專題7.22：解析幾何中面積問題的研究與拓展

1、專題7.22:解析幾何中面積問題的研究與拓展【探究拓展】2 21(a b 0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線交線段探究1：如圖，設(shè)A,B分別為橢圓E:篤爲(wèi)a bAB于點(diǎn)M(異于點(diǎn)A，B)，交橢圓于C，D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在第一象限內(nèi))ABC和ABD的面積分1y -x，求橢圓的離心率;3(2)設(shè)C(x:0 y。),D( Xo,yo),(Xoo,yoo)S1bxoay。abbxoayoabS2bxoayoabbxoayoab42ab1bxayoab令tbxoayo1: 三角換元:t、 2 sin(o,),42別為S1與S2.(1) 若M是線段AB的中點(diǎn)，直線OM的方程為(2) 當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

2、求的最大值.S22解: (1) e 、2 ；3S當(dāng)且僅當(dāng)t2時(shí)(此時(shí)時(shí)等號(hào)成立)，21可取得最大值32 24S22:基本不等式的應(yīng)用：2 2 2 2 1 2(bxo)(ayo)a bt ,同理可得結(jié)果2橢圓的外切矩形的對(duì)角線和橢圓的交點(diǎn)處的切線必和另一條對(duì)角線平行;且在該交點(diǎn)處，此時(shí) S1, S2, 1都是最大的S22x探究2:如圖，橢圓C1 :飛ab21(ab 0)的離心率為石，x軸被曲線C2 : y2x b截得的線段長(zhǎng)等于C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)(1)求C1, C2的方程;(2)設(shè)C2與y軸的焦點(diǎn)為M ,過坐標(biāo)原點(diǎn) 0的直線I與C2相交于點(diǎn)A,B,直線MA,MB 分別與Ci相交與D,E .(I)證明

3、：MD丄ME;(II )記厶MAB, MDE的面積分別是 S,S2 .問：是否存在直線l,使得 S 32 ?請(qǐng)說明理由cJ3解: (1)由題意知e c ,從而a 2b,又2.、b a,解得a 2,b1.a 2x222故Cl, C2的方程分別為y 1,y x 1.4(2) (i)由題意知，直線I的斜率存在，設(shè)為 k,則直線l的方程為y kx.由 y ：得 x2 kx 10.y x 1設(shè)A(x1,y1), B(X2y2),則X1X2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1x2k, x1x21.又點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0, 1),所以kMA kMB心X12y21(kX11)(kX2 1) k X1X2k(N x?)

4、1X2X1X2X1X2(ii)k2 k21設(shè)直線MA01或同理可得點(diǎn)由y2Xn X解得y1.故 MA丄MB，即 MD丄ME.的斜率為ki，則直線MA的方程為yk1X 1,由yk1X2X1,解得1k,k12 1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（k-k； 1）.又直線MB的斜率為B的坐標(biāo)為1JMA|k1X 1,4y241k1|MB|得(104k12)x2治|k1|丄|8k1X 0.2|k1|X0,或1y8k11 4k；,4 k； 11 4k12，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4k121)-2 ).8k11 4k12 1 4k；又直線ME的斜率為同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（一48k1 4 k；2 2 k-i4k-i于是 S21|MD|

5、2|me|32(1k12) | k1 |（1k12)(k124).因此f62417).1 2由題意知，（4匕64k217)17237解得k1又由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可知,k1k1右所以k故滿足條件的直線I存在,且有兩條,k1其方程分別為y3X.22X探究3:如圖，已知橢圓 一1的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于 A, B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G , AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點(diǎn).(2)不存在，計(jì)算可得 k2探究4:如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓2y21(a b 0)的離心率b2A的半徑為a，過點(diǎn)Ai作圓A的切e -，A,A分別是橢圓E的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，圓線，切點(diǎn)為P，在x軸的

6、上方交橢圓E于點(diǎn)Q PQ(1)求直線OP的方程；(2)求旦的值;設(shè)過克口作兩條互斗睡宜的直熱分別會(huì)捕詡應(yīng)于點(diǎn)庁.6令別交園州于 點(diǎn)酬，可，記包。啟7鬥Am則弓五和分別詵2，* 求勺心田最走伯.M解：(1)連結(jié)AP，則A2PAP，且 A2P a，又 AA2 2a，所以 AAP 60.所以 POA260，所以直線OP的方程為3 x.由知，直線 a2p的方程為a)，A.P的方程為y 3(x a)，解得xp3因?yàn)閑弓，即C -，所以Cx 4y，故橢圓E的方程為飛+務(wù)1.a ay由2xa73(E(x+空2aa),解得XQ所以tQQAiaa-(-)27a /-(a)不妨設(shè)OM的方程為y kx (k 0),

7、2akTk2 (1 4k2)(4 k2)12 14(k22) 17k當(dāng)且僅當(dāng)k 1時(shí)等號(hào)成立，所以 S, S2的最大值為探究5 :在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓C:2 y b21(a b 0)過點(diǎn)A( 1,1)，離心率為込.3(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)(不同于A，B)，直線AP, BP分別與直線X否存在點(diǎn)P使得PAB和PMN的面積相等？若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.3交于點(diǎn)AB得NM , N，問：是M x12a2a1b21,解得4,b223 2橢圓c的方程為y44(2)如圖，B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P (xo

