控制工程基礎(chǔ)3章

1、第三章第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析方法線性系統(tǒng)的時(shí)域分析方法 分析控制系統(tǒng)的分析控制系統(tǒng)的第一步是建立模型第一步是建立模型，數(shù)學(xué)模，數(shù)學(xué)模 型一旦建立，型一旦建立，第二步第二步 分析控制性能。分析控制性能。分析有分析有 多種方法，主要有多種方法，主要有時(shí)域分析法時(shí)域分析法，頻域分析法頻域分析法， 根軌跡法根軌跡法等，每種方法，各有千秋，均有他等，每種方法，各有千秋，均有他 們的適用范圍和對(duì)象。本章先討論時(shí)域法。們的適用范圍和對(duì)象。本章先討論時(shí)域法。 時(shí)域分析法時(shí)域分析法 時(shí)域法的優(yōu)點(diǎn)：時(shí)域法的優(yōu)點(diǎn)： 直觀易于接受直觀易于接受準(zhǔn)確提供準(zhǔn)確提供 系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息。 在分析

2、和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，對(duì)各種控制系統(tǒng)在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，對(duì)各種控制系統(tǒng) 性能得有評(píng)判、比較的依據(jù)。這個(gè)依據(jù)可以性能得有評(píng)判、比較的依據(jù)。這個(gè)依據(jù)可以 通過(guò)對(duì)這些系統(tǒng)加上各種特定的輸入信號(hào)，通過(guò)對(duì)這些系統(tǒng)加上各種特定的輸入信號(hào)， 比較它們對(duì)特定的輸入信號(hào)的響應(yīng)來(lái)建立。比較它們對(duì)特定的輸入信號(hào)的響應(yīng)來(lái)建立。 許多設(shè)計(jì)準(zhǔn)則就建立在這些信號(hào)的基礎(chǔ)上，許多設(shè)計(jì)準(zhǔn)則就建立在這些信號(hào)的基礎(chǔ)上， 因?yàn)橄到y(tǒng)對(duì)典型試驗(yàn)信號(hào)的響應(yīng)特性，與系因?yàn)橄到y(tǒng)對(duì)典型試驗(yàn)信號(hào)的響應(yīng)特性，與系 統(tǒng)對(duì)實(shí)際輸入信號(hào)的響應(yīng)特性之間，存在著統(tǒng)對(duì)實(shí)際輸入信號(hào)的響應(yīng)特性之間，存在著 一定的關(guān)系；所以采用一定的關(guān)系；所以采用試驗(yàn)信號(hào)試驗(yàn)信號(hào)來(lái)評(píng)

3、價(jià)系統(tǒng)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng) 性能是合理的。性能是合理的。 一、線性系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)及性能指標(biāo)一、線性系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)及性能指標(biāo) 瞬態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在某一輸入信號(hào)的作用下，其輸出量瞬態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在某一輸入信號(hào)的作用下，其輸出量 從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)之間的響應(yīng)過(guò)程，有時(shí)也稱(chēng)過(guò)渡從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)之間的響應(yīng)過(guò)程，有時(shí)也稱(chēng)過(guò)渡 過(guò)程、動(dòng)態(tài)過(guò)程。過(guò)程、動(dòng)態(tài)過(guò)程。 由于實(shí)際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦及其它一些原因，系由于實(shí)際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦及其它一些原因，系 統(tǒng)輸出量不可能完全復(fù)現(xiàn)輸入量的變化。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)統(tǒng)輸出量不可能完全復(fù)現(xiàn)輸入量的變化。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 和參數(shù)選擇情況，瞬態(tài)響應(yīng)表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振和參數(shù)選擇情況，瞬態(tài)

