007---解斜三角形

1、僅供個人參考第7課時課題：解斜三角形【教學目標】(1) 掌握正余弦定理的應用；(2) 掌握解三角形的題型?！窘虒W重難點】理解并熟練掌握正余弦定理、應用題型【知識點歸納】一、正弦定理1、三角形面積公式:111S= abs in C= bcs in A= acs inB 2222、正弦定理si nAsin B sinC=2R( R ABC的外接圓的直徑)不得用于商業(yè)用途3、正弦定理的幾種常見變形應用(1) asinB=bsinA， bsinC=csinB， asinC=csinA ；(2) a=2RsinA，b=2RsinB， c=2RsinC ；(3)sinA=a2RsinB=b2RsinC=c

2、2R(4) a： b： c=sinA : sinB: sinC【例1】已知- ABC中,【例題精講】A = 60,a=4、3,b=4、2，求 B, C, c.【練習】已知在=ABC中，A = 30,c = 8, a = 5,求C、B、b (結(jié)果保留兩位小數(shù))1【例2】已知. ABC中，S ,外接圓半徑R=1,求abc.4【練習】已知 ABC 中，2sin余弦定理的變形公式 A =3sin2 B 3sin2C , cos2A 3cosA 3cos(B -C) =1, 求 a : b :c.【基礎(chǔ)練習】1. 在 ABC 中，已知 a=8, B=60 C=75 貝U b=。2. 已知在 ABC 中，

3、c=10, A=45 , C=30 求 a、b 和 B。3.在 ABC中，已知a=寸3 , b=哺 2 , B=45 ,求 A , C 和 c 的長。、余弦定理2 2 2 2 2 2 2 2 21、a =b +c 2bccosA,b =c +a 2accosB,c =a +b 2abcosC,222 2 2,2 2,2 2 b c -ac a -ba b -ccosA=, cosB=, cosC=2bc2ca2ab【例題精講】【例 3】已知在:ABC 中，a =2.3, B =45,c2，求 b、A、C.【練習】已知 ABC中，A =60，且最大邊長和最小邊長恰好是方程x2 -7x 11 =0

4、的兩根，求第三邊【例4】在JAC 中，B 90，三條邊長a=2x-5,b=：x T,c=1，求實數(shù)x的取值范圍?【練習】鈍角三角形的三邊分別是 a、a T、a亠2，且最大內(nèi)角不超過120，求實數(shù)a的 取值范圍？【例5】已知. ABC中，C =4,b =7，邊BC上的中線AD二？，求邊長a.2【練習】（1）設(shè)P是正方形ABCD內(nèi)一點，點P到頂點A、B、C的距離分別是.7、3,求 正方形的面積？（2）設(shè)P是正方形ABCD內(nèi)一點，PA：PB：PC =1:2:3,求.APB的大?。俊净A(chǔ)練習】2 2 21、在厶ABC 中，a =b +c +bc,則 A=。2、在厶ABC中，已知：a=2，b=2 J2，

5、C=15 求角B和邊c。3、已知 ABC中，a： b： c=2 : 6 : （ J3+1），求厶ABC各角的弧度數(shù)。三、解三角形在實際問題中的應用1、利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：2、利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：3、三角形的面積公式總結(jié)：4、三角形內(nèi)切圓的半徑：5、三角形中的射影定理：6、兩內(nèi)角與其正弦值：7、三內(nèi)角與三角函數(shù)值得關(guān)系：【例題精講】【例6】已知.MON =6O0,Q是MON內(nèi)的一點，它到兩邊的距離分別是2和11,求OQ的長？【練習】（1 ）在 ABC中，已知a,b,c分別是內(nèi)角A，B,C所對的三邊；求證： a cos2 旦 b cos2 A

6、 = 1 （a b c）.2 2 2（2）在 ABC中，已知A =2B和a,b，求c （用a,b表示）.【例7】在三角形ABC中，若（b2c2_a2）sin2 A = （c2 a2 _b2）sin2B,試判斷三角形的形狀，并說明理由？【練習】判斷下列三角形的形狀：/八 a2 tan A（1）飛；b2 tan B（2） 2bcosC =a,sin2A=sin2 B sin2C ；（3）tan A tan B : 1 ；2（4） a2bc（cosA cos2A） =0.【例8】已知在. ABC中，C =900，A = 30，BC=1，試證明：過邊BC上的任意一點D，可以作出以D為頂點的內(nèi)接正三角形

