彈塑性力學(xué)作業(yè)含答案

1、題1-3圖代入彈性力學(xué)的有關(guān)公式得:(J +CJ CJrXy 丄/ X(3022二 y)cos2：xysi n2： ij第二章 應(yīng)力理論和應(yīng)變理論2 3 .試求圖示單元體斜截面上的b 30和T 30 （應(yīng)力單位為 MPa ）并說明使用材料力學(xué)求斜截面應(yīng)力為公式應(yīng)用于彈性力學(xué)的應(yīng)力計算時，其符號及正負(fù)值應(yīng)作何修正。解：在右圖示單元體上建立xoy坐標(biāo)，則知b x = -10 b y = -4 T xy = -2（以上應(yīng)力符號均按材力的規(guī)定）代入材力有關(guān)公式得：廠 ；y 二 x -；y二30=COS2： - xy Sin2：-10-4-10 41cos60 2si n 607-322 2 26.76

2、8L -6.77 (MPa)_；y-10 4.30 =-sin2 二 1 xy cos2si n602cos60-3 -2 1 =3.598L -3.60 (MPa)2 2己矢口 b x = -10(T y = -4T xy = +2-10-4 -10 41.3cos60 2sin60, -7 - 3 2 2 2 226.768L -6.77 (MPa)x _Dy_10 + 4ti30sin2： xy cos2sin60 2cos6030 2 2=3 遼 2 - =3.593.60 (MPa)2 2由以上計算知，材力與彈力在計算某一斜截面上的應(yīng)力時，所使用的公式是不同的，所得 結(jié)果剪應(yīng)力的正負(fù)

3、值不同，但都反映了同一客觀實(shí)事。2 6.懸掛的等直桿在自重 W作用下（如圖所示）。材料比重為丫彈性模量為 E,橫 截面面積為A。試求離固定端 z處一點(diǎn)C的應(yīng)變 z與桿的總伸長量 l。解：據(jù)題意選點(diǎn)如圖所示坐標(biāo)系xoz,在距下端（原點(diǎn)）為z處的c點(diǎn)取一截面考慮下半段桿的平衡得：c截面的內(nèi)力：Nz=y A z ;N 丫 A z .c截面上的應(yīng)力：；zzz ；A A所以離下端為z處的任意一點(diǎn)c的線應(yīng)變& z為：則距下端（原點(diǎn)）為 z的一段桿件在自重作用下，其伸長量為:z2yy|_lz = d . = ：z ；z d ：z_E=dE -Z zd顯然該桿件的總的伸長量為（也即下端面的位移）|_1 二12

4、UhW! ；( W= Y Al)2EA 2EA題1 6圖2- 9.己知物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力張量為:_500300-800+3000-3008003001100 一- -CT ij =應(yīng)力單位為kg/ cm2。1 1試確定外法線為 山,V3V311（也即三個方向余弦都相等）的微分斜截面上的總應(yīng)力R、正應(yīng)力d n及剪應(yīng)力T n解：首先求出該斜截面上全應(yīng)力n在x、y、z三個方向的三個分量:n / =nx=ny=nz3Py=(bx+by)n/ = 3+0+(_3)02 乂吉=0Px=匚 x xy xz n / =|5 3一81021Pz= （+yz +bz ）nZ = （ -8 ） + （ 3 ）+1lT

5、x 12 H 缶=0所以知，該斜截面上的全應(yīng)力pn及正應(yīng)力（T n、剪應(yīng)力T n均為零，也即:（T n215.如圖所示三角形截面水壩材料的比重為丫，水的比重為t x=ax+by , t y=cx+dy- 丫 y ,t xy=-dx-ay ;試根據(jù)直邊及斜邊上的邊界條件，確定常數(shù) 解：首先列出 OA、OB兩邊的應(yīng)力邊界條件：OA 邊：li=-1 ;12=0;Tx=yiy；Ty=0則 t x=- y iy；xy=0代入：t x=ax+by ; t xy=-dx-ay并注意 此時：x=0得：b=- 丫 i； a=0;OB 邊：li=cos3 ; b=-sin 3 , Tx=T y=0；xcos ：