4、響應(yīng)表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振 蕩形式。顯然，一個(gè)可以實(shí)際運(yùn)行的系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)必蕩形式。顯然，一個(gè)可以實(shí)際運(yùn)行的系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)必 須是衰減的，即必須是穩(wěn)定的。瞬態(tài)過(guò)程除提供系統(tǒng)穩(wěn)須是衰減的，即必須是穩(wěn)定的。瞬態(tài)過(guò)程除提供系統(tǒng)穩(wěn) 定性的信息外，還可提供響應(yīng)速度及阻尼情況等信息。定性的信息外，還可提供響應(yīng)速度及阻尼情況等信息。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：當(dāng)某一信號(hào)輸入時(shí)，系統(tǒng)在時(shí)間趨于無(wú)窮穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：當(dāng)某一信號(hào)輸入時(shí)，系統(tǒng)在時(shí)間趨于無(wú)窮 大時(shí)的輸出狀態(tài)，也稱(chēng)穩(wěn)態(tài)過(guò)程或靜態(tài)過(guò)程。表征系統(tǒng)大時(shí)的輸出狀態(tài)，也稱(chēng)穩(wěn)態(tài)過(guò)程或靜態(tài)過(guò)程。表征系統(tǒng) 輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)

5、有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差 的信息。的信息。 在分析瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，往往選擇典型輸入信號(hào)，具有在分析瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，往往選擇典型輸入信號(hào)，具有 以下優(yōu)點(diǎn)：以下優(yōu)點(diǎn)： 數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)單，給定典型信號(hào)下的性能指標(biāo)，便數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)單，給定典型信號(hào)下的性能指標(biāo)，便 于分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)；于分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)； 典型輸入的響應(yīng)往往可以作為分析復(fù)雜輸入時(shí)系典型輸入的響應(yīng)往往可以作為分析復(fù)雜輸入時(shí)系 統(tǒng)性能的依據(jù)；統(tǒng)性能的依據(jù)； 便于進(jìn)行系統(tǒng)辯識(shí)，確定未知環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。便于進(jìn)行系統(tǒng)辯識(shí)，確定未知環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。 典型輸入信號(hào)：典型輸入信號(hào)： 選擇何種典型輸入信號(hào)，應(yīng)視不同系統(tǒng)的具體工選擇何種典型輸入信號(hào)，應(yīng)視不同系統(tǒng)的具體工 作條件而定。作

6、條件而定。 系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)往往選擇階躍函數(shù)作為輸入系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)往往選擇階躍函數(shù)作為輸入 來(lái)定義。來(lái)定義。 分析系統(tǒng)的頻率特性一般用正弦函數(shù)作為典型輸分析系統(tǒng)的頻率特性一般用正弦函數(shù)作為典型輸 入信號(hào)。入信號(hào)。 一般認(rèn)為，階躍輸入對(duì)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是最嚴(yán)峻的工一般認(rèn)為，階躍輸入對(duì)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是最嚴(yán)峻的工 作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動(dòng)態(tài)性作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動(dòng)態(tài)性 能滿(mǎn)足要求，其它輸入函數(shù)的動(dòng)態(tài)性能也是滿(mǎn)能滿(mǎn)足要求，其它輸入函數(shù)的動(dòng)態(tài)性能也是滿(mǎn) 意的。意的。 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函 數(shù)作用下，動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間數(shù)作用下，動(dòng)態(tài)

7、過(guò)程隨時(shí)間t t的變化狀況的指標(biāo)。的變化狀況的指標(biāo)。 通常在階躍函數(shù)的作用下，測(cè)定或計(jì)算系統(tǒng)的通常在階躍函數(shù)的作用下，測(cè)定或計(jì)算系統(tǒng)的 動(dòng)態(tài)性能。為了便于分析和比較，假定系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)性能。為了便于分析和比較，假定系統(tǒng)在 單位階躍輸入信號(hào)作用前處于靜止或穩(wěn)態(tài)，即單位階躍輸入信號(hào)作用前處于靜止或穩(wěn)態(tài)，即 輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零。輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零。 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 0 t Mp超調(diào)量 允許誤差 1 0.9 0.5 0.1 tr tp ts 圖3-2表示性能指標(biāo)td,tr,tp,Mp和ts的單位階躍響應(yīng)曲線 td h(t) 0.02或0.05 )(h )(h )(h )(h 上升

