高中數(shù)學(xué)論文：淺談引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

1、淺談引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)家波利亞說:“類比是一個(gè)偉大的引路人”。在數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究中，類比是進(jìn)行合情推理的一種非常重要的思維方法。它是大自然中各種事物之間的一種相似，當(dāng)兩個(gè)對(duì)象系統(tǒng)中某些對(duì)象間的關(guān)系存在一致性或者某些對(duì)象間存在同構(gòu)關(guān)系，或者一對(duì)多的同態(tài)關(guān)系時(shí)，我們便可對(duì)這兩個(gè)對(duì)象系統(tǒng)進(jìn)行類比，從而可以從一個(gè)對(duì)象系統(tǒng)得到的某些結(jié)果去猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)另一系統(tǒng)的相應(yīng)的新結(jié)果;在我們分析問題解決問題的過程中則可以利用一個(gè)較簡(jiǎn)單的類比問題的解答方法或結(jié)果，去找到原問題的解決方法。在我們平時(shí)的學(xué)習(xí)與生活中處處充滿著類比。比如：“仿生學(xué)”就是典型的類比?？梢哉f，類比是探索問題、解決問題與發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的一

2、種卓有成效的思維方法。在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開拓新領(lǐng)域和創(chuàng)造數(shù)學(xué)新分支的重要途徑。學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中應(yīng)該學(xué)會(huì)運(yùn)用這種獨(dú)特的思維方法，教師在教學(xué)過程中則應(yīng)努力培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比方法進(jìn)行合情推理的能力。如果a,b是兩個(gè)在某些方面類似的事物，從a具有某些性質(zhì)推想b也有類似的性質(zhì)，這種思維叫做類比思維。如學(xué)生在學(xué)不等式的加減移項(xiàng)法則時(shí)，應(yīng)用等式的加減移項(xiàng)法則作為類比就比較容易理解這些問題。但這種類比卻又容易造成以后乘除移項(xiàng)的失誤。有些學(xué)生根據(jù)“同向不等式可以相加”、“正數(shù)的同向不等式可以相乘”，根據(jù)類比推理得出“同向不等式可以相減、“正數(shù)的同向不等式可以相除這樣的錯(cuò)誤

3、結(jié)論來。這也說明類比的結(jié)果不一定正確。類比推理只是一種可能性的合情推理，而不是一種必然性的正確推理；要得到正確的結(jié)論，我們還必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明才行。一、運(yùn)用類比方法溫故知新類比是從舊知識(shí)推出新知識(shí)的一種思考方法，也是人們聯(lián)想的思維工具。在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，對(duì)出現(xiàn)的新問題與平面幾何的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行類比，大膽猜想，可以發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，從而溫故知新。如在學(xué)習(xí)三棱錐的體積時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生與三角形的面積進(jìn)行類比：因?yàn)槿切蔚牡走呴L(zhǎng)a對(duì)應(yīng)三棱錐的底面積s，三角形底邊上的高h(yuǎn)對(duì)應(yīng)三棱錐的底面s上的高，而二維空間里的三角形的面積公式，所以由類比方法推測(cè)，三維空間里的三棱錐的體積應(yīng)為。再比如證明三角形面積公式可以把三

4、角形補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形，三角形的面積是平行四邊形的面積的一半。類似地，要求三棱錐的體積，應(yīng)把它補(bǔ)成一個(gè)三棱柱，然后再分割成三個(gè)等體積的三棱錐，這就是課本上的方法如果我們教師運(yùn)用類比的方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，那么他們對(duì)這種方法的理解就會(huì)毫無(wú)困難。另外如等差數(shù)列的求和公式的推倒方法-倒序相加法，就是利用補(bǔ)形的方法，它的公式形式與梯形的面積公式的形式完全相同，這樣進(jìn)行類比，可以加深學(xué)生的理解和記憶,同時(shí)拓寬了視野。二、利用類比探討新結(jié)論、發(fā)現(xiàn)新命題1、數(shù)學(xué)中許多定理、公式和法則都是用類比推理提出來的。事實(shí)上，在平面幾何和立體幾何中，通過類比推廣，可以得到一系列相近或相似的結(jié)論：（1）三角形被平行于它一