6、xysin ： =0yxCOS” ySin - - 0a、b、c、 do己求得應(yīng)力解為:則：丿yx將己知條件： t x= - 丫 iy ; t xy=-dx ;t y=cx+dy- 丫 y 代入（a）式得：匸 Jy cos ： dxsin ： =0 IHIHIHHHHIIHHHHH b -dxcos . -cx dy - y sin 01川川川川川川川川I c化簡（b）式得：d = 丫 1ctg2 3 ;化簡（c）式得：c = y ctg 3 -2 丫 i ctg3 312 6 0217.己知一點(diǎn)處的應(yīng)力張量為6 10 0 03Pa0 0 0 一試求該點(diǎn)的最大主應(yīng)力及其主方向。解：由題意知該點(diǎn)

7、處于平面應(yīng)力狀態(tài)，且知: 且該點(diǎn)的主應(yīng)力可由下式求得：33T x=12 X 10T y=10 X 10T xy=6 X 10 ,Cy1.212+10 亠I 2呼卜62卜。3=11 _ 371 03 = 11 6.08281 03317.083 103（Pa）4.91724 10則顯然： J =17.083 103Pa-4.917 103Pa二3 =0T 1與x軸正向的夾角為：（按材力公式計算）2 xytg2T二一二， 12-102sin 2cos2 二顯然2 0為第I象限角： 則：0 =+40.2688 U 402 0 =arctg ( +6)16 /或(-139=+80.5376 44，)2

8、佃.己知應(yīng)力分量為： b 3并求出b 2的主方向。 解：由2 11題計算結(jié)果知該題的三個主應(yīng)力分別為:b x= b y= b z= T xy=0 , T zy=a ,T zx=b,試計算出主應(yīng)力(T 1、 b 2、二r = . a2 b2 ； c2=0 ； c3 = 一、a2b2 ；設(shè)b 2與三個坐標(biāo)軸 x、y、z的方向余弦為：121、122、I 即可求出b 2的主方向來。212223,于是將方向余弦和 b2值代入下式1x i- 2 22 yx l2 - l23 xz1 yx 1 22 y -21 23 y l23 zyl21 zx l22 zy l23 z _2 12V yx =0|川川|

9、171川川2l22 zy =0|川)| 3以及：氐 A i23 -won 4由（1） （2）得：123=0由（3）得:l21l22l22l21將以上結(jié)果代入（4）式分別得：|21二11*a ；. a2 b2-,b 同理l21_b_a2 b2.a2 b2.a_b2于是主應(yīng)力b 2的一組方向余弦為:(-a.a2b2b 3的一組方向余弦為（2a2b2土2 a2 b22 20.證明下列等式:1 2(4) ： J2=I 2+ h ;3(3):mk ；1 212證明（1）:等式的右端為：12 + I 1 =-（卩0十匹0）+ （耳+ c2均為常數(shù)，試證各點(diǎn)的應(yīng)變分量為常數(shù)。證明：將己知位移分量函數(shù)式分別代

10、入幾何方程得：yzL、-Ua1x.:vwb2；z5;_y: zx- =b1a2；cyex:vw=r :z：yzx斗3 q；cyex2 29:設(shè)己知下列位移，試求指定點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。2_2|u=（3x +20F10在（0, 2）點(diǎn)處;（1）： v = 4yx 10 經(jīng)-廣222(2)： 0, E 0, G 0。1 2 11 2因：u =ur *ud = 丨1 * J? =ke *Gejej18k 2G2我們知道體積變形 e與形狀變化部分，這兩部分可看成是相互獨(dú)立的，因此由u。的正定性可推知：k0, G0。9kG3k +G我們將（1）式變化為：而又知:所以：E 0。_22 2GV 2G 1 - 2V

11、 6GV 2G 1 V2 1 V EEk 1 331 -2V31-2V31-2V 31-2V21V31- 2V（2）31 -2V由（2）式及 k 0, G0 , E0 知：1+V0, 1-2V 0。解得：-1 V 0, 1 + v0.得：v-1。由于到目前為止還沒有 v0o3-16 給定單向拉伸曲線如圖所示，s s、E、E 均為已知，當(dāng)知道 B點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)閟時，試求該點(diǎn)的塑性應(yīng)變。解：由該材料的T S曲線圖可知，該種材料為線性強(qiáng)化彈塑性材料。由于B點(diǎn)的應(yīng)變已進(jìn)入彈塑性階段，故該點(diǎn)的應(yīng)變應(yīng)為：S B= s = S e+s p故:S p= s - S e一 1 1e E ； - ；eE ；s E ；