8、時(shí)間上升時(shí)間 （Rise Time） 響應(yīng)曲線從零時(shí)響應(yīng)曲線從零時(shí) 刻首次達(dá)到穩(wěn)態(tài)刻首次達(dá)到穩(wěn)態(tài) 值的時(shí)間。對(duì)于值的時(shí)間。對(duì)于 沒(méi)有振蕩的系統(tǒng)，沒(méi)有振蕩的系統(tǒng)， 定義從穩(wěn)態(tài)值的定義從穩(wěn)態(tài)值的 10%上升到上升到90%， 所需的時(shí)間。上所需的時(shí)間。上 升時(shí)間越短，響升時(shí)間越短，響 應(yīng)速度越快應(yīng)速度越快 : r t 峰值時(shí)間峰值時(shí)間 （Peak Time）：）：響應(yīng)曲線響應(yīng)曲線 達(dá)到過(guò)調(diào)量的第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。達(dá)到過(guò)調(diào)量的第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。 p t 延遲時(shí)間延遲時(shí)間 ： （Delay Time）響應(yīng)曲）響應(yīng)曲 線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的 一半所需的時(shí)間。一半所需的時(shí)間。 d

9、 t 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 0 t Mp超調(diào)量 允許誤差 1 0.9 0.5 0.1 tr tp ts 圖3-2表示性能指標(biāo)td,tr,tp,Mp和ts的單位階躍響應(yīng)曲線 td h(t) 0.02或0.05 )(h )(h )(h )(h 調(diào)節(jié)調(diào)節(jié)時(shí)間時(shí)間 ： （Settling Time） 響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保 持在一個(gè)允許誤差范圍持在一個(gè)允許誤差范圍 內(nèi)，所需的最短時(shí)間。內(nèi)，所需的最短時(shí)間。 用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)（通用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)（通 常取常取5%或或2%）作為誤）作為誤 差范圍差范圍 s t %100 )( )()( % h hth M p p p t r t 或或

10、 評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度； s t同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。 % p M 評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度，即平穩(wěn)度，即平穩(wěn)度。 超調(diào)量超調(diào)量 （Maximum Overshoot）：指響應(yīng)）：指響應(yīng) 的最大偏離量的最大偏離量h(tp)于于 終值之差的百分比，即終值之差的百分比，即 % p M 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差ess 穩(wěn)態(tài)誤差是穩(wěn)態(tài)誤差是 當(dāng)時(shí)間當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮趨于無(wú)窮 時(shí)，系統(tǒng)希望的時(shí)，系統(tǒng)希望的 輸出與實(shí)際的輸輸出與實(shí)際的輸 出之差。出之差。 )()()(thtrte誤差的數(shù)學(xué)表達(dá)式為誤差的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)

11、穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為)(limtee t ss 0 t Mp超調(diào)量 允許誤差 1 0.9 0.5 0.1 tr tp ts 圖3-2表示性能指標(biāo)td,tr,tp,Mp和ts的單位階躍響應(yīng)曲線 td h(t) 0.02或0.05 )(h )(h )(h )(h 二、一階系統(tǒng)的時(shí)域分析二、一階系統(tǒng)的時(shí)域分析 用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)用一階微分方程描述的控制系統(tǒng) 稱(chēng)為一階系統(tǒng)。圖（稱(chēng)為一階系統(tǒng)。圖（a）所示的）所示的 RC電路，其微分方程為電路，其微分方程為 i(t) + r(t) c(t) + （a） 電路圖 R C )(trU dt du RC c c )()()(

12、trtCtCT 其中其中C(t)為電路輸出電壓，為電路輸出電壓，r(t)為電路輸為電路輸 入電壓，入電壓，T=RC為時(shí)間常數(shù)。為時(shí)間常數(shù)。 當(dāng)初始條件為零時(shí)，其傳遞函數(shù)為當(dāng)初始條件為零時(shí)，其傳遞函數(shù)為 1 1 )( )( )( TSsR sC s R(s) C(s) （b）方塊圖 I(s) R(s) C(s) （c）等效方塊圖 這種系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)非周期性的慣性環(huán)節(jié)。這種系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)非周期性的慣性環(huán)節(jié)。 下面分別就不同的典型輸入信號(hào)，分析該系統(tǒng)的下面分別就不同的典型輸入信號(hào)，分析該系統(tǒng)的 時(shí)域響應(yīng)。時(shí)域響應(yīng)。 因?yàn)閱挝浑A躍函數(shù)的拉氏變換為因?yàn)閱挝浑A躍函數(shù)的拉氏變換為 S sR 1 )( ，

