傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用研究

1、傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用研究摘要：文章將“傅里葉變換”應(yīng)用到空間頻譜處理當(dāng)中，并將結(jié)果以最直觀的方式圖形表示出來(lái)；文章意在說(shuō)明用一種實(shí)用的方法對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行處理。關(guān)鍵詞：傅里葉變換 數(shù)字圖像處理 matlab 圖像濾波 圖像特征定位1.引言近年來(lái)，隨著電子技術(shù)、圖像處理方法和信號(hào)理論的迅猛發(fā)展，數(shù)字圖像處理技術(shù)得到飛速發(fā)展，它廣泛應(yīng)用于幾乎所有與成像有關(guān)的領(lǐng)域。傳統(tǒng)的光學(xué)系統(tǒng)在信號(hào)處理時(shí)，存有它自身很難克服的不足：第一，它對(duì)空間頻譜平面的處理很難，尤其在低頻和甚低頻時(shí)，即使可通過(guò)大量?jī)x器來(lái)實(shí)現(xiàn)，但代價(jià)往往很高；第二，光學(xué)處理由于采樣孔徑(即傳感單元)太窄而不能起到抗混疊作用，不能除去高頻信

2、息。而傅里葉變換和線性移不變系統(tǒng)有緊密聯(lián)系，它有一個(gè)很好的理論背景來(lái)指導(dǎo)它在圖像處理中的作用，可以方便有效地克服上述不足，使其在數(shù)字圖像處理中占有一席之地。2.圖像處理技術(shù)2.1 模擬圖像處理(analog image processing)；模擬處理包括：光學(xué)處理（利用透鏡）和電子處理，如：照相、遙感圖像處理、電視信號(hào)處理等，電視圖像是模擬信號(hào)處理的典型例子，它處理的是活動(dòng)圖像，25幀/秒。優(yōu)點(diǎn)：模擬圖像處理的特點(diǎn)是速度快，一般為實(shí)時(shí)處理，理論上講可達(dá)到光的速度，并可同時(shí)并行處理。缺點(diǎn)：模擬圖像處理的缺點(diǎn)是精度較差，靈活性差，很難有判斷能力和非線性處理能力。2.2數(shù)字圖像處理(digital

3、 image processing)：數(shù)字圖像處理一般都用計(jì)算機(jī)處理，因此也稱(chēng)之謂計(jì)算機(jī)圖像處理（computer image processing）優(yōu)點(diǎn)：處理精度高，處理內(nèi)容豐富，可進(jìn)行復(fù)雜的非線性處理，有靈活的變通能力，一般來(lái)說(shuō)只要改變軟件就可以改變處理內(nèi)容。缺點(diǎn)：處理速度還是一個(gè)問(wèn)題，特別是進(jìn)行復(fù)雜的處理更是如此。其次是分辨率及精度尚有一定限制。2.2.1 數(shù)字圖像處理的主要方法 a、空域法：這種方法是把圖像看作是平面中各個(gè)像素組成的集合，然后直接對(duì)這一二維函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的處理?？沼蛱幚矸ㄖ饕袃纱箢?lèi)：b、變換域法：數(shù)字圖像處理的變換域處理方法是首先對(duì)圖像進(jìn)行正交變換，得到變換域系數(shù)陣列，

4、然后再施行各種處理，處理后再反變換到空間域，得到處理結(jié)果。這類(lèi)處理包括：濾波、數(shù)據(jù)壓縮、特征提取等處理3傅里葉變換傅里葉變換是我們熟悉的正交變換，它是將時(shí)域信號(hào)分解為不同頻率的正弦信號(hào)或余弦函數(shù)疊加之和。在一維信號(hào)處理中得到了廣泛的應(yīng)用，把這種處理方法用到推廣到數(shù)字圖像處理中，能對(duì)圖像中的相移幅度高低頻率噪音及圖像增強(qiáng)進(jìn)行處理。3.1傅里葉變換的基本概念如果設(shè)為的函數(shù)，如果滿足下面的狄里赫萊條件： 具有有限個(gè)間斷點(diǎn)； 具有有限個(gè)極值點(diǎn) 絕對(duì)可積。則有下式成立 式中，為時(shí)域變量，為頻域變量。如果令則有 通常把以上公式稱(chēng)為傅里葉變換對(duì)。 傅里葉變換一般是一個(gè)復(fù)量，它可以表示為本文以計(jì)算機(jī)為工具，以

