導數(shù)的幾何意義---解答題(含)

1、導數(shù)的幾何意義-解答題一、解答題1、函數(shù)f(x)=-x+1的圖象上有兩點A（0，1）和B（1，0）（1）在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求實數(shù)a使得函數(shù)f(x)的圖象在x=a處的切線平行于直線 AB；（2）設(shè)m0，記M（m，f(m)），求證在區(qū)間（0，m）內(nèi)至少有一實數(shù)b，使得函數(shù)圖象在x=b處的切線平行于直線AM.2、已知函數(shù)f（x）=lnx+x2（）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（）在（）的條件下，若a1，h（x）=e3x-3aexx0，ln2，求h（x）的極小值；（）設(shè)F（x）=2f（x）-3x2-kx（kR），若函數(shù)F（x）存在兩個零點m，n（0mn），且

2、2x0=m+n問：函數(shù)F（x）在點（x0，F(xiàn)（x0）處的切線能否平行于x軸？若能，求出該切線方程；若不能，請說明理由3、設(shè)函數(shù)，曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程為7x-4y-12=0（1）求y=f（x）的解析式；（2）證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值4、已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當0x1時，f（x）=x2，當x1時，f（x+1）=f（x）+f（1），且若直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有5個不同的公共點，則實數(shù)k的值為_5、若存在過點（1，0）的直線與曲線y=x3和y=ax2+x-9都相切，求實數(shù)a的

3、值6、已知函數(shù)f（x）=，的圖象過點（-1，2），且在點（-1，f（-1）處的切線與直線x-5y+1=0垂直（1）求實數(shù)b，c的值；（2）若P，Q是曲線y=f（x）上的兩點，且POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，此三角形斜邊的中點在y軸上，則對任意給定的正實數(shù)a，滿足上述要求的三角形有幾個？7、已知函數(shù)，其中a是實數(shù)，設(shè)A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）為該函數(shù)圖象上的點，且x1x2（）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x20，求x2-x1的最小值；（）若函數(shù)f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍8、已知函數(shù)f（x）=x3-

4、2x2+3x（xR）的圖象為曲線C（1）求曲線C上任意一點處的切線的斜率的取值范圍；（2）若曲線C上存在兩點處的切線互相垂直，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標取值范圍；（3）試問：是否存在一條直線與曲線C同時切于兩個不同點？如果存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由9、已知函數(shù)f（x）=blnx，g（x）=ax2-x（aR）（1）若曲線f（x）與g（x）在公共點A（1，0）處有相同的切線，求實數(shù)a、b的值；（2）當b=1時，若曲線f（x）與g（x）在公共點P處有相同的切線，求證：點P唯一；（3）若a0，b=1，且曲線f（x）與g（x）總存在公切線，求正實數(shù)a的最小值10、已知

5、函數(shù)f（x）=mx3+（ax-1）（x-2）（xR）的圖象在x=1處的切線與直線x+y=0平行（）求m的值；（）當a0時，解關(guān)于x的不等式f（x）011、求曲線y=在點（1，1）處的切線方程是 _12、求曲線在點處的切線方程13、已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+b（a，bR）（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于1，求證：（2）若x0，1，則函數(shù)y=f（x）的圖象上的任意一點的切線的斜率為k，求證：成立的充要條件試卷 第14/14頁導數(shù)的幾何意義-解答題的答案和解析一、解答題1、答案：(1)a=(2)證明過程見解析試題分析：（1）求出導數(shù)，求出切線的斜率f（a），求得

6、直線AB的斜率，令f（a）=-1（0a1）解方程即可得到a；（2）求出直線AM斜率，求出直線在x=b處的切線斜率為f（b），由切線平行于AM，可令f（b）=-m-1，考察3-2b-+m=0在區(qū)間（0，m）內(nèi)的根的情況，令g（b）=3-2b-+m，求得g（0），g（m），g（，對m討論：當0m時，當m1時，當m1時，由零點存在定理，即可得證。解：（1）解：直線AB斜率kAB=-2x-1，f（x）的圖象在x=a處的切線平行于直線AB，令f（a）=-1（0a1）即3-2a-1=-1，解得a=；（2）證明：f（m）=-m+1，則直線AM斜率kAM=-m-1，直線在x=b處的切線斜率為f（b）=3-2b

7、-1，由切線平行于AM，可令f（b）=-m-1即3-2b-+m=0在區(qū)間（0，m）內(nèi)的根的情況，令g（b）=3-2b-+m，則此二次函數(shù)圖象的對稱軸為b=，而g（）=-+m-=-0，g（0）=-+m=m（1-m），g（m）=2-m=m（2m-1），則（1）當0m時，g（0）0，g（m）0，方程g（b）=0在區(qū)間（0，m）內(nèi)有一實根；（2）當m1時，g（0）0，g（）0，方程g（b）=0在區(qū)間（0，）內(nèi)有一實根；（3）當m1時，g（）0，g（m）0，方程g（b）=0在區(qū)間（，m）內(nèi)有一實根，綜上，方程g（b）=0在區(qū)間（0，m）內(nèi)至少有一實根，故在區(qū)間（0，m）內(nèi)至少有一實數(shù)b，使得函數(shù)圖象在x