13、則系統(tǒng)的輸出由下式可知?jiǎng)t系統(tǒng)的輸出由下式可知 為為 1 11 1 1 )()()( TS T SSTS sRssC 1 1 )( )( )( TSsR sC s 對(duì)上式取拉氏反變換，得對(duì)上式取拉氏反變換，得 T t etc 1)( 0t 圖3-4指數(shù)響應(yīng)曲線 1 0 63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3% T 2T3T 4T 5T 0.632 t c(t)=1-ec(t) 1、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) Ttd69. 0 Ttr20. 2 誤差帶）%5(3Tts 不存在和 P M p t 一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，無(wú)振蕩；一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，無(wú)振蕩； 經(jīng)過(guò)

14、經(jīng)過(guò)T，曲線上升到，曲線上升到0.632的程度。同樣，用實(shí)驗(yàn)的程度。同樣，用實(shí)驗(yàn) 方法測(cè)出曲線達(dá)到方法測(cè)出曲線達(dá)到0.632高度點(diǎn)所需的時(shí)間，就是慣高度點(diǎn)所需的時(shí)間，就是慣 性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T。 經(jīng)過(guò)時(shí)間經(jīng)過(guò)時(shí)間3T-4T，響應(yīng)曲線已達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的，響應(yīng)曲線已達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%- 98%，可以認(rèn)為其調(diào)整時(shí)間已經(jīng)完成，一般取調(diào)整，可以認(rèn)為其調(diào)整時(shí)間已經(jīng)完成，一般取調(diào)整 時(shí)間時(shí)間 ts=(3-4)T。 響應(yīng)曲線的斜率初始值為響應(yīng)曲線的斜率初始值為1/T，并隨時(shí)間的推移而，并隨時(shí)間的推移而 下降。下降。 0102030405060 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0

15、.7 0.8 0.9 1 一 階 慣性 環(huán)節(jié) 的 單位階 躍 響 應(yīng)曲 線 t x0(t) 2 S 1 R(s) TS T S T SSTS sRssC 1 11 1 1 )()()( 2 22 當(dāng)當(dāng) 對(duì)上式求拉氏反變換，得對(duì)上式求拉氏反變換，得： t T t T TeTteTttc 11 )1 ()( 因?yàn)橐驗(yàn)檎`差信號(hào)為：誤差信號(hào)為：)1 ()()()( 1 t T eTtctrte 所以一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為所以一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為 Ttee t ss )(lim 上上式表明：式表明：一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入信號(hào)。一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入信號(hào)。 由于系統(tǒng)存在慣性，

16、對(duì)應(yīng)的輸出信號(hào)在數(shù)值上要滯后于輸由于系統(tǒng)存在慣性，對(duì)應(yīng)的輸出信號(hào)在數(shù)值上要滯后于輸 入信號(hào)一個(gè)常量入信號(hào)一個(gè)常量T，這就是穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生的原因。，這就是穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生的原因。 減少時(shí)間常數(shù)減少時(shí)間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應(yīng)的速度，還可減少不僅可以加快瞬態(tài)響應(yīng)的速度，還可減少 系統(tǒng)跟蹤斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)跟蹤斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差。 2、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 0102030405060 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一 階 系統(tǒng) 的 單位斜 坡 響 應(yīng)曲 線 t x0(t) 輸 入 輸 出 3、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 以單位脈沖為輸入時(shí)系統(tǒng)

17、的響應(yīng)曲線，包含了系統(tǒng)所有以單位脈沖為輸入時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，包含了系統(tǒng)所有 的動(dòng)態(tài)過(guò)程信息（不論系統(tǒng)階次如何），只要系統(tǒng)為線的動(dòng)態(tài)過(guò)程信息（不論系統(tǒng)階次如何），只要系統(tǒng)為線 性定常系統(tǒng)即可。因此常用此法測(cè)定系統(tǒng)傳遞函數(shù)。性定常系統(tǒng)即可。因此常用此法測(cè)定系統(tǒng)傳遞函數(shù)。 T t e T tx Ts sx 1 )( 1 1 )( 0 0 當(dāng)當(dāng)輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)時(shí)，輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)時(shí)，R(s)1，輸出量的，輸出量的 拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即 重要規(guī)律：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于原輸入信重要規(guī)律：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于原輸入信 號(hào)響應(yīng)