8、,yo),則直線AP的方程為y1 汁 1)，19題乃解趕療在點(diǎn).F便得KFA5 2社F冊(cè) 財(cái)面釈相蘇 役點(diǎn)P的坐標(biāo)為5f!R|J 扌 |曲| |丹卜i n /-APB = | 尸MR 円7| si n 3FM 咼-斟 砂舄-礙JTn： - 1 r解潯聞=，從而片=省壬4sin ZAPS - sin.所出取存在點(diǎn)尸慮需乙刊百和加啦時(shí)的面和相善，點(diǎn)尸生標(biāo)為亍士七一)卩探究6:已知點(diǎn)M是圓C: (x 1)2 y28上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn) D ( 1, 0),點(diǎn)P在直線DM上，點(diǎn)N在直線UUJUCM上，且滿足DMuuu2DP，LUT UJIUNP DM =0，動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線E。(1)求曲線E的方程;(2)

9、若AB是曲線E的長(zhǎng)為2的動(dòng)弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求 AOB面積S的最大值。探究7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)T (t,0)( t為已知常數(shù))作一條直線與橢圓2 X2a2與 1(a b 0)b2相交于A， B兩個(gè)不同點(diǎn), 求 AOB面積S的最大值.2探究8.已知橢圓G:務(wù)與1(a ba bB ( 8，3)，C，D在橢圓G上，直線線段AB的右下側(cè).求:(1)橢圓G的方程;(2)四邊形ABCD的面積的最大值.且在探究9 :如圖，已知橢圓G與C2的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸均為MN且在x軸上，短軸長(zhǎng)分別為2m ,2n m n ,過原點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與。!，C2的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為 A

10、,B,C,D.記m , BDM和 ABN的面積分別為S1和S2.n(1)當(dāng)直線I與y軸重合時(shí) 若S,$，求 的值;(2)當(dāng) 變化時(shí),是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l ,使得S1S2?并說明理由解得：,2 1(舍去小于1的根)解：(|盧S2m n m n2 2(ll)設(shè)橢圓 C1 ： -2-21 aam2xm ,C2 ： 2a221，直線 l : kynky x22x y22a m22 2a m k 2 2ry 1 a mamm2k2同理可得，又Q BDM 和 ABN的的高相等S BD yB yD yB yAS2AByAyBYa yB如果存在非零實(shí)數(shù)k使得S2,則有1 Ya1yB，2即：丁a2n2

11、k2a22 2，解得k2n k4n2當(dāng)1二 時(shí),k20,存在這樣的直線丨；當(dāng)11& 時(shí),k20,不存在這樣的直線l .2 2探究10：平面直角坐標(biāo)系xOy中,過橢圓M :篤爲(wèi) 1(a b 0)的右焦點(diǎn)F作直a bx y 3 0交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn)，且 OP的斜率為1 .2(1)求M的方程；(2) C,D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ABCD的對(duì)角線CD AB,求四邊形ABCD面積的最大值turti可禪出由IF2F4I1oO為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的中點(diǎn).當(dāng)直線當(dāng)淮空0討.S取據(jù)耳皿最大值丸所収四邊形ACBD面積創(chuàng)量人位血址F4，離心率為e2 已知色設(shè)忒斗禹） Rg小H斗并*則i+2.n 4,4-1

12、.也探究11: （2014湖南）如圖（2 ）過F1作G的不垂直于y軸的弦AB， M為AB只由薦厳知M的右値點(diǎn)丸4厲卩）故孑于,且祈臥 CP = V2x,曲已知.四辿甩胃3的血観（1 ）求C1,C2的方程2 x 離心率為0 ；雙曲線C2 : 2 a科at砒舉為蘭丄2G 二a2y21的左、右焦點(diǎn)分別為b2Jf i* 2屮 藝 得 3zt *4 +Zf?-e 7* m =l2b 1（a b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2OM與C2交于P,Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形 APBQ面積的最小值.【解析】(1)因?yàn)樾?3，所以旦一ba b 3，即a4 b42aa23 a4，因此 a22b2，從而 F2(b,0)，4

13、2F4( 3b,0)，于時(shí).3b b IF2F4I3 1，所以b 1，a22 故GC的方程分別為 2(2)因AB不垂直于y軸，且過點(diǎn)R( 1,0)，故可設(shè)直線 AB的方程為xmy 1x my 122由 x22 得，(m 2)y 2my 1 0y 12易知此方程的判別式大于 0,設(shè)A(X1,yJ, B(X2,y2),則y1,y2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以2m% y2 二-m 2因此x-i x2 m(y1 y2) 2 -,于是AB的中點(diǎn)為m 21y“2 m 2M,弓)，故直線PQ的斜率為 -,PQm 2 m 22的方程為ymx，即 mx22y 0 myx由22得，(2m2)x24,所以 2x2y12|PQ| 2 . xLy2.2m20 , 且 x2 , y2m 2， 從而2 m2 m設(shè)點(diǎn)A到直線PQ的距離為d，則點(diǎn)B到直線PQ的距離也為PQ，所以2d|mx,2%| 皿 2y? |因?yàn)辄c(diǎn)A,B在直線mx 2y 0的異側(cè)，所以(mx, 2yi)(mx2 2y2)0，于是| mx1