8、=b處的切線平行于直線AM2、答案：（）g（x）=f（x）-ax=lnx+x2-ax，由題意知，g（x）0，對任意的x（0，+）恒成立，即又x0，當且僅當時等號成立，可得（）由（）知，令t=ex，則t1，2，則h（t）=t3-3at，由h（t）=0，得或（舍去），若，則h（t）0，h（t）單調(diào)遞減；若，則h（t）0，h（t）單調(diào)遞增當時，h（t）取得極小值，極小值為（）設(shè)F（x）在（x0，F(xiàn)（x0）的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x2-kx結(jié)合題意，有-得所以，由得所以設(shè)，式變?yōu)樵O(shè)，所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，因此，yy|u=1=0，即，也就是此式與矛盾所以F（x）在（x0，F(xiàn)（

9、x0）的切線不能平行于x軸3、答案：試題分析：（1）已知曲線上的點，并且知道過此點的切線方程，容易求出斜率，又知點（2，f（2）在曲線上，利用方程聯(lián)立解出a，b（2）可以設(shè)P（x0，y0）為曲線上任一點，得到切線方程，再利用切線方程分別與直線x=0和直線y=x聯(lián)立，得到交點坐標，接著利用三角形面積公式即可試題解析：解析：（1）方程7x-4y-12=0可化為，當x=2時，又，于是，解得，故（2）設(shè)P（x0，y0）為曲線上任一點，由知曲線在點P（x0，y0）處的切線方程為，即令x=0，得，從而得切線與直線x=0的交點坐標為；令y=x，得y=x=2x0，從而得切線與直線y=x的交點坐標為（2x0，2

10、x0）；所以點P（x0，y0）處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為故曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為定值，此定值為64、答案：試題分析：求出函數(shù)在x1，2的函數(shù)的解析式，通過函數(shù)的奇偶性，求出函數(shù)在x1，2相切，求出切線的斜率即可求出實數(shù)k的值試題解析：當0x1時，f（x）=x2，當x1時，f（x+1）=f（x）+f（1），當1x2時，f（x）=f（x-1）+f（1）=（x-1）2+1，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有5個不同的公共點，x0時，兩個函數(shù)的圖象，只有2個交點，如圖：設(shè)切點為（a，f（a）f（

11、x）=2x-2則：，解得a=k=2此時有兩個交點，x0時，也有兩個交點，x=0也是交點，k=2時有5個交點故答案為：2-25、答案：試題分析：設(shè)出所求切線方程的切點坐標和斜率，把切點坐標代入曲線方程得到一個等式，根據(jù)切點坐標和斜率寫出切線的方程，把切點坐標代入又得到一個等式，聯(lián)立方程組即可求出切點的橫坐標，進而得到切線的斜率，根據(jù)已知點的坐標和求出的斜率寫出切線方程，再根據(jù)與y=ax2+x-9都相切，聯(lián)立方程組，=0可求出所求試題解析：設(shè)直線與曲線y=x3的切點坐標為（x0，y0），則，則切線的斜率k=3x02=0或k=，若k=0，此時切線的方程為y=0，由，消去y，可得ax2+x-9=0，其

12、中=0，即（）2+36a=0，解可得a=-；若k=，其切線方程為y=（x-1），由，消去y可得ax2-3x-=0，又由=0，即9+9a=0，解可得a=-1故a=-或-16、答案：（1）由題意可得，當x1時，f（x）=-3x2+2x+b，f（-1）=-3-2+b=b-5由（ b-5 ）（）=-1，可得b=0，故 f（x）=-x3+x2+c把點（-1，2）代入求得 c=0綜上可得b=0，c=0（2）設(shè)點P的橫坐標為m（不妨設(shè)m0），則由題意可得點Q的橫坐標為-m，且-m0當0m1時，點P（m，-m3+m2），點Q（-m，m3+m2），由K0PKOQ=-1，可得（-m2+m）（-m2-m）=-1，m

13、無解當m1時，點P（m，alnm），點Q（-m，m3+m2），由K0PKOQ=-1，可得（-m2-m）=-1，即alnm=由于a為正實數(shù)，故存在大于1的實數(shù)m，滿足方程alnm=故曲線y=f（x）上存在兩點P，Q，使得POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上7、答案：試題分析：（I）利用二次函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出；（II）利用導數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率，因為切線互相垂直，可得，即（2x1+2）（2x2+2）=-1可得，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；（III）當x1x20或0x1x2時，故不成立，x10x2分別寫出切線的方程，根據(jù)兩條直線重合的充要條

14、件即可得出，再利用導數(shù)即可得出試題解析：（I）當x0時，f（x）=（x+1）2+a，f（x）在（-，-1）上單調(diào)遞減，在-1，0）上單調(diào)遞增；當x0時，f（x）=lnx，在（0，+）單調(diào)遞增（II）x1x20，f（x）=x2+2x+a，f（x）=2x+2，函數(shù)f（x）在點A，B處的切線的斜率分別為f（x1），f（x2），函數(shù)f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，（2x1+2）（2x2+2）=-12x1+20，2x2+20，=1，當且僅當-（2x1+2）=2x2+2=1，即，時等號成立函數(shù)f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x20，求x2-x1的最小值為1（III）當x1x20或0x