7、（三頂點分別在三邊上的正三角形），并求內(nèi)接正三角形的周長的最小值？ 【練習】（1）已知 ABC中，S二a2 -（b -c）2,b 8，求S的最大值？已知 ABC中，a b = 4,C =600，求 ABC的周長的最小值及面積的最大值?【課后練習1】1、隔河看兩地A與B但不能到達，在岸邊選取相距.3千米C、D兩點，測得/ ACB=75 ,2、在山腳測得山頂仰角/ 仰角/ BDE=75，求山高3、在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏東/ BCD=45，/ ADC=30，/ ADB=45 （A、B、C、D 在同一平面內(nèi)），求兩目標 A、B 之間的距離。CAB=45，沿坡度為30 的斜坡走1 000m至D點，又測得山頂

8、BC。45。方向，距離（3 - 1）海里的B處有一艘走私船，在 A處北偏西75方向，距離A 2海里的C處的緝私船奉命以10-. 3海里/小時的速度追截走私船。 此時，走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？【課后練習2】1. 在 ABC 中，3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1，求 C。2. 已知，在 ABC中，滿足 acosA=bcosB，試判定 ABC的形狀。3. 要使a, a+1, a+2為鈍角三角形的三邊，求 a的取值范圍。【拓展講解】 正弦定理可以解決的兩類問題：1. 已知兩角和任一邊，求其他的角和邊2. 已知兩

9、邊和其中一邊的對角，求另一邊和另一邊的對角 余弦定理可以解決的兩類問題1. 已知三邊，求三個角2已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角 求三角形外接圓半徑的常用方法1直角三角形2. 正弦定理解三角形常用關(guān)系式1. 三角形內(nèi)角和等于 180 2三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊3. 三角形中大邊對大角，小邊對小角4. 兩角和與差的三角比值在三角形中的變式sin (A+B ) =sinC ,A B C sin2=cos2cos (A+B ) = - cosC, tan (A+B ) = - tanC A Bcos2C A B C =sin , tan=cot2 2 2【練習一】1.

10、在 ABC中,已知4、3a=,b=4, A=30，貝U B=32 .在 ABC中,c=6,b=3 , A=60，貝V S abc =3 .在 ABC4 .在 ABC中,中,已知已知AB=3 , BC=5,BC=12 , A=60AC=7 ,B=45則B= ，貝U AC=5 .在 ABC中,已知a=2、3 , c=2,C=30,則 S .abc =6 .在 ABC中,已知b=3 , c=3 . 3 ,B=30 則 a=7.已知下列條件解三角形，其中有唯一解的是()(A ) a=20, b=28, A=40(B) a=18, b=20, A=150(C) b=20, c=34, B=70(D) b

11、=60, c=50, B=45abc& 在厶ABC中，若=，則 ABC是()cos A cosB cosCA直角三角形(B)等邊三角形(C)鈍角三角形(D)等腰直角三角形9.解下列三角形：(1) 在厶 ABC 中，a=2, A=30 , B=45，求 b, S ABC ;(2) 在 ABC 中，a=2,3 , B=45 , S ABC =3+3，求 A , C, b, c310. 如圖所示，在 ABC 中，AC=2 , BC=1 , cosC=-4(1)求AB的值； (2 )求sin ( 2A+C)的值,cos A cos B cosC11. 在 ABC 中，求證：+=2sin Bsin C

12、sin C sin A sin Asin B12. 在某點B處測得古塔AE的頂端A的仰角為二，延BE方向前進30 m到達點C,在C處測得頂端A的仰角為2二，繼續(xù)前進10.3 m至D點，測得頂端A的仰角為4,求v的大小及塔高AE 【知識點歸納】1三角形面積公式2、正弦定理及其擴充3、余弦定理【例題講解】35例1設(shè)從BC中，COSA V , sin -13，則cosc的值是56655665C.166556 或 16或6565例 2、在 AABC 中，已知(sin A sin B si nC)(si n A - si n B _s in C) =3s in As in B，求C 的大 小。例3、在

