2小題）10. 如圖，在 ABC中，BE是邊AC上的中線，已知 AB=4cm ,AC=3cm , BE=5cm，則 ABC 的周長是cm.第9頁共22頁11. 如圖，在 ABC中，BD平分/ ABC , BE是AC邊上的中線,如果 AC=10cm，貝U AE=cm,如果/ ABD=30 貝U三.解答題（共10小題）12 .已知：/ MON=40 OE平分/ MON，點A、B、C分別是射 線OM、OE、ON上的動點（A、B、C不與點 O重合），連接AC 交射線OE于

5、點D .設(shè)/ OAC=x OCU1nJ（1）如圖 1，若 AB / ON，貝y / ABO的度數(shù)是; 當(dāng) / BAD= / ABD 時，x=;當(dāng)/ BAD= / BDA 時,x=.（2）如圖2,若AB丄OM，則是否存在這樣的 x的值，使得 ADB中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由.13. 如圖，在 ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高,BE=2 , AF=3，填空：(1) BE=2(2)Z BAD=(3)Z AFB=(4)Sa aec=中的結(jié)論還正確嗎？為什么?14. 如圖(1)， ABC中，AD是角平分線，AE丄BC于點E.(1) .若/ C=80 / B=5

6、0 求/ DAE 的度數(shù).(2) .若/ C/B,試說明/ DAE=_1 (/ C-Z B).2(3) .如圖(2)若將點A在AD上移動到 A處，A E丄BC于點E.此 時Z DAE 變成Z DA E, (2)15. 如圖，AD是厶ABC的BC邊上的高，AE是/ BAC的角平分 線，(1) 若/ B=47 / C=73 求/ DAE 的度數(shù).(2) 若/ B= a； / C=3 ( a2X3=3 .2 2故答案為：3.點評：本題考查的是三角形的中線、角平分線和高，熟知三角形的中線、角平分線和高的性質(zhì)是解答此題的關(guān) 鍵.14. ( 2012春？桑日縣校級期中)如圖(1) , ABC中，AD是角平

7、分線，AE丄BC于點E.(1) .若/ C=80 / B=50 求/ DAE 的度數(shù).(2) .若/ C/ B,試說明/ DAE=2 (/ C-/ B).2第#頁共22頁(3) .如圖(2)若將點A在AD上移動到A處，AE丄BC于點E.此時/ DAE變成/ DA E, (2)中的結(jié)論還正確嗎？為什么?第19頁共22頁考點：三角形的角平分線、中線和高；角平分線的定義；垂線；三角形內(nèi)角和定理.專題：動點型.分析：(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得的度數(shù)，在 ADC中，利用三角形內(nèi)角和求出/ ADC的度數(shù)，從而可得/ DAE的度數(shù).(2) 結(jié)合第(1)小題的計算

8、過程進行證明即可.(3) 利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和先用/B和/ C表示出/ ADE,再根據(jù)三角形的 內(nèi)角和定理可證明/ DA 丄(/ C-Z B).| 2解答： 解：(1)在厶ABC 中，Z BAC=180。-Z B -Z C=180- 50-8050/ AD是角平分線，Z DAC=丄Z BAC=25 2在厶ADC 中，Z ADC=180。-Z C-Z DAC=75 在厶ADE 中，Z DAE=180。-Z ADC - AED=15 (2) Z DAE=180 -Z ADC - AED=180。-Z ADC - 90=90-Z ADC=90 -( 180-Z C-Z DAC

9、) =90-(180-Z C - Z BAC ) =90。-180 -Z C -(180-Z B -Z C) = (Z C-Z B).2 2 2(3) (2)中的結(jié)論仍正確.Z ADE= Z B+ Z BAD= Z B+丄Z BAC= Z B+丄(180。-Z B -Z C) =90丄Z B -1z C;22 2 2在厶 DA E 中，Z DA E=180。-Z A ED -Z A DE=180。-90-( 90丄 Z B-丄Z C) =2 (Z C-Z B).2 2 2點評：本題考查了三角形的角平分線和高，三角形的內(nèi)角和定理，垂線等知識，注意綜合運用三角形的有關(guān)概 念是解題關(guān)鍵.15. (

