萬(wàn)有引力和航天學(xué)習(xí)知識(shí)歸類分析情況總結(jié)

1、,.萬(wàn)有引力和航天知識(shí)的歸類分析一、核心知識(shí)萬(wàn)有引力定律和航天知識(shí)的應(yīng)用離不開(kāi)兩個(gè)核心1 、 一條主線G Mmmam v2mw2 r m ( 2 )2 ，本質(zhì)上是牛頓第二定律，即萬(wàn)有引力提供天體做r 2rT圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力。2 、 黃金代換式GMgR2 ,此式往往在未知中心天體的質(zhì)量的情況下和一條主線結(jié)合使用二、具體應(yīng)用應(yīng)用一、衛(wèi)星的v、 、 T、 a 向與軌道半徑r 的關(guān)系及應(yīng)用1 、理論依據(jù)：一條主線Mmmav22r2)2G2mmwm (rrT2、實(shí)例 1如圖所示 ,a、 b 是兩顆繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星,它們距地面的高度分別是R 和 2R(R 為地球半徑 ).下列說(shuō)法中正確

2、的是( )A.a 、 b 的線速度大小之比是1B.a 、 b 的周期之比是 12C.a 、 b 的角速度大小之比是3 4D.a 、 b 的向心加速度大小之比是94,.應(yīng)用二、測(cè)量中心天體的質(zhì)量和密度1 、方法介紹方法一、“ T、 r ”計(jì)算法在知道“ T、 r ”或“ v、 r”或“ 、 r”的情況下，根據(jù)一條主線均可計(jì)算出中心天體的質(zhì)量，這種方法統(tǒng)稱為“ T、r”計(jì)算法。在知道中心天體半徑的情況下利用密度公式還可以計(jì)算出中心天體的密度。方法二、“ g 、 R”計(jì)算法由于 G Mmmg ,故天體質(zhì)量 MgR2,天體密度MM3g .R 2GV4 34 GRR3利用天體表面的重力加速度g 和天體半

3、徑 R.2 、實(shí)例分析已知萬(wàn)有引力常量G,地球半徑R，月球和地球之間的距離r ，同步衛(wèi)星距地面的高度h，月球繞地球的運(yùn)轉(zhuǎn)周期T1 ，地球的自轉(zhuǎn)周期T2 ，地球表面的重力加速度g 。某同學(xué)根據(jù)以上條件，提出一種估算地球質(zhì)量M 的方法：同步衛(wèi)星繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，由Mm2 22h3m(h得M4 G2)2hT2GT2(1) 請(qǐng)判斷上面的結(jié)果是否正確,并說(shuō)明理由 .如不正確 ,請(qǐng)給出正確的解法和結(jié)果。(2) 請(qǐng)根據(jù)已知條件再提出兩種估算地球質(zhì)量的方法并解得結(jié)果。,.應(yīng)用三、雙星問(wèn)題1 、雙星問(wèn)題的特點(diǎn)靠雙星間的萬(wàn)有引力提供雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在雙星間的連線上的某點(diǎn)兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的

4、周期和角速度相等實(shí)例 3：在天體運(yùn)動(dòng)中， 將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星。它們?cè)谙嗷サ娜f(wàn)有引力作用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如果雙星間距為，質(zhì)量分別為和，試計(jì)算：（ 1 ）雙星的軌道半徑；（ 2 ）雙星的運(yùn)行周期；（ 3）雙星的線速度。,.應(yīng)用四、第一宇宙速度的計(jì)算第一宇宙速度= 最小發(fā)射速度= 最大環(huán)繞速度1 、第一宇宙速度的計(jì)算方法方法1 、根據(jù)GMmr 2m v2r計(jì)算方法2 、根據(jù)vgR ，特別注意g 可以和有關(guān)拋體運(yùn)動(dòng)的知識(shí)聯(lián)系在一起2 、實(shí)例4(2009?北京 )已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g ，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響.(1) 推導(dǎo)第一宇宙速