5、邊的直線所截得的三角形與原三角形的面積的比等于它們的對(duì)應(yīng)邊的平方比。（2） 棱錐被平行于它底面的平面所截得的小棱錐與原棱錐的體積的比等于它們的對(duì)應(yīng)高(或?qū)?yīng)側(cè)棱)的立方比。2、類比方法，還是編制數(shù)學(xué)新命題的一個(gè)主要工具把勾股定理：在rtabc中，c=90，則，進(jìn)行類比推廣到三維空間，可以得到以下命題：1) 長(zhǎng)方體的對(duì)角線的平方等于從它的一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)的三條棱的平方和。2) 三棱oa、ob、oc兩兩垂直的直三面角組成的四面體o-abc中，3) 長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與它的一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成的角分別為、，則4) 長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與它相鄰的三個(gè)面所成的角分別為、，則三、利用類比尋找解題的思維方向類

6、比不僅是一種從特殊到特殊的推理方法，也是一種探索解題思路、猜測(cè)問題答案或結(jié)論的一種有效的方法。這對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)造性思維能力有著極其重要的作用，教學(xué)中應(yīng)引起足夠的重視。.1）幾何中，有這樣的一個(gè)問題曾難倒了部分學(xué)生：“求證正四面體a-bcd內(nèi)的任意一點(diǎn)p到各個(gè)面的距離之和等于常數(shù)”。其實(shí)只要與平面幾何的問題進(jìn)行類比：“求證等邊三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)p到三角形的三邊的距離之和等于常數(shù)”。由于平幾中該命題的證明采用的“面積法”，類似地，這個(gè)立幾問題應(yīng)采用“體積法”，于是問題迎刃而解，達(dá)到了“出奇制勝”的良好效果。2） 事實(shí)上，當(dāng)我們遇到一個(gè)較為生疏的難題而又無(wú)從下手的時(shí)候，如果能構(gòu)造

7、一個(gè)類似的熟悉問題，從這個(gè)熟悉問題的解答過程中得到啟發(fā)，那么就很有可能悟出原問題的解法。下面的這個(gè)問題是非常典型的：“設(shè)a=1，2，3，4，5，b=6，7，8，從a到b的映射中，滿足：f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)的映射一共有多少個(gè)?”乍看起來，有些學(xué)生感到這個(gè)問題好象無(wú)從下手。你見過一個(gè)類似的問題嗎?啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比聯(lián)想：“方程x+y+z+u=100總共有多少組正整數(shù)解?”這個(gè)問題你是怎么解決的?立即有學(xué)生想到:相當(dāng)于用三塊隔板將l00個(gè)排成一列的相同的小球分成四部分，每部分至少有一個(gè)球，有多少種方法?顯然是有種方法。由此，從a到b的映射，共分為三類:五對(duì)一的映射有個(gè);五對(duì)二的映射

8、，先把1、2、3、4、5用隔板分成兩部分，這兩部分而分別與6、7、8中選出兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)，共有個(gè);五對(duì)三的映射，先把1、2、3、4、5用兩塊板分成三部分，分別對(duì)應(yīng)6、7、8 三個(gè)元素，共有個(gè)。因此這樣的映射總共有21個(gè)。問題獲解。類比思維在數(shù)學(xué)知識(shí)延伸和拓廣過程中常借助于比較、聯(lián)想用作啟發(fā)誘導(dǎo)以尋求思維的變異和發(fā)散。在歸納知識(shí)系統(tǒng)時(shí)又可用來串聯(lián)不同層次的類似內(nèi)容，以幫助理解和記憶。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，無(wú)論是對(duì)于命題本身或解題思路方法，都是產(chǎn)生猜測(cè)、獲得命題的推廣和引伸的原動(dòng)力。因此，類比方法既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效方法，其思維作用包含著整理性和探索發(fā)現(xiàn)性兩個(gè)方面。許多形式不同的數(shù)學(xué)習(xí)題具有相同或相似的特征，只要理解、掌握了一個(gè)問題的特征和解法，應(yīng)用類比，這類問題就迎刃而解了。從一定意義上說，這是一個(gè)把學(xué)生從題海中解放出來的有效方法。類比方法符合人們認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律和當(dāng)代教育學(xué)、心理學(xué)規(guī)律。應(yīng)用類比方法，不僅可把抽象的新知識(shí)納入到已有知識(shí)系統(tǒng)中來，變抽象為形象、變難為易、變繁為簡(jiǎn)，同時(shí)又可激發(fā)學(xué)生聯(lián)想，具有啟發(fā)思路、舉一反三、觸類旁通的作用。所以不失為 一種促進(jìn)學(xué)生知識(shí)“遷移”，提高學(xué)生素質(zhì)的有效方法。但由于 類比是一種或然性的推理，有時(shí)結(jié)論并不可靠，特別是以現(xiàn)象