15、1x2時，故不成立，x10x2當x10時，函數(shù)f（x）在點A（x1，f（x1），處的切線方程為，即當x20時，函數(shù)f（x）在點B（x2，f（x2）處的切線方程為，即函數(shù)f（x）的圖象在點A，B處的切線重合的充要條件是，由及x10x2可得-1x10，由得=函數(shù)，y=-ln（2x1+2）在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞減，a（x1）=在（-1，0）上單調(diào)遞減，且x1-1時，ln（2x1+2）-，即-ln（2x1+2）+，也即a（x1）+x10，a（x1）-1-ln2a的取值范圍是（-1-ln2，+）8、答案：試題分析：（1）先求導函數(shù)，然后根據(jù)導函數(shù)求出其取值范圍，從而可求出曲線C上任意一點處的切線的斜

16、率的取值范圍；（2）根據(jù)（1）可知k與-的取值范圍，從而可求出k的取值范圍，然后解不等式可求出曲線C的切點的橫坐標取值范圍；（3）設(shè)存在過點A（x1，y1）的切線曲線C同時切于兩點，另一切點為B（x2，y2），x1x2，分別求出切線，由于兩切線是同一直線，建立等式關(guān)系，根據(jù)方程的解的情況可得是符合條件的所有直線方程試題解析：（1）f（x）=x2-4x+3，則f（x）=（x-2）2-1-1，即曲線C上任意一點處的切線的斜率的取值范圍是-1，+）；-（4分）（2）由（1）可知，-（6分）解得-1k0或k1，由-1x2-4x+30或x2-4x+31得：x（-，2-（1，3）2+，+）；-（9分）（3

17、）設(shè)存在過點A（x1，y1）的切線曲線C同時切于兩點，另一切點為B（x2，y2），x1x2，則切線方程是：y-（-2+3x1）=（-4x1+3）（x-x1），化簡得：y=（-4x1+3）x+（-+2），-（11分）而過B（x2，y2）的切線方程是y=（-4x1+3）x+（-+2），-（，由于兩切線是同一直線，則有：-4x1+3=-4x1+3，得x1+x2=4，-（13分）又由-+2=-+2，即-（x1-x2）（+x1x2+）+2（x1-x2）（x1+x2）=0-（+x1x2+）+4=0，即x1（x1+x2）+-12=0即（4-x2）4+-12=0，-4x2+4=0得x2=2，但當x2=2時，由

18、x1+x2=4得x1=2，這與x1x2矛盾所以不存在一條直線與曲線C同時切于兩點-（16分）9、答案：試題分析：（1）因為曲線f（x）與g（x）在公共點A（1，0）處有相同的切線，所以，解出即可；（2）設(shè)P（x0，y0），由題設(shè)得f（x0）=g（x0），f（x0）=g（x0），轉(zhuǎn)化為關(guān)于x0的方程只有一解，進而構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個零點，利用導數(shù)即可證明；（3）設(shè)曲線f（x）在點（t，lnt）處的切線方程為，則只需使該切線與g（x）相切即可，也即方程組只有一解即可，所以消y后=0，問題轉(zhuǎn)化關(guān)于t的方程總有解，分情況借助導數(shù)進行討論即可求得a值；試題解析：（1），g（x）=2ax-1曲線f（

19、x）與g（x）在公共點A（1，0）處有相同的切線，解得，（2）設(shè)P（x0，y0），則由題設(shè)有，又在點P有共同的切線，代入得，設(shè)，則，則h（x）0，h（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，所以h（x）=0最多只有1個實根，從而，結(jié)合（1）可知，滿足題設(shè)的點P只能是P（1，0）（3）當a0，b=1時，f（x）=lnx，曲線f（x）在點（t，lnt）處的切線方程為，即由，得曲線f（x）與g（x）總存在公切線，關(guān)于t（t0）的方程，即（*）總有解若te，則1-lnt0，而，顯然（*）不成立，所以0te，從而，方程（*）可化為令（0te），則當0t1時，h（t）0；當1te時，h（t）0，即h（t）在（0，1）

20、上單調(diào)遞減，在（1，e）上單調(diào)遞增h（t）在（0，e）上的最小值為h（1）=4，所以，要使方程（*）有解，只須4a4，即a1所以正實數(shù)a的最小值為110、答案：試題分析：（I）先對函數(shù)f（x）進行求導，又根據(jù)f（1）=3m-1，可得到關(guān)于m的值；（II）由（I）知f（x）=（ax-1）（x-2）下面對字母a的取值情況進行分類討論：當a=0時，f（x）=-（x-2）0，當a0時，再分：若2；若=2；若2，分別求出原不等式的解集即可試題解析：（I）f（x）=mx3+ax2-（2a+1）x+2，f（x）=3mx2+2ax-（2a+1）f（1）=3m-1，即函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線斜率為3m-1由題知3m-1=-1，解得m=0（5分）（II）由（I）知f（x）=（ax-1）（x-2）當a=