高中數(shù)學(xué)第三章第九課時(shí)二倍角的正弦、余弦、正切(三)教案蘇教版必修3

1、第九課時(shí)二倍角的正弦、余弦、正切( 三)教學(xué)目標(biāo)：靈活應(yīng)用和、差、倍角公式，掌握和差化積與積化和差的方法；培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系變化的觀點(diǎn)，提高學(xué)生的思維能力 .教學(xué)重點(diǎn)：和角化歸的二倍角公式的變形式的理解與應(yīng)用 .教學(xué)難點(diǎn)：二倍角公式的變形式的靈活應(yīng)用.教學(xué)過程：. 課題導(dǎo)入現(xiàn)在我們進(jìn)一步探討和角、差角、倍角公式的應(yīng)用.先看本章開始所提問題，在章頭圖中，令aob ，則 ab asin ，oa acos ，所以矩形 abcd的面積s asin 2acos a22sin cos a2sin2 a2當(dāng) sin2 1，即 2 90， 45時(shí)， a2sin2 a2 s不難看出，這時(shí)、兩點(diǎn)與點(diǎn)的距離都是2，矩形的

2、面積最大， 于是問題得到解決 .ado2 a. 講授新課例 1求證 sin21 cos 22分析：此等式中的 可作為2 的 2 倍 .cos2 1 2sin2證明：在倍角公式 中以 代替 2，以 2代替 ，即得cos 1 2sin 2sin 2 1 cos 222請(qǐng)同學(xué)們?cè)囎C以下兩式 :(1)cos21 cos (2)tan21 cos 222 1 cos 證明： (1)在倍角公式 cos2 2cos2 代替 ， 1 中以 代替 2 、以 2即得 cos 2cos 2 1，cos 2 1 cos222sin2(2) 由 tan22sin21 cos cos21 cos 2cos222222得

3、tan21 cos 2 1 cos 1這是我們剛才所推證的三式，不難看出這三式有兩個(gè)共同特點(diǎn)：(1) 用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即半角的三角函數(shù)；(2) 由左式的“二次式”轉(zhuǎn)化為右式的“一次式” ( 即用此式可達(dá)到“降次”的目的).這一組式子也可稱為半角公式，但不要求大家記憶，只要理解并掌握這種推證方法.另外，在這三式中，如果知道cos 的值和 2角的終邊所在象限，就可以將右邊開方，從而求得 sin 2 、cos2與 tan2 .下面，再來看一例子 .1例 2求證： sin cos 2 sin( ) sin( ) 分析：只要將 s、s( )公式相加，即可推證 .( )證明 ：由 sin(

4、) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin 得：sin( ) sin( ) 2sin cos 1即： sin cos 2 sin( ) sin( ) 請(qǐng)同學(xué)們?cè)囎C下面三式：1(1)cossin 2 sin( ) sin( ) 1(2)coscos 2 cos( ) cos( ) 1(3)sinsin 2 cos( ) cos( ) 證明： (1) 由 sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin 得： sin( ) sin( ) 2cos sin 1即： cos sin 2 sin( ) sin( ) (2)

5、由 cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin 得： cos( ) cos( ) 2cos cos 1即： cos cos 2 cos( ) cos( ) (3) 由 cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin 得 cos( ) cos( ) 2sin sin 1即： sin sin 2 cos( ) cos( ) 2不難看出，這一組式子也有一共同特點(diǎn)，即，左式均是乘積形式，右式均為和差形式，利用這一式可將乘積形式轉(zhuǎn)化為和差形式，也可稱為積化和差公式 .和差形式是否可以化為乘積的形式呢?看這一例子

6、.例 3求證 sin sin 2sin2cos分析： 可有代222 替，22證明：左式sin sin sin sin 2222 sin sin cos 2cos cossin22222 cos2sin2cos 2sin22右邊請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮C下面三式 .(1)sin sin 2cos sin2；2(2)cos cos 2cos cos2；2(3)cos cos sin 2sin.22 證明： (1) 令 2，222則左邊 sin sin sin sin 2222 sin cos cos cos 222sin2 sin22 sincos22sin 2cos22右邊(2) 左邊 cos cos cos

7、 22 cos22 sin cos cos cos2cos2sin22223 sinsin22 2cos 2c os右邊2(3) 左邊 cos cos cos cos 2222 cos cos 2cos sinsin cos22222 sinsin22 2sin sin右邊 .22這組式子的特點(diǎn)是左式為和差形式，右式為積的形式，所以這組式子也可稱為和差化積公式，只要求掌握這種推導(dǎo)方法，不要求記憶. 課堂練習(xí)1. 已知 、 為銳角，且 3sin 2 2sin2 1，3sin2 2sin2 0. 求證： 22證法一：由已知得 3sin 2 cos2 3sin2 2sin2 sin （ 2 ）cos

8、2 2得 tan sin2 tan （2 2 ）cos （2 2） 、 為銳角， 0 ， 0 2 ， 2 0，2 2 222 2 ， 222證法二：由已知可得：3sin 2 cos2 ， 3sin2 2sin2 cos( 2 ) cos cos2 sin sin2 232 cos 3sin sin 2 sin2 3sin cos sin 3sin cos 03又由 2 (0 ， 2) 2 24證法三：由已知可得3sin 2cos23sin 22 sin 2 sin( 2 ) sin cos2 cos sin2 sin 3sin 23cos sin2 3sin (sin 22 2 cos ) 3

9、sin又由，得 3sin cos sin2 22422 ，得 9sin 9sin cos 11 sin 3 ，即 sin( 2 ) 13又 0 2 2， 2 2評(píng)述：一般地，若所求角在 (0 ， ) 上，則一般取此角的余弦較為簡便；若所求角在 ( 2， ) 上，則一般取此角的正弦較為簡便；當(dāng)然，若已知條件與正切函數(shù)關(guān)系比較密切，也可2考慮取此角的正切.2. 在 abc中， sin a 是 cos( b c) 與 cos( b c) 的等差中項(xiàng)，試求(1)tanb tan c的值 .(2) 證明 tan b (1 tan c) cot(45 c)(1) 解： abc中， sin asin( b

10、c) 2sin( b c) cos( b c) cos( bc) 2sin bcos c 2cos bsin c 2cosbcos c co sbcos c0 tan b tan c 1(2) 證明：又由上： tan 1 tan c (1 tan c) 1 tan c (1 tan c) tan(45 c) (1 tan c) cot(45 c) 1 tan c . 課時(shí)小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，要掌握推導(dǎo)積化和差、和差化積公式的方法，雖不要求記憶，但要知道它們的互化關(guān)系 . 另外，要注意半角公式的推導(dǎo)與正確使用 . 當(dāng)然，這些都是在熟練掌握二倍角公式的基礎(chǔ)上完成的 . 課后作業(yè)課本 p111 習(xí)

11、題7 、 8、 10.5二倍角的正弦、余弦、正切1 已 知1， 2 3 ， 那 么sin等 于sin cos232（）a.6b.6c.23d.2333332sin10 sin30 sin50 sin70 的值是（）a.1b.1c.1d.31684163已知f (sinx)cos2x，則f ( x)等于（）a.2 x21b.1 2x2c.2 xd. 2x4設(shè)sin sin85，則cos 等于2（）a.47c.12d.15b.13255（ sin cos )(sin cos ) .121212126化簡 cos(4 ) cos（ 4 ) .217 sin12 2 .3tan67.508 1 tan

12、 267.5 0.7539已知 cos2 25 ， (0 ，2 )， sin 13 ， ( ，2 ) ，求 cos( ).611 10已知 sin sin 2，cos cos 3，求 cos2的值 .353311已知 sin( 4) 13， cos(4 ) 5，且4 4，4 4，求 cos( ).7二倍角的正弦、余弦、正切答案313321 d 2 a 3 b 4 b 5 26 2 cos2 7 4 847539已知 cos2 25 ， (0 ，2) ， sin 13， ( ，2) ，求 cos( ).解：由 (0 ， ) 得 sin 1 cos23， cos 422553 ( ，2 ) ， cos 1 sin 2 12 13代入 cos( ) cos cos sin sin 4123533 5 ( 13 ) 5 ( 13 ) 6511 10已知 sin sin 2， cos cos 3 ，求 cos2的值 .兩式平方相加，得11131 1 2（ cos cos sin sin ) 942659592 1 cos( )17213cos( ) 72， cos222 144cos 132 12353311已知