18、的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)等與原輸入號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)等與原輸入 信號(hào)響應(yīng)的積分。信號(hào)響應(yīng)的積分。 表表3-1一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng) 輸入信號(hào)輸入信號(hào) 時(shí)域時(shí)域 輸入信號(hào)輸入信號(hào) 頻域頻域 輸出響應(yīng)輸出響應(yīng)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 1 1 1(t)1(t) t t 0 tTeTt T t 0)1 ( 2 1 22 teTTtt T t 01 te T t )0( 1 te T T t )(t S 1 2 1 S 3 1 S 2 2 1 t1 1 TS 微微 分分 微微 分分 等價(jià)關(guān)系：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸?shù)葍r(jià)關(guān)系：系統(tǒng)對(duì)

19、輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸 入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)； 系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng) 的積分；積分常數(shù)由零初始條件確定。的積分；積分常數(shù)由零初始條件確定。 1 1、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，即標(biāo)準(zhǔn)閉環(huán)傳遞函數(shù)為二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，即標(biāo)準(zhǔn)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 三、二階系統(tǒng)的時(shí)域分析三、二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 二階系統(tǒng)的特征方程為：二階系統(tǒng)的特征方程為： 02 22 nns s 2 2 2 2)( )( )( nn n SsXi sXo s dnnn s1 2 2 , 1 自然自然振蕩角振蕩角頻率（或無(wú)阻尼振蕩頻率）頻

20、率（或無(wú)阻尼振蕩頻率） n 阻尼比（相對(duì)阻尼系數(shù)）阻尼比（相對(duì)阻尼系數(shù)） 2 2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)包括：二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)包括： 10 欠阻尼欠阻尼狀態(tài)狀態(tài) ，特征根，特征根為為一對(duì)實(shí)部為負(fù)的一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共扼復(fù)共扼復(fù)數(shù)數(shù) 1 臨界阻尼狀態(tài)，特征根為臨界阻尼狀態(tài)，特征根為兩個(gè)相等的兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)。負(fù)實(shí)數(shù)。 1 過(guò)阻尼狀態(tài)，特征根為兩個(gè)不相等的過(guò)阻尼狀態(tài)，特征根為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)負(fù)實(shí)數(shù)。數(shù)。 0 無(wú)阻尼狀態(tài)，特征根為一對(duì)純虛數(shù)。無(wú)阻尼狀態(tài)，特征根為一對(duì)純虛數(shù)。 01 負(fù)阻尼狀態(tài)，特征根為一對(duì)實(shí)部為正的負(fù)阻尼狀態(tài)，特征根為一對(duì)實(shí)部為正的共扼復(fù)共扼復(fù)數(shù)。數(shù)。 1 負(fù)阻尼狀態(tài)，特征根為負(fù)阻

21、尼狀態(tài)，特征根為兩個(gè)不相等的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)。正實(shí)數(shù)。 (1)(1)欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng) 2 2 2 0 1 )sin( 1 1 1 sin 1 cos1)( arctg te tetetx d t d t d t n nn 2222 2 )()( 1 1 )( )()()( d n d n dndn n ss s s sjsjs sXissXo 從上式可以看出：從上式可以看出： 決定了衰減速度。 為一定時(shí)，當(dāng)為包絡(luò)線的正弦振蕩，瞬態(tài)分量是以 即不存在穩(wěn)態(tài)誤差。等于輸入信號(hào)的幅值， n - 0 n e , 1)(lim t t tx 隨著阻尼比系數(shù)的減小，振蕩

22、幅值加大隨著阻尼比系數(shù)的減小，振蕩幅值加大 當(dāng)阻尼比系數(shù)為零時(shí)，系統(tǒng)無(wú)阻尼當(dāng)阻尼比系數(shù)為零時(shí)，系統(tǒng)無(wú)阻尼 x0(t)=1-cos nt， 等幅振蕩 等幅振蕩 0102030405060 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 欠阻尼 情 況 下的 單位階 躍 響 應(yīng) t x0(t) a、求上升時(shí)間、求上升時(shí)間 tr )sincos1( 1 1 )( 2 2 tt e tx dd t n o 將將xo(tr)=1代入，得代入，得 ) 1 arctansin( 1 11 2 2 rd r t n t e 0) 1 arctansin( 2 rdt 上升時(shí)間是首次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的