5、度 v1 的表達(dá)式；(2) 若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距離地面的高度為h，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期T.,.應(yīng)用五、衛(wèi)星的變軌問(wèn)題1 、問(wèn)題突破口衛(wèi)星變軌問(wèn)題必定和離心和向心運(yùn)動(dòng)聯(lián)系在一起，當(dāng)衛(wèi)星從高軌道運(yùn)動(dòng)到低軌道時(shí)做向心運(yùn)動(dòng)， 此時(shí)衛(wèi)星受到的萬(wàn)有引力大于向心力；當(dāng)衛(wèi)星從低軌道運(yùn)行到高軌道的時(shí)做離心運(yùn)動(dòng)，此時(shí)衛(wèi)星受到的萬(wàn)有引力小于向心力。實(shí)例 5(1) 如圖所示 ,假設(shè)月球半徑為 R,月球表面的重力加速度為 g 0 ,飛船在距月球表面高度為3R 的圓形軌道運(yùn)動(dòng),到達(dá)軌道的A 點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道,到達(dá)軌道的近月點(diǎn)B 再次點(diǎn)火進(jìn)入月球近月軌道繞月球做圓周運(yùn)動(dòng) .求:(1) 飛船在軌道上的運(yùn)

6、行速率.,.(2) 飛船在 A 點(diǎn)處點(diǎn)火時(shí) ,動(dòng)能如何變化 ?(3) 飛船在軌道繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間.(2)我國(guó)發(fā)射的“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星簡(jiǎn)化后的路線示意圖,如圖所示 ,衛(wèi)星由地面發(fā)射后,經(jīng)發(fā)射軌道進(jìn)入停泊軌道,然后在停泊軌道經(jīng)過(guò)調(diào)速后進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道,經(jīng)過(guò)幾次制動(dòng)后進(jìn)入工作軌道,衛(wèi)星開(kāi)始對(duì)月球進(jìn)行探測(cè).已知地球與月球的質(zhì)量之比為a,衛(wèi)星的停泊軌道與工作軌道半徑之比為b, 衛(wèi)星在停泊軌道和工作軌道上均可視為做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則()A.衛(wèi)星在停泊軌道和工作軌道運(yùn)動(dòng)的速度之比為ab,.bB.衛(wèi)星在停泊軌道和工作軌道運(yùn)行的周期之比為aC.衛(wèi)星在停泊軌道運(yùn)行的速度大于地球的第一宇宙速度D.衛(wèi)星從停泊

7、軌道轉(zhuǎn)移到地月轉(zhuǎn)移軌道,衛(wèi)星必須加速(3) 某人造衛(wèi)星因受高空稀薄空氣的阻力作用，繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道會(huì)慢慢改變。每次測(cè)量中衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)可近似看作圓周運(yùn)動(dòng)，某次測(cè)量衛(wèi)星的軌道半徑為，后來(lái)變?yōu)?，以、表示衛(wèi)星在這兩個(gè)軌道上的線速度大小，、表示衛(wèi)星在這兩個(gè)軌道上繞地球運(yùn)動(dòng)的周期，則（）A，B，C，D，應(yīng)用六、衛(wèi)星的追及問(wèn)題此類問(wèn)題要特別注意隨著高度的變,.1 、問(wèn)題突破口衛(wèi)星的追及問(wèn)題關(guān)鍵找到兩衛(wèi)星追及過(guò)程中所轉(zhuǎn)過(guò)的角度關(guān)系。從第一次相距最近到第二次相距最近，兩衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)的角度差為2 從第一次相距最遠(yuǎn)到第二次相距最遠(yuǎn)，兩衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)的角度差為2 、實(shí)例6 ：兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地球半徑