10、2012春？都江堰市校級期中)如圖， AD是厶ABC的BC邊上的高，AE是Z BAC的角平分線, (1)若 Z B=47 Z C=73 求 Z DAE 的度數(shù).a、B的代數(shù)式表示)考點：三角形的角平分線、中線和高；三角形內(nèi)角和定理.分析：(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出ZBAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出ZBAE的度數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/BAD的度數(shù)，然后根據(jù)/ DAE= / BAD -/ BAE計算即可得解;(2)根據(jù)(1)的思路，把度數(shù)換為 a 3,整理即可得解.解答： 解：(I)： / B=47 / C=73 / BAC=180 - 47 - 73=60 TAD是厶ABC

11、的BC邊上的高，/ BAD=90 - 4743 / AE是/ BAC的角平分線，/ BAE=1 / BAC=30 ,2/ DAE= / BAD -/ BAE=43 - 30=13(2) B= a； / C= 3； / BAC=180 - a 3/ AD是厶ABC的BC邊上的高，/ BAD=90。- a ；AE是/ BAC的角平分線，/ BAE=_!/ BAC=2 (180 - a - 3 ),2 2DAE= / BAD -/ BAE=90。- a -丄(180- a 3),2=90。- a - 90+4 a +2 3 :2 2=二(3 - a) 點評：本題考查了三角形的角平分線，三角形的高線，

12、以及三角形的內(nèi)角和定理，仔細分析圖形，觀察出/ DAE= / BAD -/ BAE，然后分別表示出/ BAD與/ BAE是解題的關(guān)鍵.16. 如圖， ABC的周長為9, AD為中線， ABD的周長為8, ACD的周長為7,求AD的長.考點：三角形的角平分線、中線和高.分析： 先根據(jù)三角形的中線的定義求出BC=2BD=2CD，再根據(jù)三角形周長的定義得出AB+BC+AC=9 ,AB+BD+AD=8 , AC+CD+AD=7，進而求出即可.解答： 解：AD是厶ABC的中線， BC=2BD=2CD ,/ ABC的周長為9, AD為中線， ABD的周長為8, ACD的周長為7, AB+BC+AC=9 ,

13、 AB+BD+AD=8 , AC+CD+AD=7 , ( AB+BD+AD ) + (AC+CD+AD )-( AB+BC+AC ) =8+7 - 9, 2AD=6, AD=3 .點評：本題考查了三角形的中線，三角形的周長，關(guān)鍵是求出2AD= (AB+BD+AD ) + (AC+CD+AD )-(AB+BC+AC ) =6 .第21頁共22頁17. 已知：如圖， ABC中，AD、AE分別是 ABC的高和角平分線， BF是/ ABC的平分線，BF與AE交于 0,若/ ABC=40 / C=60 求/ DAE、/ BOE 的度數(shù).第27頁共22頁考點：三角形的角平分線、中線和高.分析：先根據(jù)三角形

14、的內(nèi)角和定理得到/BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)可求出/DAC= Z BAC，而2Z EAC=90 -Z C,然后利用Z DAE= Z DAC -Z EAC進行計算即可.由三角形外角的性質(zhì)求得Z AFO=80 ，利用三角形內(nèi)角和定理得到ZAOF=50 ，所以對頂角相等：Z B0E= Z AOF=50 .解答： 解：在 ABC 中，/ ABC=40 Z C=60 Z BAC=180 -Z B -Z C=80 AE是的角平分線， Z EAC=1 Z BAC=40 2/ AD是厶ABC的高， Z ADC=90 在厶ADC 中，Z DAC=180 -Z ADC -Z C=180。-90 - 603

15、0 Z DAE= Z EAC -Z DAC=40。- 30 10 / BF是Z ABC的平分線，Z ABC=40 Z FBC=2 Z ABC=20 2又/ C=60 Z AFO=80 Z AOF=180。- 80 - 5050 Z BOE= Z AOF=50 點評：考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180也考查了三角形的高線與角平分線的性質(zhì).3） , AF是厶ABC的中線，完18. 如圖（1）, AD是厶ABC的高，如圖（2） , AE是厶ABC的角平分線，如圖（ 成下列填空：（1）如圖（1）, Z ADB = Z ADC =90 Ssbc=_BOAD如圖（2），Z BAE= ZA=

