解析幾何第四版習(xí)題答案1

1、第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.1 柱面1、已知柱面的準(zhǔn)線為：222(x 1)2 (y 3)2 (z 2)2 25x y z 2 0且( 1)母線平行于 x軸；(2)母線平行于直線 x y, z c ，試求這些柱面的方程。 解：(1)從方程222(x 1)2 (y 3)2 (z 2)2 25x y z 2 0中消去 x，得到： (z y 3)2 (y 3)2 (z 2)2 252 2 3 即： y2 z 2 yz 6y 5z 0此即為要求的柱面方程。xy (2)取準(zhǔn)線上一點 M0(x0,y0,z0)，過 M 0且平行于直線的直線方程為：zcxx0tx0xtyy0ty0ytzz0z0

2、z而 M 0 在準(zhǔn)線上，所以(x t 1)2 (y t 3)2 (z 2)2 25x y z 2t 2 0上式中消去 t 后得到： x2 y2 3z2 2xy 8x 8y 8z 26 0 此即為要求的柱面方程。2而 M 0 在準(zhǔn)線上，所以：22x t y2 (z 2t)2 x t 2(z 2t)消去 t ，得到： 4x2 25y2 z2 4xz 20x 10z 0 此即為所求的方程。3、求過三條平行直線 x y z, x 1 y z 1, 與x 1 y 1 z 2 的圓柱面方程。解：過 又過準(zhǔn)線上一點 M1(x1, y1,z1) ，且方向為 1,1,1 的直線方程為：xx1tx1xtyy1ty

3、1ytzz1tz1zt將此式代入準(zhǔn)線方程，并消去 t 得到：2225( x 2 y2 z 2 xy yz zx) 2x 11y 13z 0 此即為所求的圓柱面的方程。4、已知柱面的準(zhǔn)線為 (u) x(u), y(u), z(u) ，母線的方向平行于矢量 S X,Y, Z ， 試證明柱面的矢量式參數(shù)方程與坐標(biāo)式參數(shù)方程分別為：x Y (u) vS與x x(u) Xvy y(u ) Yv z z(u ) Zv 式中的 u, v 為參數(shù)。證明：對柱面上任一點 M (x,y,z)，過 M 的母線與準(zhǔn)線交于點 M (x(u), y(u), z(u) ，則，M M vS即1、求頂點在原點，準(zhǔn)線為 x2 2

4、z 1 0, y z 1 0 的錐面方程。解：設(shè)為錐面上任一點 M(x,y,z)，過 M 與 O的直線為：設(shè)其與準(zhǔn)線交于 (X0 ,Y0 ,Z0 ) ，即存在 t，使X0 xt,Y0 yt,Z0 zt ，將它們代入準(zhǔn)線 方程，并消去參數(shù) t ，得：x2 2z(z y) (z y) 2 0即： x2 y 2 z2 0 此為所要求的錐面方程。2、已知錐面的頂點為 (3 , 1, 2) ，準(zhǔn)線為 x2 y2 z2 1,x y z 0 ，試求它的方程。解：設(shè) M(x, y,z)為要求的錐面上任一點，它與頂點的連線為：令它與準(zhǔn)線交于 (X0 ,Y0 ,Z0) ，即存在 t，使X0 3 ( x 3)t Y

5、0 1 ( y !)t Z02 ( z 2) t將它們代入準(zhǔn)線方程，并消去 t 得：3x2 5y2 7z2 6xy 2yz 10xz 4x 4y 4 z 4 0 此為要求的錐面方程。4、求 對錐面上任一點 M ( x, y, z) ，過 M 與頂點 O 的母線為：XYZxyz令它與準(zhǔn)線的交點為 (X0 ,Y0 , Z0) ，即存在 t，使 X0 xt,Y0 yt,Z0 zt ，將它們代入準(zhǔn)線方程，并消去 t 得：xy yz zx 0此即為要求的圓錐面的方程。5、求頂點為 (1, 2, 4) ，軸與平面 2x 2y z 0垂直，且經(jīng)過點 (3, 2, 1) 的圓錐面的方程。解：軸線的方程為：x

6、1 y 2 z 4221過點 (3,2,1) 且垂直于軸的平面為：2(x 3) 2( y 2) (z 1) 0即： 2x 2 y z 11 011 20 37116該平面與軸的交點為 (191 , 290 , 397) ，它與 (3, 2,1)的距離為：(11 3)2 (20 2) 2 (37 1)2999要求圓錐面的準(zhǔn)線為： 的徑矢為 0 x0, y0, z0 ，試證明錐面的矢量式參數(shù)方程與坐標(biāo)式參數(shù)方程分別為：v (u) (1 v) 0x vx(u) (1 v)x0 y vy(u) (1 v)y0 z vz(u) (1 v)z0式中， u,v 為參數(shù)。證明：對錐面上任一點 M（x,y,z）