12、一 ；sE E s E丿吋-;s3-19.已知藻壁圓筒承受拉應(yīng)力J-及扭矩的作用，若使用 Mises條件，試求屈服時扭2轉(zhuǎn)應(yīng)力應(yīng)為多大？并求出此時塑性應(yīng)變增量的比值。解：由于是藻壁圓筒，所可認(rèn)圓筒上各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是均勻分布的。據(jù)題意圓筒內(nèi)任意一 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為：（采用柱坐標(biāo)表示）. sd 0，二 r 二 0，二 Z 二2 ； r J - 0 , -乎P及扭矩M （遂漸增大,于是據(jù)miess屈服條件知，當(dāng)該藻壁圓筒在軸向拉力（固定不變） 直到材料產(chǎn)生屈服）的作用下，產(chǎn)生屈服時，有：解出T得:I-2二 s 運(yùn) 1打zT就是當(dāng)圓筒屈服時其橫截面上的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力。任意一點(diǎn)的球應(yīng)力分量(T為:應(yīng)力偏量為:-

13、msr-s=-rz=0 ；Sz v 1 - zn =-由增量理論知:于是得：d 口 - dSd ； d 7- d Srd ； d一 d Szd ；663d ；.丁= d Sj =0 ； d ;rz = dsrz= 0 ；所以此時的塑性應(yīng)變增量的比值為:d : d ；rp: d-s:0:.6.63s2也即：d ；： : d ；rp: d ；zp:d ； : d rZ : d ： = ( -1)( -1): 2 : 0 : 0 : 6；3-20. 一藻壁圓筒平均半徑為r,壁厚為t,承受內(nèi)壓力p作用，且材料是不可壓縮的,討論下列三種情況：(1) :管的兩端是自由的；(2) :管的兩端是固定的；(3)

14、 :管的兩端是封閉的；分別用mises和Tresca兩種屈服條件討論 d r值。解：由于是藻壁圓筒，若采用柱坐標(biāo)時， 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：p多大時，管子開始屈服，如已知單向拉伸試驗(yàn)d r- 0,據(jù)題意首先分析三種情況下，圓筒內(nèi)任意(1) ：二 Jt(2) ,乜t=;1vpr=V :.乜t(3): ct顯然知，若采用 Tresca條件討論時，(1)、(2 )、(3 )三種情況所得結(jié)果相同，也即:匚1 -匚3_廠丁-2=;1-r；2tCT t解出得：p =;r若采用mises屈服條件討論時，則(2) (3)兩種情況所得結(jié)論一樣。于是得:(1)： 2；話pr-；1 -二2-二3，3 7-解出得：pJst

15、r(2)、(3):晉唇軌0pr 2t解出得：p二2為. 3r ；3-22.給出以下問題的最大剪應(yīng)力條件與畸變能條件：(1) :受內(nèi)壓作用的封閉藻壁圓管。設(shè)內(nèi)壓q,平均半徑為r,壁厚為t,材料為理想彈塑 性。(2) :受拉力p和旁矩作用的桿。桿為矩形截面，面積bx h,材料為理想彈塑性。解（1）:由于是藻壁圓管且 -1。所以可以認(rèn)為管壁上任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀態(tài)，即rqrb r=0,且應(yīng)力均勻分布。那么任意一點(diǎn)的三個主應(yīng)力為:I r 二 0 - ：3 ； I 1 z2 ；r3 ； z2t 2 ；若采用Tresca屈服條件，則有:1 ；二1 一二3故得:qr2qr若采用mises屈服條件，

16、則有:2tqr $2 ，2t2故得: 3qr2t ，或：s解（2）:該桿內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài),（受力如圖示）. + My =X F Jz且知，當(dāng)桿件產(chǎn)生屈服時，首先在桿件頂面各點(diǎn)屈服，故知P 6M得：；：Cx bh bh2 ；2=3=0若采用Tresca屈服條件，則有:max=-ss 2匚 1 一；3P 6M=I 十bh故得:6Mh或:s(2bh P若采用mises屈服條件，則有:22222 c P 6MI 亠2 -；3 i 亠3 -f =2； =22(bh bh 丿故得：匚廠丄Ps bh I6MJ P空、3bh . h般以d s為準(zhǔn)（拉伸討驗(yàn)）第五章平面問題直角坐標(biāo)解答5-2:

