三元一次方程組典型例題講解

1、武漢龍文教育學(xué)科輔導(dǎo)講義授課對(duì)象郭家銘授課教師楊琴梅授課時(shí)間授課題目三元一次方程組典型例題課型新課使用教具教案、白板、筆教學(xué)目標(biāo)會(huì)解二兀一次方程組教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)能熟練的選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń馊淮畏匠探M參考教材教材教學(xué)流程及授課詳案-、厶一？工口/,rr 、 iL-p -raU m r時(shí)間分配及備注x例1 ：解方程組xxy z2y4y:125z 22分析：方程是關(guān)于x的表達(dá)式，通過代入消元法可直接轉(zhuǎn)化為二元次方程組，因此確定“消的目標(biāo)。解法1 :代入法，消x.把分別代入、得5y z6y 5z1222x把y=2代入，得x=8. yz8,2,是原方程組的解.2.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組

2、為:類型一：有表達(dá)式，用代入法型針對(duì)上例進(jìn)而分析，方程組中的方程里缺z,因此利用、消乙也能達(dá)到消元構(gòu)成二元一次方程組的目的解法2 :消乙 X5 得 5x+5y+5z=60-得 4x+3y=38x 4y由、得y4x 3y38把x=8,y=2代入得z=2.x y 2,是原方程組的解.z8,2.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為：類型二：缺某元，消某元型2x y z 15例2 :解方程組x 2y z 16x y 2z 17分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)每個(gè)方程未知項(xiàng)的系數(shù)和相等； 每一個(gè)未知數(shù)的系 數(shù)之和也相等，即系數(shù)和相等。具備這種特征的方程組，我們給它定義為“輪 換方程組”，可采取求和作差的方法較簡

3、潔地求出此類方程組的解。解：由+得4x+4y+4z=48，即 x+y+z=12 . -得x=3， -得y=4， -得z=5，x 3, y 4,是原方程組的解.z 5.x y 20,典型例題舉例：解方程組y z 19,x z 21.解：由+得2(x+y+z)=60，即 x+y+z=30 . -得z=10，-得y=11，-得x=9，x 9, y 11,是原方程組的解.z 10.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為：類型三：輪換方程組，求和作差型.x: y : z1:2:7例3 :解萬程組 -2x y3z 21分析1 :觀察此方程組的特點(diǎn)是未知項(xiàng)間存在著比例關(guān)系，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生看見比例式

4、就會(huì)想把比例式化成關(guān)系式求解，即由x:y=1:2得y=2x ；由x:z=1:7得z=7x.從而從形式上轉(zhuǎn)化為三元一次方程組的一般形y 2x,式，即z 7x,，根據(jù)方程組的特點(diǎn)，學(xué)生可選用“有表達(dá)式，2x y 3z 21.用代入法”求解。解法1 :由得y=2x，z=7x，并代入，得x=1.把 x=1，代入 y=2x，得 y=2 ;把 x=1，代入 z=7x，得 z=7.x 1, y 2,是原方程組的解.z 7.分析2 :由以往知識(shí)可知遇比例式時(shí)，可設(shè)一份為參數(shù) k，因此由方程 x:y:z=1 : 2: 7，可設(shè)為x=k,y=2k,z=7k.從而也達(dá)到了消元的目的，并把 三元通過設(shè)參數(shù)的形式轉(zhuǎn)化為

5、一元，可謂一舉多得。解法2 :由設(shè)x=k,y=2k,z=7k ，并代入，得k=1.把k=1，代入x=k，得x=1 ；把 k=1，代入y=2k，得y：=2 ；把 k=1，代入z=7k，得z=7.x 1,-y 2,是原方程組的解.z 7.x yz 111典型例題舉例：解方程組y : x3:2y: z5:4分析1:觀察此方程組的特點(diǎn)是方程、中未知項(xiàng)間存在著比例關(guān)系，2由例3的解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生易選擇將比例式化成關(guān)系式求解，即由得x =3y ；由得z= 4 y.從而利用代入法求解。5解法1 :略.分析2 :受例3解法2的啟發(fā)，有的學(xué)生想使用設(shè)參數(shù)的方法求解，但 如何將、轉(zhuǎn)化為x:y:z的形式呢？通過觀察發(fā)

6、現(xiàn)、中都有y項(xiàng)，所以把它作為橋梁，先確定未知項(xiàng)y比值的最小公倍數(shù)為15,由x 5得y:x=15:10，由 X3 得 y:z=15:12,于是得到 x:y:z=10:15:12。解法2 :由、得 x:y:z=10:15:12.設(shè) x=10k,y=15k,z=12k，并代入，得 k=3.把 k=3，代入 x=10k，得 x=30 ;把 k=3，代入 y=15k，得 y=45 ;把 k=3，代入 z=12k，得 z=36.x 30, y 45,是原方程組的解.z 36.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為：類型四：遇比例式找關(guān)系式，遇比設(shè)元型.二、三元一次方程組之一般型3x y z 4,例4