23、時(shí)間，故上升時(shí)間是首次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，故 ) 1 arctan( 1 2 d r t b、求峰值時(shí)間、求峰值時(shí)間tp )sincos1( 1 1 )( 2 2 tt e tx dd t n o 峰值點(diǎn)為極值點(diǎn)，令峰值點(diǎn)為極值點(diǎn)，令 0 )( dt tdx o，得，得 0)cos( 1 )sin( 1 22 pd p t n d pd p t n n t e t e 即即 pdt 2 1 nd p t c、求最大超調(diào)量、求最大超調(diào)量Mp 1)sincos1( 1 1 1)( 2 2 pdpd t pop tt e txM pn 不同阻尼比的最大超調(diào)不同阻尼比的最大超調(diào) 量量 04.39.416

24、.325.437.252.772.9100Mp(%) 10.70.60.50.40.30.20.10 22 1 ) 1 ( ee n n d、求調(diào)整時(shí)間、求調(diào)整時(shí)間ts )sincos1( 1 1 )( 2 2 tt e tx dd t n o 包絡(luò)線函數(shù)為包絡(luò)線函數(shù)為 2 1 1)( t n e tF %5 1 2 t n e %2 1 2 t n e n s t 2 1ln05. 0ln n s t 2 1ln02. 0ln nn s t 305. 0ln nn s t 402. 0ln 例：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為例：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1( )( Tss K sG 若若K

25、=16K=16、T=0.25sT=0.25s，試求，試求 （1 1）典型二階系統(tǒng)的參數(shù)）典型二階系統(tǒng)的參數(shù) 、 n n； （2 2）暫態(tài)性能指標(biāo)）暫態(tài)性能指標(biāo)M Mp p、t ts s； （3 3）欲使）欲使M Mp p 1616，當(dāng)，當(dāng)T T不變時(shí)不變時(shí)K K應(yīng)取何值。應(yīng)取何值。 T K s T s T K KsTs K s 1 )( 2 2 解：解： （1）閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為）閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 2 2 2 2)( )( )( nn n SsXi sXo sH )/(8 25. 0 16 srad T K n 25. 0 25. 0162 1 2 1 KT （2） %4 .44%100

26、% 2 1 eM p )05. 0()(5 . 1 825. 0 3 )02. 0()(0 . 2 825. 0 4 3 4 st st n n s s （3） p M 1 ln 1 2 5 . 0 5 . 0 2 1 KT )(4 5 . 025. 04 1 4 1 1 22 s T K 即即K值應(yīng)減小值應(yīng)減小4倍。倍。 例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖，要求系統(tǒng)性能指標(biāo)為例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖，要求系統(tǒng)性能指標(biāo)為Mp%=20%， tp=1(s)。試確定系統(tǒng)的。試確定系統(tǒng)的K值和值和A值，并計(jì)算值，并計(jì)算tr和和ts值。值。 )1( ss k As+1 R C - 解：由結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：解：由結(jié)構(gòu)

27、圖求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)： KsKAs K sR sC s )1 ()( )( )( 2 與標(biāo)準(zhǔn)形式相比較，得與標(biāo)準(zhǔn)形式相比較，得 K n KA n 12 由給定的由給定的Mp求取相應(yīng)的阻尼比求取相應(yīng)的阻尼比 61. 1 1 ln 1 2 p M 解得解得 0.456 根據(jù)根據(jù)tp求取自然角頻率求取自然角頻率n 1 1 2 n p t )/(53. 3 456. 01 14. 3 1 22 srad t p n 5 .12 2 n K 178. 0 5 .12 153. 3456. 0212 K A n 用公式計(jì)算用公式計(jì)算tr、ts )(65. 0 1 2 st n r )05. 0()(86