13、從BC中，a =30,S從bc=105，外接圓的半徑R=17，求從BC的周長。例4、在從BC中，已知 A B C , A=2C, b =4, a 8，求a與c的長。例5、根據(jù)下列條件，確定三角形的形狀(1) acosB 二 bcosA ;(3)(4)(2) a =csinA且 sinC =2sin Asin B ;tan A tan B ： 1;3.33a b c 2 口3c 且 si nA sin B =- a b -c4例6、在AABC中，已知cot Bin A sin（C 豈，求證：AABC為直角三角形。cos（C - B）例7、在與水平方向成a角的斜坡BCD上有一座塔AD，從B、C測得

14、塔的張角分別為 B與 Y，若BC =a，求塔高AD。例8、如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB.小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點A及點C處，且小區(qū)里有一條平行于BO的小路CD .已知某人從 C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了 6分鐘. 若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長（精確到1米）?；仡櫡此?、主要方法： 正確區(qū)分兩個定理的不同作用，圍繞三角形面積公式及三角形外接圓直徑展開三角 形問題的求解； 兩個定理可以實現(xiàn)將 邊、角混合”的等式轉(zhuǎn)化成 邊或角的單一 ”等式； 余弦定理中，涉及到四個量，利用方程思想，知道其中的任意三個量可求出第四個 量； 余弦定理

15、還有很多地方的應用，如立體幾何中求球面距離.2、易錯、易漏點： 三角形的內(nèi)角和定理檢驗增根； 特別注意一些有關(guān)的術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、方位角.其中以特定基準方向為起點（一般為北方），依順時針方式旋轉(zhuǎn)至指示方向所在位置， 兩者所夾的角度稱之為方位角， 方位角a的取值范圍是0豈a ： 360 .課后練習1、在銳角三角形ABC中，若tan A =t 1 , tan B =t _1 ,則t的取值范圍是B.(1, )C.1,2D.(-1,1)2、在 AABC 中,a .8281c.2633從BC 中.b =1 , S從BC =、.3，則 a ,c的范圍是sin A +sin B 4sin CB.93

16、D.2 73、在(1) a=1, c =72 NA =30 ，則 NC=;(2) a =2, c=1U NC的取值范圍是 。4、在從BC中.(1 )若acosA =bcosB，貝U從BC的形狀為;(2)若 2cos Bsin A =sin C，貝U AABC 的形狀為 。5、 兩條筆直的公路相交成 60角，兩輛汽車P、Q同時從角的頂點出發(fā)， 分別沿兩條公路行 駛，已知汽車P的速度是每小時48千米.若要使這兩輛汽車在出發(fā) 1小時后相距43千米, 那么汽車Q的行駛速度應為千米/小時。6、 在 AABC 中，已知(sin B si n C): (si nC sin A) : (si nA si n

17、B) =4:5 :6，求此三角形最大 角的大小。7、 在AABC中，已知a =4, b62 , AABC外接圓半徑 R為2 2，求邊c。58、已知邊長為a的正方形ABCD，點P、Q分別在BC、CD邊上，且 PAQ = 45，求四邊 形APCQ面積的最大值。9、 如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為 BC的半圓形空地，AABC外的地方種草，AABC 的內(nèi)接正方形 PQRS為一水池，其余的地方種花，若 BC =a, /ABC = B,設(shè)AABC的面積為S，正方形的面積為S?。S(1)用a、B表示S1、S2; (2)當a固定，B變化時，求取最小值時的角B?！靖郊宇}】1、 等腰三角形的頂角的正弦為，則底

18、角的正弦大小為 .25 在AABC中，若b2 =ac ,貝U 1 sin2 B 的取值范圍是 .sin B +cosB 銳角三角形中，若 a =1, b =2，貝U c的取值范圍是 . 在 AABC 中，若 si nA sin B sin A cosB cosA cosB cos A sin B = 2，確定 AABC 的形 狀。 在AABC 中，AB=2 ,BC =3 ,AABC 內(nèi)有一點D,使 ADC B=180，且 CD=2 .問當.B為何值時，AABC與AADC的面積之差有最大值 ?求出這個最大值。6、在從BC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若(a2c2b2)tan B _ 3ac，求角B的取值范圍。僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur