角基礎(chǔ)知識(shí)講解

1、角（基礎(chǔ)）知識(shí)講解撰稿：孫景艷審稿：趙煒學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握角的概念及角的表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；2. 借助三角尺畫(huà)一些特殊角，掌握角大小的比較方法；3會(huì)利用角平分線(xiàn)的意義進(jìn)行有關(guān)表示或計(jì)算；4. 掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；5. 掌握互為余角和互為補(bǔ)角的概念及性質(zhì)，會(huì)用余角、補(bǔ)角及性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；6了解方位角的概念，并會(huì)用方位角解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】 【高清課堂：角 397364 角的概念】要點(diǎn)一、角的概念1 角的定義：1）定義一： 有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線(xiàn)是角的兩條邊如圖 1 所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn) O，邊是射線(xiàn) O

2、A 、OB2）定義二：圖一1 條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線(xiàn)旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部 如圖 2 所示，射線(xiàn) OA 繞它的端點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)到 OB 的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置 OA 是角的始邊，終止位置 OB 是角的終邊 要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）兩條射線(xiàn)有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)； 角的邊是射線(xiàn)； 角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)（2）平角與周角：如圖 1 所示射線(xiàn) OA 繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置 OB 和起始位置 OA 成一 條直線(xiàn)時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖 2 所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)， OB 和 OA 重合時(shí)，所形成的角叫 做周角2. 角的表示法： 角的幾何符號(hào)用“”表示，角的表示法通常有

3、以下四種：要點(diǎn)詮釋?zhuān)?用數(shù)字或小寫(xiě)希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線(xiàn)，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或 小寫(xiě)希臘字母3. 角的畫(huà)法（1）用三角板可以畫(huà)出 30、45、60、 90等特殊角（2）用量角器可以畫(huà)出任意給定度數(shù)的角（3）利用尺規(guī)作圖可以畫(huà)一個(gè)角等于已知角要點(diǎn)二、 角的比較與運(yùn)算1. 角度制及其換算 角的度量單位是度、 分、秒，把一個(gè)周角平均分成 360 等份， 每一份就是 1的角， 1 11的 為 1 分，記作“ 1”， 1的為 1 秒，記作“ 1”這種以度、分、秒為單位的角60 60的度量制，叫做角度制1周角 360， 1平角 180， 1 60， 1 60要點(diǎn)詮釋?zhuān)?在進(jìn)行有關(guān)度分秒

4、的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位， 從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算， 在相乘或相加時(shí)， 當(dāng)?shù)臀坏?數(shù)大于 60 時(shí)要向高一位進(jìn)位2. 角的比較： 角的大小比較與線(xiàn)段的大小比較相類(lèi)似，方法有兩種方法 1：度量比較法先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小方法 2：疊合比較法把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較如比較 AOB 和AOB的大小：如下圖，由圖（ 1）可得 AOB AOB3. 角的和、差關(guān)系 如圖所示， AOB 是1 與2 的和，記作： AOB 1+2； 1 是AOB 與2 的差，記作： 1 AOB -2要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?1）用量角器量角和畫(huà)

5、角的一般步驟： 對(duì)中（角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊 ）；重合 （一邊 與刻度尺上的零度線(xiàn)重合 ） ；讀數(shù) （ 讀出另一邊所在線(xiàn)的度數(shù) ） （ 2） 利用三角板除了可以做出 30、 45、 60、 90外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫(huà)出15， 75， 105， 120， 135， 150， 165的角4. 角平分線(xiàn)從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)， 把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線(xiàn)， 叫做這個(gè)角的平分線(xiàn) 如圖 所示， OC 是AOB 的角平分線(xiàn)， AOB 2AOC 2BOC，1AOC BOC= AOB 2要點(diǎn)詮釋?zhuān)?由角平分線(xiàn)的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線(xiàn)段中點(diǎn)的思維框架一樣 要點(diǎn)三、 余角和補(bǔ)角1.定義：

6、一般地，如果兩個(gè)角的和等于 90（直角 ） ，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè) 角是另一個(gè)角的余角類(lèi)似地，如果兩個(gè)角的和等于 180 （平角 ） ，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是 另一個(gè)角的補(bǔ)角2性質(zhì)：（1）等角的余角相等 （ 2）等角的補(bǔ)角相等要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們 的位置無(wú)關(guān)（2）一般地，銳角的余角可以表示為 （90 -） ，一個(gè)角 的補(bǔ)角可以表示為 （180 - ） 顯 然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大 90。要點(diǎn)四、方位角在航行和測(cè)繪等工作中， 經(jīng)常要用到表示方向的角 例如， 圖中射線(xiàn) OA 的方向是北偏 東 60

7、；射線(xiàn) OB 的方向是南偏西 30這里的“北偏東 60 ”和“南偏西 30 ”表示方 向的角，就叫做方位角要點(diǎn)詮釋?zhuān)? 1)正東，正西，正南，正北 4 個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示；( 2)方位角必須以正北和正南方向作為 “基準(zhǔn)”，“北偏東 60” 一般不說(shuō)成 “東偏北 30”；( 3)在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫(huà)出表示方向的“十字線(xiàn)”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；(4) 圖中的點(diǎn) O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(xiàn) (射線(xiàn) )都必須以 O為端點(diǎn)要點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題鐘表中共有 12 個(gè)大格，把周角 12 等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng) 30的角，分針 1 分鐘轉(zhuǎn) 6， 時(shí)針每

8、小時(shí)轉(zhuǎn) 30 ，時(shí)針 1 分鐘轉(zhuǎn) 0. 5，利用這些關(guān)系， 可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì) 算問(wèn)題【典型例題】類(lèi)型一、 角的概念及表示1. 下列語(yǔ)句正確的是()A兩條直線(xiàn)相交，組成的圖形叫做角B兩條具有公共端點(diǎn)的線(xiàn)段組成的圖形叫做角C兩條具有公共端點(diǎn)的射線(xiàn)組成的圖形叫做角D過(guò)同一點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角【答案】 C【解析】 根據(jù)角的定義判斷【總結(jié)升華】 角不能僅僅看作是有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)，角的兩種描述中都隱含了組成角的一個(gè)重要元素， 即兩條射線(xiàn)間的相對(duì)位置關(guān)系，這是角與“有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)”的重要區(qū)別舉一反三：【變式】判斷下列說(shuō)法是否正確(1) 兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角()(2) 平角是

9、一條直線(xiàn)()(3) 周角是一條射線(xiàn)()【答案】 (1) (2) (3)2.寫(xiě)出圖中 (1)能用一個(gè)字母表示的角； (2)以B 為頂點(diǎn)的角； ( 3)圖中共有幾個(gè)角 (小 于 180 ).【答案與解析】解： ( 1)能用一個(gè)字母表示的角 A、 C(2) 以 B 為頂點(diǎn)的角 ABE 、 ABC 、 CBE (3) 圖中共有 7 個(gè)角【總結(jié)升華】 ( 1)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)， 才可以用一個(gè)字母表示； ( 2)一般數(shù)角時(shí)不包括平角 和大于平角的角類(lèi)型二、角度制的換算3. ( 1)把 25. 72分別用度、分、秒表示(2)把 451230化成度【思路點(diǎn)撥】 第(1)題中 25.72中含有兩部分 25和

10、0. 72，只要把 0. 72化成分、 秒即 可第 (2)題中， 45 12 30含有三部分 45， 12和 30，其中 45已經(jīng)是度，只要 把 12和 30 化成度即可【答案與解析】解： ( 1) 0. 72 0. 72 60 43. 2，0. 20. 260 12，所以 25. 72 254312(2) 30 30 1 0.5 ，12.5 12.5 1 0.2160 60所以 451230 45.21總結(jié)升華】 無(wú)論由高級(jí)單位向低級(jí)化還是由低級(jí)單位向高級(jí)化，都必須逐級(jí)進(jìn)行， “越級(jí)” 化單位容易出錯(cuò)舉一反三：【變式】 ( 1)把 26. 29轉(zhuǎn)化為度、分、秒表示的形式；(2)把 33243

11、6轉(zhuǎn)化成度表示的形式【答案】 ( 1) 26. 29 26+0. 2926+0. 296026+17. 426+17+0. 460 2617 +24 261724(2)33243633+24+36 1 33+24+0.6 60 33+24. 6 33+24. 6 1 33. 4160【總結(jié)升華】 在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后再進(jìn)行計(jì) 算。類(lèi)型四、角的比較與運(yùn)算4. 不用量角器，比較圖 1和圖 2中角的大小 (用“”連接 )銳角，因此，在不能測(cè)量的情形下，我們可以將圖中的 向平移，讓與始邊重合， 觀察終邊的位置來(lái)比較角的大小 圖 2中的三個(gè)角按角的分類(lèi)， 1為銳角

12、， 2為直角， 3為鈍角，因此按照各自的范圍就可 以將它們的大小比較出來(lái)【答案與解析】解： ( 1)如圖所示，將 平移使 的始邊與 的始邊重合，發(fā)現(xiàn) 落在 內(nèi)部， 因此 (2) 由圖可知 1 是銳角， 190， 2 是直角，即 2 90， 3 是鈍角，即 90 3 2 1【總結(jié)升華】 本例給出的兩題是在不用量角器測(cè)量角的情況下比較角的大小， 一種方法是疊 合比較法， 另外一種方法則是根據(jù)角的分類(lèi)， 由圖形觀察角的不同分類(lèi)， 按照常見(jiàn)的銳角 直角鈍角平角周角來(lái)比較大小舉一反三：【變式】已知 AOB (如圖所示 ) ，畫(huà)一個(gè)角等于這個(gè)角作法： (1)以點(diǎn) O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA、O

13、B 于點(diǎn) C、D；( 2)畫(huà)一條射線(xiàn) OA，以點(diǎn) O為圓心， OC 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 l，交 OA于點(diǎn) C；(3) 以點(diǎn) C為圓心， CD 長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交弧 l 于點(diǎn) D；(4) 過(guò)點(diǎn) D畫(huà)射線(xiàn) OB，則 A O B AOB 5. 如圖所示，已知 OC 平分 BOD ，且 BOC 20， OB 是 AOD 的平分線(xiàn)，求 AOD 的度數(shù)【答案與解析】解：因?yàn)?OC 平分 BOD ，且 BOC 20， 所以 BOD 2BOC =2 20 40 又 OB 是 AOD 的平分線(xiàn)，所以 AOD 2BOD 2 40 80【總結(jié)升華】 應(yīng)用角的平分線(xiàn)的定義時(shí)根據(jù)兩點(diǎn)：若OB 是 AOC 的平分線(xiàn)，則 AOB1

14、 BOC AOC ； AOC 2AOB 2 BOC ，在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用2高清課堂：角 397364 角的有關(guān)計(jì)算例 3】舉一反三：變式】已知：如圖， OM是 AOB的平分線(xiàn)， ON是 BOC的平分線(xiàn)， AOC=80，求：MON.O1=212分 AOB， ON平分 COB，AOB， BON=1 BOC.(角平分線(xiàn)的定義 )BON 2 BOC=1 ( AOB+BOC)11 = AOC= 80 =40 .22 即 MON=40 .類(lèi)型五、余角和補(bǔ)角【高清課堂：角 397364 角的有關(guān)計(jì)算例 1】6. 已知角 的余角比角 的補(bǔ)角的 1 還少 20 ，求角 的余角。3【答案與解析】1 解: 由題

15、意可得： 角 的余角為 (90 - ), 補(bǔ)角為 (180 - ) ，于是得： 90 - = (180- )-20 ，3 解得 ： =75 90 - =90-75 =15 答：角 的余角為 15 .【總結(jié)升華】 此題的關(guān)鍵是掌握互為余角、 補(bǔ)角的定義， 然后根據(jù)題中的關(guān)鍵語(yǔ)句列出方程 或代數(shù)式，求出相應(yīng)角的度數(shù) .7. A 看 B 的方向是北偏東 30，那么 B看 A 的方向是 ()A 南偏東 60B南偏西 60C南偏東 30D南偏西 30【答案】 D【解析】 依題意畫(huà)出示意圖由圖可知，圖中 1 即表示從 A 看 B 的北偏東 30， 2 是 從 B 看A 的方位角由此可確定從 B 看 A 是

16、南偏西 30總結(jié)升華】 從本例的分析與結(jié)果來(lái)看， 從 A 看 B 與從 B 看 A 正好是一對(duì)對(duì)立的觀察過(guò)程， 其方向是一種 “相反” 的對(duì)應(yīng)關(guān)系 方位角的確定首先以什么點(diǎn)為基點(diǎn) (即人站在此處觀察) 要弄清楚，再由正南或正北到視線(xiàn)夾角測(cè)量出來(lái)舉一反三：【變式】小王從家出發(fā)向南偏東 30的方向走了 1000 米到達(dá)小軍家，此時(shí)小王家在小軍家 的方向【答案】 北偏西 30類(lèi)型六、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題8. 計(jì)算： 4 時(shí) 15 分時(shí)針與分針的夾角 . 【答案與解析】 解法一：如圖( 1)，設(shè) 4 時(shí) 15 分時(shí)針與分針的夾角為 角指小于 180的角 ) ，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為： 30 4+0 . 5 15， 分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為： 6 15，所以 304+0.515-61537. 5解法二：如圖( 1)，AOC30130， BOC0.5157.5所以 AOB 37. 5即 4 時(shí) 15 分時(shí)針與分針的夾角為 37. 5【總結(jié)升華】 求鐘表