7、 ，令 OM ，它與頂點 A 的連線交準(zhǔn)線于M ( x(u),y (u ),z (u，)即 OM(u) 。AM / AM ，且 AMAM vAM0（頂點不在準(zhǔn)線上）即 0 v( (u) 0)亦即 v (u) (1 v) 0此為錐面的矢量式參數(shù)方程。若將矢量式參數(shù)方程用分量表示，即：x,y,z v x(u), y(u),z(u) (1 v) x0, y0,z0x vx(u) (1 v)x0u,v 為參數(shù)。y vy(u) (1 v)y0 z vz(u) (1 v)z0 此為錐面的坐標(biāo)式參數(shù)方程， 4.3 旋轉(zhuǎn)曲面1、求下列旋轉(zhuǎn)曲面的方程：x 1 y 1 z 11 xyz 2 1 1x 1y z繞

8、z軸旋轉(zhuǎn)；13 3z x24）空間曲線繞 z 軸旋轉(zhuǎn)。x2 y2 11）；2）；3）繞x1 2 1 1繞 x y 11y z 1 旋轉(zhuǎn)12 z1 z 1 旋轉(zhuǎn)2x 1 y 1 z 1解：（ 1）設(shè) M1（x1, y1,z1） 是母線上任一點，過 M 1的緯圓為：1 1 2(xx1)(yy1)2(zz1)0(1)x2y2(z1)2x12y12(z11)2(2)x1 y1 z1 1因 M 1 在母線上，(3)1 2 1 1從( 1)( 3)消去 x1, y1, z1 ，得到：5x2 5y2 23z2 12xy 24yz 24xz 24x 24y 46z 23 0此為所求的旋轉(zhuǎn)面的方程。(3)對母線

9、上任一點M 1(x1, y1, z1) ，過該點的緯圓為：z z1(1)2222 2 2(2)x2 y2 z2x1 y1 z1又 M 1 在母線上，所以：x1 1y1z1(3)133從( 1)( 3)消去x1,y1,z1 ，得到：9(x2 y2) 10z2 6z 9 0 此為所求的旋轉(zhuǎn)面方程。(4)對母線上任一點 M1(x1,y1,z1)，過 M 1的緯圓為：z z1(1)2 2 2 2 2 2x y z x1 y1 z1(2)又 M1 在母線上，所以2z1 x12 (1)x12 y12 1 (2)從( 1)( 3)消去 x1, y1, z1 ，得到：x2 y2 1z z1 x12 1 0 z

10、 1 即旋轉(zhuǎn)面的方程為： x2 y2 1 ( 0 z 1)x y z2、將直線繞 z 軸旋轉(zhuǎn)，求這旋轉(zhuǎn)面的方程，并就, 可能的值討論這是什01么曲面？解：先求旋轉(zhuǎn)面的方程式：任取母線上一點 M1(x1,y1, z1)，過 M 1的緯圓為：z z1(1)2 2 2 2 2 2x y z x1 y1 z1(2)又 x1 y1z1(3)01從( 1)( 3)消去 x1 , y1, z1 ，得到：x2 y2 2 z2 2 0 此即為所求旋轉(zhuǎn)面的方程。當(dāng)0,0 時，旋轉(zhuǎn)面為圓柱面(以 z 軸為軸)；當(dāng)0,0 時，旋轉(zhuǎn)面為圓錐面(以 z 軸為軸，頂點在原點)當(dāng) ,0時，旋轉(zhuǎn)面變?yōu)?z 軸；當(dāng)0,0 時，旋

11、轉(zhuǎn)面為單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面。3、已知曲線 的參數(shù)方程為 x x(u),y y(u),z z(u) ，將曲線 繞 z軸旋轉(zhuǎn)， 求旋轉(zhuǎn)曲 面的參數(shù)方程。p(x,y,z) ，解：如圖，設(shè) M(x(u),y(u),z(u) 為 上任一點，則對經(jīng)過 M 的緯圓上任一點4.4 橢球面2 2 2xyz1、做出平面 x 2 0與橢球面 21 的交線的圖形。42 9 4222解：平面 x 2 0與橢球面 x2 y z 1 的交線為：42 9 42、設(shè)動點與點 (1,0,0) 的距離等于從這點到平面 x 4 的距離的一半，試求此動點的軌跡。解：設(shè)動點 M (x,y,z) ，要求的軌跡為 ，則條兩兩相互垂直的射線，分別交