17、給出半=axy ；（ 1）:撿查是否可作為應(yīng)力函數(shù)。（2）:如以為應(yīng)力函數(shù)，求出應(yīng) 力分量的表達(dá)式。（3）：指出在圖示矩形板邊界上對應(yīng)著什么樣的邊界力。（坐標(biāo)如圖所示）解：將、二axy代入4=0式故知 =axy可作為應(yīng)力函數(shù)。求出相應(yīng)的應(yīng)力分量為：?2;:62 =0 ；- y 二-20 ；xy - a ；yxxy得：、2i2=o 滿足。上述應(yīng)力分量 二二二y =0 ； .xy二-a在圖示矩形板的邊界上對應(yīng)著如圖所示邊界面力，該 板處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。5-4：試分析下列應(yīng)力函數(shù)對一端固定的直桿可解出什么樣的平面問題。-3F4c3c22q y2 ；解：首先將函數(shù) 式代入、2=0式知，滿足。故該函數(shù)

18、可做為應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量為:Cx4cc2 yq = q _ xy ； 2cxy-x .:y3F4ccfcib2、12FIf 2、FIf 21 -占 Cl 3-y, ,-yIC丿2h34丿2Jz4丿顯然上述應(yīng)力分量在 ad邊界及be邊界上對應(yīng)的面力分量均為零，而在ad邊界上則切向面力分量呈對稱于原點(diǎn) o的拋物線型分布，指向都朝下，法向面力為均布分布的載荷q。顯然法向均布載荷 q在該面上可合成為一軸向拉力p且p=2cq；而切向面力分量在該面上則可合成為一切向集中力：2J；Fd八 J h- h26廠！hr/2 2 . I孑斗dy_2ydy2F fh3 h3 )+ +、8 8丿h36Fh24h36F

19、h3 | -2 4h h-+- I2 2F 3FF2 2-6F 3h2 6Fh2-2 4h3而cd邊界則為位移邊界條件要求,u=0, v=0, w=0以及轉(zhuǎn)角條件。，可解決在自由端（如圖示）由以上分析可知，該應(yīng)力函數(shù)對于一端固定的直桿（坐標(biāo)系如圖示） 受軸向拉伸（拉力為 p=2cq）和橫向集中力F作用下的彎曲問題。5-6 :已求得三角形壩體的應(yīng)力為:Ox = ax + by=cx +dyxy = yx 二 一 dx _ ay _ xa、b、c、d 的值。,：xz =xz =zy = .yz =；” z = 0其中丫為壩體的材料容重，丫 1為水的容重，試據(jù)邊界條件求出常數(shù)解：據(jù)圖示列出水壩 OA

20、邊界和OB邊界面上的應(yīng)力邊界條件:OB邊：故得:x=0 ,l=cos(180-二x =Tx 7y- xy =Ty =0)=-1,m=0 , Tx= y y , Ty=0aIHIIHIOIHHHI bOA邊:故有:x=ytg 3 , l=cos3 , m=cos (90 + 3 )=-sin 3 , Tx=Ty=0二xCOS ： - xySin :yxcos ；：YySin :-0x x=0二ax by =by 代入(a)將:xyX衛(wèi)二-ay 代入（b）式得：-ay = 0 得 a=0 ；=0x=0xx將二x、，xy 代入（c）式得：d = iCtg2： 一 ；將二y、. yx代入（d）式得：c

21、 = ctgE2 Qtg;5-7 :很長的直角六面體，在均勻壓力q的作用下，放置在絕對剛性和光滑和基礎(chǔ)上，不計體力。試確定其應(yīng)力分量和位移分量。解：由題意知，該問題為一平面應(yīng)變問題。由于不計體力所以平面應(yīng)力與平面應(yīng)變的變形 協(xié)調(diào)方程是一樣的，故可取一單位長度的直角六面體來研究其應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)求知應(yīng)力分量 函數(shù)后，再由平面應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系求得應(yīng)變分量，進(jìn)一步積分再利用有關(guān)位移邊界條件確 定積分常數(shù)后求得位移分量。這里我們采用逆解法，首先據(jù)題目設(shè)應(yīng)力函數(shù)即=ay2顯然式滿足雙調(diào)和方程式、4即=0。相應(yīng)應(yīng)力分量為： 匚x =2a，二y =0 ,xy =0顯然直角六面體左右兩面的應(yīng) 力邊界條件自動滿足。對