8、為R， a 衛(wèi)星離地面的高度等于R，b 衛(wèi)星離地面高度為3R ，則：（ 1 ）a、b 兩衛(wèi)星運(yùn)行周期之比Ta : Tb 是多少？（ 2）若某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過(guò)地面同一點(diǎn)正上方，則 a 至少經(jīng)過(guò)多少個(gè)周期與b相距最遠(yuǎn)？應(yīng)用七、天體運(yùn)動(dòng)中的超重和失重問(wèn)題1 、 問(wèn)題突破口超重和失重問(wèn)題本質(zhì)上是牛頓第二定律的應(yīng)用，,.化重力加速度g 也變化2、實(shí)例7某物體在地面上受到的重力為160N，將它放置在衛(wèi)星中，在衛(wèi)星以加速度a1 g 隨2火箭加速上升的過(guò)程中，當(dāng)物體與衛(wèi)星中的支持物的相互壓力為90N時(shí)，求此時(shí)衛(wèi)星距地球表面有多遠(yuǎn)？（地球半徑R=6.4103 km ，g 取 10m s2）應(yīng)用八、天體運(yùn)動(dòng)

9、和拋體運(yùn)動(dòng)的結(jié)合問(wèn)題1、關(guān)鍵點(diǎn)利用拋體運(yùn)動(dòng)求出該地的重力加速度2、實(shí)例 8,.(1). 在太陽(yáng)系中有一顆行星的半徑為R,若在該星球表面以初速度v0 豎直上拋一物體,則該物體上升的最大高度為H. 已知該物體所受的其他力與行星對(duì)它的萬(wàn)有引力相比較可忽略不計(jì) (萬(wàn)有引力常量G 未知 ).則根據(jù)這些條件,可以求出的物理量是()A.該行星的密度B.該行星的自轉(zhuǎn)周期C.該星球的第一宇宙速度D.該行星附近運(yùn)行的衛(wèi)星的最小周期(2). 宇航員在月球上將一小石塊水平拋出,最后落在月球表面上.如果已知月球半徑R,萬(wàn)有引力常量G.要估算月球質(zhì)量,還需測(cè)量出小石塊運(yùn)動(dòng)的物理量是()A.拋出的高度h 和水平位移xB.拋

10、出的高度h 和運(yùn)動(dòng)時(shí)間tC.水平位移x 和運(yùn)動(dòng)時(shí)間tD.拋出的高度h 和拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)的距離L應(yīng)用九、在赤道上的物體、近地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星的比較1 、關(guān)鍵點(diǎn)（ 1）在赤道上的物體和同步衛(wèi)星具有相同的和 T（ 2）近地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星均由各自受到的萬(wàn)有引力提供向心力，往往根據(jù)F 萬(wàn)=F 向建立方程分析2、實(shí)例 9（ 1 ）地球赤道上有一物體隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)，所受到的向心力為F1，向心加速度為 a1，線速度為v1，角速度為 1 ；繞地球表面附近做圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星(高度忽略 )所受到的向心力為 F2 ，向心加速度為 a2，線速度為 v2 ，角速度為 2；地球同步衛(wèi)星所受到的向心力為 F3，向心加

11、速度為 a3 ，線速度為 v3 ，角速度為 3 ；地球表面的重力加速度為 g ，第一宇宙速度為 v，假設(shè)三者質(zhì)量相等，則 ( )A. F1 F2 F3B.a1a2 g a3C.v1 v2 v v3D.1 3 2,.（ 2 ）同步衛(wèi)星距地心間距為r ，運(yùn)行速率為 v1 ，加速度為 a1 .地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2，地球半徑為R.第一宇宙速度為v2 ，則下列比值正確的是 ()arB.ar)2v1RD.vrA. 1R1(C.r1Ra2a2Rv2v2參考答案實(shí)例 1:思路點(diǎn)撥 ： (1) 誰(shuí)提供 a 、 b 兩顆衛(wèi)星的向心力?(2) 如何選擇向心力公式?,.小結(jié)：軌道模型：在中心天

12、體相同的情況下衛(wèi)星的r 越大 v 、v 、 a 越小， T 越大， r 相同，則衛(wèi)星的、a 、T 也相同， r 、 v 、 、 a 、 T 中任一發(fā)生變化其它各量也會(huì)變化。實(shí)例 2：解析(1) 上面結(jié)果是錯(cuò)誤的,地球的半徑R 在計(jì)算過(guò)程中不能忽略。Mm2 22h )34 ( R正確的解法和結(jié)果: G2m( ) ( R h)得M2GT2( Rh)T2(2) 解法一 在地面物體所受的萬(wàn)有引力近似等于GMmmg,MgR2R2G重力 ,由解得Mm2 2解法二對(duì)月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng) , Gr 2m(T1 ) r ,23得4 rM2GT1實(shí)例 3：分析：雙星系統(tǒng)中，兩顆星球繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且兩者始

13、終與圓心共線，相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度，即角速度相等， 則周期也相等。 但兩者做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不相等。,.解：設(shè)行星轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，周期為（ 1 ）如圖，對(duì)星球，由向心力公式可得：同理對(duì)星球有：兩式相除得：又因?yàn)椋窜壍腊霃脚c質(zhì)量成反比）所以，（2 ）因?yàn)?，所以? ）因?yàn)?，所以說(shuō)明：處理雙星問(wèn)題必須注意兩點(diǎn)（1 ）兩顆星球運(yùn)行的角速度、周期相等；（2 ）軌道半徑不等于引力距離（這一點(diǎn)務(wù)必理解）。弄清每個(gè)表達(dá)式中各字母的含義，在示意圖中相應(yīng)位置標(biāo)出相關(guān)量，可以最大限度減少錯(cuò)誤。實(shí)例 4：【解析】 (1) 設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m ，地球的質(zhì)量為M ，,.地球表面附近滿足G Mm mg ，解得 GM

14、 R2gR2衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于它受到的萬(wàn)有引力2 G Mmm v1RR2式代入式，得到v1Rg(2) 考慮式，衛(wèi)星受到的萬(wàn)有引力為MmmgR2F G2(R h)2( R h)2由牛頓第二定律F m42(R h )T3式聯(lián)立解得T 2 ( Rh)Rg實(shí)例 5：(1) 解析 :設(shè)月球的質(zhì)量為 M, 飛船的質(zhì)量為 m, 則G Mmm v2, G Mmmg0(4R)24RR2解得v1g0 R2(2)動(dòng)能減小 .mg02 2R,m( )T(3)設(shè)飛船在軌道繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間為T(mén),則故 T 2 R . g0(2) AD,.(3) 分析 ：空氣阻力作用下，衛(wèi)星的運(yùn)行速度首先減小，速度減小后的衛(wèi)

15、星不能繼續(xù)沿原軌道運(yùn)動(dòng)，由于而要作近（向）心運(yùn)動(dòng)，直到向心力再次供需平衡，即，衛(wèi)星又做穩(wěn)定的圓周運(yùn)動(dòng)。如圖，近（向）心運(yùn)動(dòng)過(guò)程中萬(wàn)有引力方向與衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向不垂直，會(huì)讓衛(wèi)星加速，速度增大（從能量角度看，萬(wàn)有引力對(duì)衛(wèi)星做正功，衛(wèi)星動(dòng)能增加，速度增大），且增加的數(shù)值超過(guò)原先減少的數(shù)值。所以、，又由可知。解：應(yīng)選 C 選項(xiàng)。說(shuō)明： 本題如果只注意到空氣阻力使衛(wèi)星速度減小的過(guò)程，很容易錯(cuò)選分析問(wèn)題一定要全面，切忌盲目下結(jié)論。B 選項(xiàng)，因此，衛(wèi)星從橢圓軌道變到圓軌道或從圓軌道變到橢圓軌道是衛(wèi)星技術(shù)的一個(gè)重要方面，定軌和返回都要用到這個(gè)技術(shù)。衛(wèi)星,.以衛(wèi)星從橢圓遠(yuǎn)點(diǎn)變到圓軌道為例加以分析：如圖，在軌道遠(yuǎn)點(diǎn)，

16、 萬(wàn)有引力，要使衛(wèi)星改做圓周運(yùn)動(dòng)，必須滿足和， 而在遠(yuǎn)點(diǎn)明顯成立，所以只需增大速度， 讓速度增大到成立即可， 這個(gè)任務(wù)由衛(wèi)星自帶的推進(jìn)器完成。“神舟”飛船就是通過(guò)這種技術(shù)變軌的，地球同步衛(wèi)星也是通過(guò)這種技術(shù)定點(diǎn)于同步軌道上的。實(shí)例 6分析： 兩衛(wèi)星周期之比可按基本思路處理；要求與相距最遠(yuǎn)的最少時(shí)間，其實(shí)是一個(gè)追及和相遇問(wèn)題， 可借用直線運(yùn)動(dòng)部分追及和相遇問(wèn)題的處理思想，只不過(guò)， 關(guān)鍵一步應(yīng)該變換成“利用角位移關(guān)系列方程”。,.解： （1 ）對(duì)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星使用向心力公式可得：所以（ 2）由可知：，即轉(zhuǎn)動(dòng)得更快。設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)，則由圖可得：（ 、2、3）其中時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間最短。而，

17、所以，得,.說(shuō)明： 圓周運(yùn)動(dòng)中的追及和相遇問(wèn)題也應(yīng)“利用（角）位移關(guān)系列方程”。當(dāng)然，如果能直接將角位移關(guān)系轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù)關(guān)系，運(yùn)算過(guò)程更簡(jiǎn)潔， 但不如利用角位移關(guān)系容易理解，而且可以和直線運(yùn)動(dòng)中同類問(wèn)題的解法統(tǒng)一起來(lái)，記憶比較方便。 常見(jiàn)情況下的角位移關(guān)系如下，請(qǐng)自行結(jié)合運(yùn)動(dòng)過(guò)程示意圖理解。設(shè)，則：實(shí)例 7：分析：物體具有豎直向上的加速度，處于超重狀態(tài)， 物體對(duì)支持物的壓力大于自身實(shí)際重力；而由于高空重力加速度小于地面重力加速度，同一物體在高空的實(shí)際重力又小于在地面的實(shí)際重力。解： 如圖，設(shè)此時(shí)火箭離地球表面的高度為，火箭上物體對(duì)支持物的壓力為，物體受到的重力為,.根據(jù)超、失重觀點(diǎn)有可得而由

18、可知：所以說(shuō)明：航天器在發(fā)射過(guò)程中有一個(gè)向上加速運(yùn)動(dòng)階段，在返回地球時(shí)有一個(gè)向下減速階段，這兩個(gè)過(guò)程中航天器及內(nèi)部的物體都處于超重狀態(tài)；航天器進(jìn)入軌道作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于萬(wàn)有引力 （重力）全部提供向心力， 此時(shí)航天器及內(nèi)部的所有物體都處于完全失重狀態(tài)。實(shí)例 8:（1）CD（ 2 ） B實(shí)例 9：（ 1 ） D【解析】放在地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度是地球?qū)ξ矬w的引力和地面支持力的合力提供 .而環(huán)繞地球運(yùn)行的向心加速度完全由地球?qū)ζ涞囊μ峁?.對(duì)應(yīng)的計(jì)算方法也不同 .設(shè)地球自轉(zhuǎn)的角速度為，R 為地球的半徑，物體在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)和地球同步衛(wèi)星相比角速度 1 3線速度 v 1 R v 3( R h) 向心力 F1 mR2 F3 m