16、ZA ；（3）如圖（3）,BF=;Sabf=S AFC 考點： 分析：三角形的角平分線、中線和高；三角形的面積；三角形內(nèi)角和定理.(1) 根據(jù)三角形的高的概念即可完成填空；(2) 根據(jù)三角形的角平分線的概念即可完成填空；(3) 根據(jù)三角形的中線的概念即可完成填空.解答:解：（1）如圖（1）, Z ADB= Z ADC=90 S Abc=2 AD ;2（2）如圖（2），Z BAE= / EAC=丄/ BAC ;2（3）如圖（3）, BF=FC=丄BC; Sabf=Saafc2故答案為：ADB ; ADC ;-;EAC ; BAC ; FC; BC; jafc點評:此題考查三角形的角平分線、中線、

17、高問題，能夠根據(jù)三角形的中線、角平分線和高的概念得到線段、 角之間的關(guān)系.19.如圖，完成下面幾何語言的表達. / AD是厶ABC的高（已知）;:.AD 丄 BC ,Z ADB = Z ADC = / AE是厶ABC的中線（已知），BE = CE =一 BC ,2BC =2 BE =2 CE ; / AF是厶ABC的角平分線（已知），90Z BAF = Z CAF = Z BAC ,2Z BAC =2 Z BAF =2 Z CAF .考點： 分析：解答:三角形的角平分線、中線和高. 根據(jù)三角形的定義和垂直的定義解答；根據(jù)三角形的中線的定義和線段的中點的定義解答;據(jù)三角形的角平分線和角平分線的定

18、義解答.解：/ AD是厶ABC的高(已知);:.AD 丄 BC , Z ADB= Z ADC=90 / AE是厶ABC的中線(已知)， BE=CE= BC, BC=2BE=2CE ;2/ AF是厶ABC的角平分線（已知），/ BAF= / CAF=_ / BAC ,2/ BA=2 / BAF=2 / CAF .故答案為：ADB，/ ADC , 90, BE, CE, BC , BC, BE , CE, BAF , CAF , BAC , BCA , BAF , CAF .點評：本題考查了三角形的角平分線，中線，高，熟記各定義是解題的關(guān)鍵.20. 在 ABC中，D為BC的中點，E為AC上任一點，

19、BE交AD于O,某學(xué)生在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)了如 下事實： 當(dāng)*=時，按照上述的結(jié)論，請你猜想用n表示AO/AD的一般性結(jié)論(n為正整數(shù))；AC n+1 若嚴=_,且AD=18，求AO .考點： 專題： 分析：三角形的角平分線、中線和高. 規(guī)律型.AE 1過D作DF / BE,即求AE : AD，因為當(dāng) =時，可以根據(jù)平行線分線段成比例，及線段相互間AC n+1的關(guān)系即可得出.Af| AH 9利用 中方法得出AE : (AE+2EF ) =1 : 8,進而得出AE : EF=2 : 7,以及一=得出答案即可.AD AF 9解答:解：過D作DF / BE, AO : AD=AE : AF ./

20、D為BC邊的中點， CF=EF=0.5EC .AE 1AC n+r AE: (AE+2EF ) =1 : (1+n). AE : EF=2 : n. AE : AF=2 : (n+2). 1= ； ;AD 2+n過D作DF / BE, AO : AD=AE : AF ./ D為BC邊的中點， CF=EF=0.5EC . ；丨=.疋飛， AE : (AE+2EF ) =1 : 8, AE : EF=2 : 7,_ 匸:. ,AD AF 9/ AD=18 , - AO=4 .第31頁共22頁點評：此題主要考查了平行線分線段成比例定理性質(zhì)，根據(jù)已知熟練將比例是變形得出是解題關(guān)鍵.21. ( 2015

21、春？遷安市期末)已知 ABC的面積是60,請完成下列問題:(1) 如圖1，若AD是厶ABC的BC邊上的中線，則 ABD的面積 = ACD的面積(填“”或=”)(2) 如圖2，若CD、BE分別是 ABC的AB、AC邊上的中線，求四邊形 ADOE的面積可以用如下方法：連接AO,由AD=DB 得：ado=Sabdo，同理：Sceo=S aeo，設(shè) S ADO=X, S CEO=y, 則 SBDO=X, SAEO=ySaabe=abc=30, Saadc=abc=30，可列方程組為：解這個方程組可得四邊形ADOE的面積為一 20 .(3)如圖 3, AD : DB=1 : 3, CE : AE=1 :由題意得:(2x+y=30 解得 J1計2尸3，解得2,請你計算四邊形 ADOE的面積，并說明理由.B D