22、于項(xiàng)邊：y=h , l=1,m=0,Tx=-q , Ty=0 則可定出：aq ；2對于底邊：y=0 , l=-1,m=0,Tx=q , Ty=0 同樣定出：a = -q ；2因此滿足該問題所有應(yīng)力邊界條件的解為：yx應(yīng)這分量為:-11 -v2xy2 .v 1-.uqx f y A(1 +v )v積分得：*vqy x Bw = 0利用位移邊界條件確定積分常數(shù):v2 -1qx ；qy(1)當(dāng) x=0 , y=0 時，u=0 貝U: A=0(2)當(dāng) x=0 , y=0 時，v=0 貝B=0(3)當(dāng) x=0 時，u=0則:f (y)=0(4)當(dāng) y=0 時，v=0則：fi(x)=0因此知該問題的位移分

23、量為:5-10:設(shè)圖中的三角形懸臂梁只受重力作用。而梁的比重為p，試用純?nèi)问剑?二ax3 bx2y cxy2 dy3的應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量 ?解:顯然式滿足 2 = 0式，可做為應(yīng)力函數(shù)，相應(yīng)的應(yīng)力分量為：S =2cx +6by- ypy = 6ax 2by - py (a)exU = _= = 2bx 2cy =0 得 0=0.自動滿足2csin2：用得:“島L時., s;當(dāng)-毗。2 -cos。因 cos-匚 -cos：,則 0=0, 2csin -2- -2cs in 2 - -s 得c s ;故得:2 si n 2：sr22sin 2:cos2)-cos2：;s右 cos2cos2;s

24、.COS2)- COS2：; r-i -sin 2sin 2日(f )sin 2x由（e）式可知，該應(yīng)力函數(shù)在 r=0處并不適 用，所以（f）式也不反映o點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。如 果我們以a為半徑截取一部分物體為研究對象（見 右圖示），并假設(shè)在。點(diǎn)處存在集中力 Rx、Ry及 集中力偶M。,那么這部分物體在 甩、Ry M。、以TCT,xyRyMo及s、匚r和.y這一力系的作用下應(yīng)保持平衡狀態(tài)。但事實(shí)上，由于 s及二r力的作用線都通過 。點(diǎn)，”及二r、s的分布又都對稱為x軸, 所以當(dāng)考慮V Mo F =0,及 Fy =0兩平衡條件時，要求 M=Ry=0否則該物體將不 平衡。Ry - !rsin v rr

25、COsJrdv -0; Mo - 一 卜rsico F2 -0-aa-aa如果存在Rx，則由楔形尖項(xiàng)處承受集中載荷的應(yīng)力的討論知（8-25）式，在楔形體內(nèi)式中，并不存在隨r而變化的這部分應(yīng)力，所以要求Rx =0。因此知，在楔頂（就題就一定存在有隨r和二而變化的應(yīng)力分量。然而我們在上述討論中所得結(jié)果（f）中第與邊界力s平衡8-5圖所示問題）不存在集中力與集中力偶的作用。Rx =_ r cost - r)sin Fd r - -2sr cosCc（F =0）和大小等于 2的負(fù)的切向面力分量 F2 .（ 0以逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?。如aac果將內(nèi)圓環(huán)上的切向面力分量巳對中心點(diǎn)0取矩，則得：巳2二a 02

26、2- aM .故：aMC ；于是上式得：2 二M -r - 0 ；- -I Q.廠 _2a2兀r一一一 M 則當(dāng)r=a時，對于內(nèi)環(huán)邊界對應(yīng)著面力分量：F2 ； Fr =0 ；2兀a當(dāng)r=b時，對于外環(huán)邊界對應(yīng)著面力分量：F； Fr = 0 ；2兀b 如果：r=a （內(nèi)環(huán)），r=b.則為一無限大平板上挖有一半徑為a的圓孔。在孔壁上作用有切向面力分量：-M比； 如果：r=at0, r=bi8，則為一無限大平板，在。點(diǎn)作用有一集中力偶 M。第七章柱體的扭轉(zhuǎn)7-1 :試用半逆解法求圓截面柱體的扭轉(zhuǎn)問題的解。解：圓截面柱體，設(shè)其半徑為a,則圓截面的邊界的方程為：x2亠y2 =r2 =a2 a設(shè)柱端作用有扭矩 Mt。采用半逆解法。據(jù)材料力學(xué)的有關(guān)理論知，該問題的應(yīng)力解為