淺析行列式的計(jì)算技巧 畢業(yè)論文 13頁(yè)

1、本科學(xué)年論文(設(shè)計(jì))題目： 淺析行列式的計(jì)算技巧學(xué) 院 統(tǒng)計(jì)與數(shù)理學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí) 2007級(jí)1班 學(xué) 號(hào) 姓 名 指導(dǎo)教師 教務(wù)處制二一年六月 摘要：本文通過(guò)引用例題來(lái)對(duì)一些特殊行列式的求解技巧進(jìn)行歸納分析，主要演示了化三角形法，降階法，遞推法，數(shù)學(xué)歸納法，輔助行列式法，拉普拉斯定理的應(yīng)用，范德蒙得行列式的應(yīng)用以及方陣特征值和行列式的關(guān)系的應(yīng)用等方法。引言：在平常的學(xué)習(xí)及其考試中經(jīng)常能遇見(jiàn)有關(guān)特殊行列式計(jì)算的題目，如果不能掌握正確的方法和思維方式，此類(lèi)型的題將會(huì)是考生的一個(gè)障礙，本人希望通過(guò)對(duì)若干經(jīng)典考題的解析，使得學(xué)生對(duì)行列式求解類(lèi)型的題目有章可循。下面是對(duì)一些特殊行列

2、式求解技巧的淺析，前兩種方法是相對(duì)基本的方法，應(yīng)用的范圍較廣，后面幾種方法針對(duì)性較強(qiáng)，要對(duì)行列式的特征進(jìn)行準(zhǔn)確的判斷。方法一化三角形法化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接?jì)算的一種方法。這是計(jì)算行列式的基本方法重要方法之一。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計(jì)算。原則上，每個(gè)行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對(duì)于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計(jì)算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。例題：計(jì)算下列行列式的值：分析顯然若直接化為三角形行列式，計(jì)

3、算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開(kāi)始；每一列與它一列中有n-1個(gè)數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n-1列開(kāi)始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計(jì)算就簡(jiǎn)單多了。解：?jiǎn)栴}推廣例1中，顯然是1,2，n-1,n這n個(gè)數(shù)在循環(huán)，那么如果是a0,a1,an-2,an-1這n個(gè)無(wú)規(guī)律的數(shù)在循環(huán)，行列式該怎么計(jì)算呢？把這種行列式稱為“循環(huán)行列式”。2從而推廣到一般，求下列行列式：解：令 首先注意，若u為n次單位根（即un=1），則有：為范德蒙行列式又例1中，循環(huán)的方向與該推廣在方向上相

4、反所以例1與相對(duì)應(yīng)方法二降階法設(shè)為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開(kāi)定理有或其中為中的元素的代數(shù)余子式按行（列）展開(kāi)法可以將一個(gè)n階行列式化為n個(gè)n-1階行列式計(jì)算。若繼續(xù)使用按行（列）展開(kāi)法，可以將n階行列式降階直至化為許多個(gè)2階行列式計(jì)算，這是計(jì)算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開(kāi)并不能減少計(jì)算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）含有較多零元素時(shí)，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開(kāi)法時(shí)，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開(kāi)。例題：計(jì)算20階行列式分析這個(gè)行列式中沒(méi)有一個(gè)零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開(kāi)法逐次降階直至化許許多多個(gè)2階行列

5、式計(jì)算，需進(jìn)行20！*201次加減法和乘法運(yùn)算，這人根本是無(wú)法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對(duì)應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計(jì)算：解：以上就是計(jì)算行列式最基本的兩種方法，接下來(lái)介紹的一些方法，不管是哪種，都要與行列式的性質(zhì)和基本方法結(jié)合起來(lái)。下面是一常用的方法：方法三 遞推法應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個(gè)n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個(gè)低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式

6、的值，這種計(jì)算行列式的方法稱為遞推法。需要注意的是，用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒(méi)有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。例題：（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）分析此行列式的特點(diǎn)是：除主對(duì)角線及其上下兩條對(duì)角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對(duì)角”行列式1。從行列式的左上方往右下方看，即知dn-1與dn具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計(jì)算。證明：dn按第1列展開(kāi)，再將展開(kāi)后的第二項(xiàng)中n-1階行列式按第一行展開(kāi)有：這是由dn-1 和dn-2表示dn的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低階遞推，計(jì)算較繁，注意到

7、上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：或現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：同樣有：因此當(dāng)時(shí)由（1）（2）式可解得： 證畢。方法四 數(shù)學(xué)歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來(lái)證明行列式等式。因?yàn)榻o定一個(gè)行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。（數(shù)學(xué)歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說(shuō)了）例題：.證明：證：當(dāng)時(shí)，有：結(jié)論顯然成立?，F(xiàn)假定結(jié)論對(duì)小于等于時(shí)成立。即有：將按第1列展開(kāi)，得： 故當(dāng)對(duì)時(shí)，等式也成立。 得證。方法五.輔助行列式法輔助行列式法應(yīng)用條件：行列式各行

8、（列）和相等，且除對(duì)角線外其余元素都相同。解題程序：1）在行列式d的各元素中加上一個(gè)相同的元素x，使新行列式除主對(duì)角線外，其余元素均為0；2）計(jì)算的主對(duì)角線各元素的代數(shù)余子式;3)例題：.求下列n階行列式的值。解：在的各元素上加上后，則有：又，其余的為零。點(diǎn)評(píng)若知道輔助行列式法的解題程序，用此法就可輕松地解出此題。但根據(jù)該行列式的特點(diǎn)，我們也可以用加邊法，把大部分元素化為零，再化為三角形行列式也可輕易解出該行列式。以下幾種方法是利用到公式，所以有的方法在這只簡(jiǎn)單地給出其應(yīng)用，只要記住公式，會(huì)應(yīng)用就行。方法六 拉普拉斯定理的應(yīng)用拉普拉斯定理的四種特殊情形：1） 2）3） 4）例題： 計(jì)算n階行列

9、式：解：方法七 利用范德蒙行列式范德蒙行列式：例題： 計(jì)算n階行列式9解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類(lèi)型。先將的第n行依次與第n-1行，n-2行，,2行，1行對(duì)換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，,2行對(duì)換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行對(duì)換，這樣，共經(jīng)過(guò)（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行對(duì)換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得： 方法八 方陣特征值與行列式關(guān)系的應(yīng)用。例題： 求下列行列式的值：解：顯然的個(gè)特征值為。 的個(gè)特征值為。故的特征值為 由

10、矩陣特征值與對(duì)應(yīng)行列式的關(guān)系知：需要注意的是，的特征值也可由特征值的定義得到。上述通過(guò)舉例分析來(lái)闡述各種特殊行列式計(jì)算的一些技巧和思維方式，可以看出數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間是具有很強(qiáng)的聯(lián)系性的，我們往往要在注重基礎(chǔ)的前提下發(fā)散思維來(lái)尋找問(wèn)題的突破口。我們同樣可以看出，一些技巧的針對(duì)性是非常強(qiáng)的，我們需要在日常的學(xué)習(xí)中不斷的積累總結(jié)，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，在數(shù)學(xué)的征途中走得更遠(yuǎn)。參考文獻(xiàn)：1、 李師正等 高等代數(shù)復(fù)習(xí)解題方法與技巧 高等教育出版社 20052、 張賢科 許甫華 高等代數(shù)學(xué) 清華大學(xué)出版社 20003、 劉學(xué)鵬等 高等代數(shù)復(fù)習(xí)與研究 南海出版公司 19954、 張禾瑞 郝鈵新 高等代數(shù) 高等教育出版社 19935、 許甫華 張賢科 高等代數(shù)解題方法