28、. 1 3 st n s tt n nn n n n i i n n i nn etet sss ss sx sx sx sx ssx sx 1)(x 1 )( 1 1 )( )( )( )( )( )()( )( 0 2 2 2 0 0 2 2 0 進(jìn)行拉式反變換，得 (2)(2)臨界阻尼臨界阻尼 情況下的單位階躍響應(yīng)情況下的單位階躍響應(yīng)1 10203040506070 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 臨 界 阻尼 二階 系統(tǒng) 單位階 躍 響 應(yīng) t x0(t) tt nnnn nnnn n nnnn n i nn eet ss s s ss

29、sx ss sx sx 2222 )1( 22 )1( 22 0 2 22 2 22 22 2 0 22 2 0 ) 11(2 1 ) 11(2 1 1)(x 1 ) 11(2 1 1 ) 11(2 1 1 1 )1)(1( )( )1)(1( )( )( 進(jìn)行拉式反變換，得 (3)(3)過(guò)阻尼過(guò)阻尼 情況下的單位階躍響應(yīng)情況下的單位階躍響應(yīng)1 20406080100120 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 過(guò)阻尼 二階 系統(tǒng) 單位階 躍 響 應(yīng) t x0(t) 22 22 2 1 1 )()()( nn nn n io s s s ss sXsH

30、sX 拉氏反變換得： )cos1()(ttx no (4)(4)零零阻尼阻尼 情況下的單位階躍響應(yīng)情況下的單位階躍響應(yīng)0 0102030405060 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 零 阻尼 二階 系統(tǒng) 單位階 躍 響 應(yīng) t x0(t) (5)(5)負(fù)阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)負(fù)阻尼情況下的單位階躍響應(yīng) 024681012 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 二階 振 蕩環(huán)節(jié) 單位階 躍 響 應(yīng) t x0(t) 阻 尼 比 系 數(shù) 為 0 阻 尼 比 系 數(shù) 大 阻 尼 比 系 數(shù) =1 3 3、二階系統(tǒng)的單位

31、脈沖響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 當(dāng)01時(shí) 當(dāng)=1時(shí) 當(dāng)1時(shí) tetx n tn n )1sin( 1 )( 2 2 0 t n n tetx 2 0 )( tntn nn eetx ) 1( 22 2 ) 1( 22 2 0 22 ) 11( 2 ) 1( ) 11( 2 ) 1( ) ( 024681012 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 不同阻尼 比 系數(shù)下的 系統(tǒng) 單位脈 沖響 應(yīng) t x0(t) 阻 尼 比 系 數(shù) =0 阻 尼 比 系 數(shù) =5 4 4、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 1）、欠阻尼情況 2）、臨界阻尼

32、情況 3）、過(guò)阻尼情況 12 12 1sin( 1 12 )( 2 2 2 2 0 arctgtettx n t n n n t n t n nn etettx 22 )( 0 t n t n n nn eettx ) 1( 2 22 ) 1( 2 22 0 22 12 1212 12 12122 )( 0102030405060 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 欠阻尼 二階 系統(tǒng) 單位斜 坡 響 應(yīng) t x0(t) 穩(wěn) 態(tài) 偏 差 0102030405060 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 臨 界 阻尼 二階 系統(tǒng) 單位斜 坡 響 應(yīng) t x0(t) 010203

33、0405060 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 過(guò)阻尼 二階 系統(tǒng) 單位斜 坡 響 應(yīng) t x0(t) 四、高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)四、高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 凡是用高階微分方程描述的系統(tǒng)，稱(chēng)為高階系統(tǒng)。從復(fù)頻的觀凡是用高階微分方程描述的系統(tǒng)，稱(chēng)為高階系統(tǒng)。從復(fù)頻的觀 點(diǎn)來(lái)看，凡是傳遞函數(shù)點(diǎn)來(lái)看，凡是傳遞函數(shù)s的最高次冪的最高次冪n2的系統(tǒng)，稱(chēng)為高階系統(tǒng)。的系統(tǒng)，稱(chēng)為高階系統(tǒng)。 高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)的形式高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)的形式 )2()( )( )( )( )( 22 11 1 kkk r k j q j i m i ssss zsK sR sC s 單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng) )2()( )( )( )( )( 22 11 1 kkk r k j q j i m i ssss zsK sR sC s s )1sin( )1c