7、:解方程組x y z 6,2x 3y z 12. 分析：對(duì)于一般形式的三元一次方程組的求解，應(yīng)該認(rèn)清兩點(diǎn)：一是確 立消元目標(biāo)一一消哪個(gè)未知項(xiàng)；二是在消元的過程中三個(gè)方程式如何正確的 使用，怎么才能做到“目標(biāo)明確，消元不亂”，為此歸納出：（一） 消元的選擇1. 選擇同一個(gè)未知項(xiàng)系數(shù)相同或互為相反數(shù)的那個(gè)未知數(shù)消元；2. 選擇同一個(gè)未知項(xiàng)系數(shù)最小公倍數(shù)最小的那個(gè)未知數(shù)消元。（二） 方程式的選擇 采取用不同符號(hào)標(biāo)明所用方程，體現(xiàn)出兩次消元的過程選擇3x y z 4解：x y z 62x 3y z 12（明確消z,并在方程組中體現(xiàn)出來一一畫線） + 得 5x+2y=16 ，（體現(xiàn)第一次使用在后做記號(hào)V

8、 ） + 得 3x+4y=18 ，（體現(xiàn)第二次使用在后做不同記號(hào)）由、得5x 2y 16,3x 4y 18.2,3.x解得y把x=2 ，y=3代人，得z=1.x 2, y 3,是原方程組的解.z 1.2x典型例題舉例：解方程組3x5x分析：通過比較發(fā)現(xiàn)未知項(xiàng)y的系數(shù)的最小公倍數(shù)最小，因此確定消y 以方程作為橋梁使用，達(dá)到消元求解的目的解：X2 得 6x 4y+10z=22 ,2x +4y+ 3z=9, +得8x +13z=31 . X3 得 9x 6y+15z=33，5x 6y+7z =13 ,得 4x +8z =20 .x +2z=5 .由、得8x 13z 31, x 2z 5.1,3.x解

9、得z13x 2y 4z .1把 1,1y ,是原方程組的解.2z 3.元一次方程組的相關(guān)變式題型x 2y z 2x y 3z例五、解方程組 910=-1, z=3 代人，得 y 2.x 2y z 9(1)2x y 3z 10(2)解：原方程組可化為3x 2y 4z 3(3)由(1)+(3 )，得 4x 3z6(4)由(1)+(2)2，得 5x7z29(5)4x3z6由(4)和(5)組成方程組,得5x7z29(5)x 3解這個(gè)方程組，得z 把x .所求代數(shù)式的值為13 x y 3a(1) y z 5a(2)例6已知方程組z x也的解使代數(shù)式x 2y 3z的值等于10，求 a的值。解：(2) (

10、1)，得 z x 2a (4) (3) + (4)，得 2z 6a，z 3a 把z 3a代入(2)和(3)，得 y 2a,x a，z x a 代入(1)，得y 2a 2y 2z 3a，把 x a, y 2a, z 3a 代入 x 2y 3z，得a 2 2a 3 3a 10. y 2x 3y 2.z 2是原方程組的解x y z例六、已知2x 3y 4z03x4y 5z0求x yz的值。2x3y4z0(1)解：由題意，得3x4y5z0(2)x31z解這個(gè)方程組，得y22zxy z31z22z z82當(dāng) x 31z， y 22z時(shí)，xy z31z22z z521355a-3所求a的值為3ax by

11、2x 2例7甲、乙兩同學(xué)解方程組cx 2y 10，已知甲的正確解答是y 4 ,x 3乙由于看錯(cuò)了 c，求出的解是y 6.5，則求a，b，c的值。x 22a 4b 2解：把y 4代入原方程組，得2c 2 4 10 c ix 3由y 6.5滿足ax by 2，得3a 6.5b 2和(1)組成方程組，得a 52a4b 2(1)a5b 23a6.5b 2(2)解得 b2c1.所求a，b,c的值分別為5, 2,1在此需要說明的是，每一個(gè)三元一次方程組的求解方法都不是唯一的，需要進(jìn)一步的觀察，但是學(xué)生只要掌握了最基本的解方程組思想和策略，就 可以以不變應(yīng)萬變，就可以很容易的學(xué)會(huì)三元一次方程組的解法。四、三元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用例一:某車間有60人，生產(chǎn)甲乙丙三種零件，每人每小時(shí)能生產(chǎn)甲24個(gè), 或乙20個(gè)，或丙16個(gè)，現(xiàn)用零件甲9個(gè)，乙15個(gè)，丙12個(gè)，裝配成某 機(jī)件，如何安排勞動(dòng)力，才能使每小時(shí)生產(chǎn)的零件恰好成套？共有多少套？ 解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件各有 x人，y人，z人.根據(jù)題意得x+y+z=6024x/9=20y/15=16z/12解得 x=12,y=24,z=2424 X12/9=32答：安排生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件各有 12人，24人，24人，共有32套.例二：甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的和是35，甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大5，乙數(shù)的1/3 (三分之一)等于丙數(shù)的1/2 (二分之一)