12、曲面p1, p2, p3，設(shè) op1 r1,op2 r2,op3 r 3，試證：111222 r1 r2 r3111a2b2c2證明：利用上題結(jié)果，有2ri22i2 i 2 b2 c2(i 1,2,3)其中 i , i, i 是 opi 的方向余弦。若將 opi (i 1,2,3)所在的直線看成新的坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸，則1, 2, 3 是坐標(biāo)矢量關(guān)于新坐標(biāo)系的方向余弦， 從而1222321 ，同理， 1222321， 1222321所以，12121212 (122232 )12 (122232 )12 (122232 )r1 r2 r3a b c111222 abc即：111222 abc5、

13、一直線分別交坐標(biāo)面 yoz, zox, xoy 于三點 A, B, C ，當(dāng)直線變動時，直線上的三定點p ，它與三點的距離分別為A,B,C 也分別在三個坐標(biāo)面上變動，另外，直線上有第四點a,b, c ，當(dāng)直線按照這樣的規(guī)定(即保持 A,B,C分別在三坐標(biāo)面上)變動，試求 p 點的軌 跡。解：設(shè) A(0, y1, z1 ), B(x2,0, z2),C(x3, y3,0) ，則知：x2z1x3, y3z1 z2z2y1z2 z1x2z1z2 y1C(z 2 1z ,z 2 1z ,0)z1 z2 z2 z1又設(shè)p(x,y,z)， pA a, pB b, pC2 2 2 (y y1)( z z1)

14、a(1)2222( x x2 ) y ( z z2 )b(2)(xx2z1z1 z2)2 (yz2y1z2z1)2 z2(3)又 p 在 AB 的連線上，x y y1z z1 ( 4)從（ 1）4）消去a 2 c2b2x1y1y1,z1,x2, z2，z2 z1得到即：22(1 b2) ac2 1c2b2 a 2b a2 c2 bc ba c22a滿足要求的平2、給定方程22y2 z22x2ABC( A B C 0)*）yoz 面（或 xoz面）試問當(dāng) 取異于 A,B,C 的各種數(shù)值時，它表示怎樣的曲面？222解：對方程 x y z 1 （ A B C 0）A B C1o、當(dāng)A 時，（* ）不

15、表示任何實圖形；2o、當(dāng) AB 時，（ * ）表示雙葉雙曲面；3o、當(dāng) BC 時，（* ）表示單葉雙曲面；4o、當(dāng)C 時，（* ）表示橢球面。222 xyz3、已知單葉雙曲面1 ，試求平面的方程， 使這平面平行于494且與曲面的交線是一對相交直線。解：設(shè)所求的平面為 x k ，則該平面與單葉雙曲面的交線為：*)222x2 y2 z2 1494 xk亦即2 2 2 y2 z2 1 k2 9 4 4 xkk為使交線( * )為二相交直線，則須： 10 ，即 k 24所以，要求的平面方程為： x 2同理，平行于 xoy 的平面要滿足它與單葉雙曲面的交線為二相交直線，則該平面為： y 34、設(shè)動點與

16、(4,0,0) 的距離等于這點到平面 x 1 的距離的兩倍，試求這動點的軌跡。解： x2 20y2 24x 116 0 此即為要求的射影柱面方程。6、設(shè)直線 l與m為互不垂直的兩條異面直線， C是l 與m的公垂線的中點， A, B兩點分別在直線 l ， m上滑動，且 ACB 90 ，試證直線 AB的軌跡是一個單葉雙曲面。亦即x1 x2 y1 y2 c2 0又設(shè) M(x,y,z)為 AB上任一點，則xx1yy1z cx2x1y2y1 2c(3)從（ 1）（ 3）中消去 x1,y1,x2 ,y2，得：2 (1 2)x2 (1 2 )y2 2z2 2c2即：22c2 cz22 1 c(4)2 cl

17、不垂直 m ，1（4）表示單葉雙曲面，即 AB 的軌跡是一單葉雙曲面。7、試驗證單葉雙曲面與雙葉雙曲面的參數(shù)方程分別為：x asecucosvy bsecusinv 與z ctgu解為：x atgu cosv y btgu sin v z csecu22 x2 y2 a2 b22z令確定 a與 b（1,2,6）和（ 13 , 1,1） 均在該曲面上。有：9ab42 12b12 2從而所以要求的橢圓拋物面的方程為：2236x2 6y2 2z55a236, 1 65 ,b2 5即： 18x2 3y2 5z2、適當(dāng)選取坐標(biāo)系，求下列軌跡的方程：（1）到一定點和一定平面距離之比為定常數(shù)的點的軌跡；（2

18、）與兩給定的異面直線等距離的點的軌跡，已知兩異面直線間的距離為 2a ，夾角為 2 。解：（ 1）取定平面為 xoy 面，過定點且垂直于 xoy 面的直線作為 z 軸，則定點的坐標(biāo)設(shè)為（0,0,a） ，而定平面即為 z 0，設(shè)比值常數(shù)為 c，并令所求的軌跡為 ，則點 M ( x, y, z)2 2 2 x y( z a)即 x2 y2 (1 c2) z2 2az a2 0x軸，使其與二異面直線的夾此為的方程。（2）取二異面直線的公垂線為軸，中點的坐標(biāo)為原點；再取角相等，則二異面直線的方程為：y tg x 0 zay tg x 0 za設(shè)所求的軌跡為 ，則M (x, y, z)tgzax2xy0

19、11 tgz0a21 tg 2222yzazaxxytg0011 tg1 tg 2解：略。5、試驗證橢圓拋物面與雙曲拋物面的參數(shù)方程可分別寫成：y bu sin v12 zu2式中的 u,v 為參數(shù)。 解：對方程2消去參數(shù) u,v 得： x 2a22y22 2zb2xau cos vx a( u v) 與 y b(u v)z 2uvx au cos v y bu sin v12zu2這正是橢圓拋物面的方程。對方程22消去參數(shù) u,v 得： x2 y2 2za2 b2這正是雙曲拋物面的方程。x a(u v) y b(u v) z 2uv 4.7單葉雙曲面與雙葉雙曲面的直母線1、 求下列直紋面的直

20、母線族方程：（1） x2 y2 z2 02) z axy即： (x z)(x z) y yx z y 亦即： t y x zx z ty (x z)t y解：（ 1）從原方程得： x2 z2y2為了避免取極限，將上方程寫成：s(x z) ty (x z)t sy若將原方程變形為： y2 z2x2 ，則可得到：u(y z) vx v(y z) ux1）（2）1若令 u 1 (t s) ，2v 1 （t s） ，則（ 2 ）便是（ 1 ）2原曲面的直母線族是（ 1），其中 s,t 不全為零。（ 2）原方程變形為： z ayx亦即： z ay txz xtay t由 z axyz syax s得：1

21、）2）（1）（2）即這原曲面的兩組直母線族方程。2、 求下列直線族所成的曲面（式中的為參數(shù)）（1）2 xyz；1102解：（1）原方程等價于xyz2) x 2 y 4z 4x 2 y 4 z 4從此式中消去 ，得： z2 x y 此即為直母線（ 1）所形成的曲面。22z2 1（2）從原方程中消去得： x y16 4 此即為（ 2）的直母線族所形成的曲面。223x 2y 4 z 0 的直母線。3、在雙曲拋物面 x yz 上，求平行于平面16 422解：雙曲拋物面 x y z 的兩族直母線為：16 4xy42xyv42(4x 2y)v(4x 2y ) z第一族直母線的方向矢量為： 2, 1, u第

22、二族直母線的方向矢量為： 2,1,v 據(jù)題意，要求的直母線應(yīng)滿足：2 3 2 4u 0u 12 3 2 4v 0v 2要求的直母線方程為：4、試證單葉雙曲面xy142xyz422 2 2xyz422x 2 y2 z2 1的任意一條直母線在 a 2 b2 c 2xoy 面上的射影，一定是其腰圓的切線。22x2 y2 1證明：單葉雙曲面的腰圓為a 2 b2z0兩直母線為：它在 xoy 面內(nèi)的射影為將（ 2）的第一式代入（ 1）xzacxzac2x a z0的第一式得：yv(1 by)1y1v (1 by)v1yvb ( v1 v) bv2）4y 2 4b 2 4又動直線與平面 2x 3y 5 0

23、平行，所以，2(x0 x1) 3(y0 y1 ) 0對動直線上任一點 M （x, y, z） ，有：x x0x1 x0y y0y1 y0z z0z1 z01 y 1 2v 1v by (v1 v)2112 2 212 12即： 2 (v )2 y2( 2 v2 )y (v)2 0b 2v bv2 v上述方程的判別式為：4 1 2 2 4 1 2 1 22 ( 2 v )2 ( v ) ( v) 0b2 v 2b2v v(2)與( 1)相比，證畢。x 6 y z 1 x y 8 z 45、求與兩直線與 相交，而且與平面 2x 3y 5 0 平3 2132 21行的直線的軌跡。解：設(shè)動直線與二已知

24、直線分別交于(x0, y0,z0), (x1,y1,z1)，則x0 6 y032z0 1 ， x1 y1 8 z1 41 3 2 21x1yz22從( 1)( 4)消去 x0,y0,z0,x1,y1,z1，得到： x9 y4 4z6、求與下列三條直線y 1 z 245都共面的直線所構(gòu)成的曲面。x 1x 1解：動直線不可能同時平行于直線 及直線y zy z不妨設(shè)其與第一條直線交于 p(1, , )注 p(1, , ) 與第二條直線的平面為： (x 1) (y z) 0過 p 與直線x23y 1 z 2的平面為 (x 1) 3(y z) 3(x 1) ( y z) 0 45動直線的方程為：( x

25、1) ( y z) 0(x 1) 3( y z) 3(x 1) (y z) 0從上式中消去參數(shù)，得： x222yz1直母線的每個平面一定經(jīng)過屬于另一族直母線的一條直母此為所要求的軌跡方程。7、試證明經(jīng)過單葉雙曲面的一線，并舉一反例，說明這個命題與雙曲拋物面的情況下不一定成立。22證明：單葉雙曲面 x 2 y2a 2 b22z2 1 的一族直母線為：c2u( x z) v(1 y ) a c bv( x z) u(1 y) a c b過該族中一條直母線的平面為： su( xz)v(1 y)tv(xz)u(1 y)0ac b ac bx zyx zy即： su( ) sv(1 ) tv( ) tu

26、(1 ) 0( 1)a cba cbxzym( ) n(1 ) 另一族直母線為： acbn( xz) m(1 y)acb過該族中一條直母線的平面為： km(xz)n(1 y)ln( xz)m(1 y)0ac b ac bxzyxzy即 km( ) kn(1 ) nl ( ) ml(1 ) 0(2)acbacb對照( 1)、( 2)得，只要令 m s,k u, n t,l v，得( 2)便是( 1)了亦即過 u 族每一直母線的任一平面都經(jīng)過 v 族中的一條直母線， 同理，對 v 族的直母線也有類似性質(zhì)。22對雙曲拋物面： x 2 y 2 2 z a2 b 2其族直母線為：y 2uabz*）x 取

27、其中的一條（即取定 u ），顯然平面a 母線中的任何一條，這是因為： v族直母線yby 2u 通過直母線（ *），但該平面不通過v族直ywby)v zb1 1 2v的方向矢量為 1,1, 2vb a ab1 1 1 1 0 2v20a b b a ab abxy平面 2u 不能通過 v 族中的任何直母線。 ab228、試求單葉雙曲面 x 2y 2a 2 b 22z 2 1上互相垂直的兩條直母線交點的軌跡方程。 c2解：由于過單葉雙曲面上每點僅有一條 u母線和一條 v 母線， 所以它的同族直母線不能相交，設(shè)單葉雙曲面的二垂直相交的直母線為：w( x z) u(1 y) a c bt( x z)a

28、cv(1 byxzv(ax cz) t(1將兩方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，得：a(t2 v2 ) x)y2bvt2vt22a(v2 t 2)a(v2 t 2)2vt22c(v2 t 2)a( uv wt ) x, yvw ut 又二直線垂直，x2 y2 z2 a2(uv wt)2 b2 (vw ut)2 c2(uv wt)2(vw ut) 2a2(u2v2 w2t2) b2(v2w2 u2t2) c2(u2v2 w2t 2) 2(a2 b2 c 2 )uvwt(vw ut) 2(u2v2 w2t2)(a2 c2) b2(v2w2 u2t2 ) 2(a2 b2 c 2 )uvwt(vw ut) 2(a2 c2)(w2v2 u2t2) b2(v2w2 u2t2 ) 2(a2 b2 c 2 )uvwt 4b2uvwt由此求出二直線的交點坐標(biāo)為：b(vw ut)c(uv wt ),zvw utvw ut2 2 2 2 a (u w )(vt2 ) 4b2uvwt c2 (u2 w2)(v2 t2) 0(vw ut)2(a2 b2 c2)(w2 v2 u2t2 2uvwt)(vw