5、matlab為手段，通過(guò)快速離散傅里葉變換與matlab作圖，說(shuō)明如何利用傅里葉變換對(duì)空間頻譜平面進(jìn)行處理。一幅靜止的數(shù)字圖像可看做是二維數(shù)據(jù)陣列。因此，數(shù)字圖像處理主要是二維數(shù)據(jù)處理。二維離散傅里葉變換的定義可用下面二式表示。正變換式為： 反變換式為：4傅里葉變換在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用圖像保存：傅里葉正變換將圖像分解為一組越來(lái)越小的正交歸一圖像，具有很高的壓縮比,仍能夠?qū)⒃紨?shù)據(jù)完全恢復(fù)而不引入任何失真。當(dāng)我們希望將一幅圖像以一種更緊湊的數(shù)據(jù)格式進(jìn)行編碼，同時(shí)保持?jǐn)?shù)據(jù)不丟失時(shí)，傅里葉變換是一個(gè)很好的工具。圖像濾波：在進(jìn)行傅里葉變換后，若在反變換之前對(duì)變換域進(jìn)行選擇，可對(duì)圖像進(jìn)行濾波處理。圖形

6、增強(qiáng)：正變換將一幅圖像分解為大小、位置和方向都不同的分量，在逆變換之前改變域中某些系數(shù)的幅度，有選擇提升感興趣的分量，而忽略不需要的東西；或根據(jù)實(shí)際需要，締造一個(gè)傳遞函數(shù)，在變換域?qū)㈩l譜乘以傳遞函數(shù)，再進(jìn)行傅里葉逆變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。當(dāng)然，這個(gè)實(shí)現(xiàn)過(guò)程需要很好地設(shè)計(jì)傳遞函數(shù)。圖像復(fù)原：目標(biāo)是對(duì)退化的圖像進(jìn)行處理，使它復(fù)原成沒(méi)有退化的理想圖像。成像過(guò)程的每一個(gè)環(huán)節(jié)(透鏡、感光片、數(shù)字化)都能引起退化，我們可視具體應(yīng)用的不同，將損失掉的圖像部分恢復(fù)過(guò)來(lái)，以起到很重要的作用。例如，圖像上的污點(diǎn)，我們可以利用信息的相關(guān)性，通過(guò)傅里葉卷積來(lái)達(dá)到隱去污點(diǎn)之目的；對(duì)于天文現(xiàn)象像太空研究中月球或行星圖像的獲取，攝取特

7、定信息，利用譜線的相關(guān)性，通過(guò)頻譜分析，再現(xiàn)物體之原貌。5傅里葉變換的應(yīng)用實(shí)例5.1線性濾波器的頻率響應(yīng)在進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，通常需要分析所設(shè)計(jì)濾波器的頻率相應(yīng)特性，如通頻帶、起始頻率等，通過(guò)分析，看所設(shè)計(jì)的濾波器是否滿足參數(shù)指標(biāo)要求。matlab提供了函數(shù)freqz2，可以對(duì)線性濾波器的頻率響應(yīng)進(jìn)行分析，這是因?yàn)榫€性濾波器沖擊響應(yīng)的傅里葉變換很好的反應(yīng)了濾波器的頻率響應(yīng)特性。以下程序代碼示例給出了高斯濾波器的頻率響應(yīng)，并顯示了濾波器通頻帶特性。h=fspecial(gaussian);freqz2(h) 圖1 濾波器頻率響應(yīng)5.2 快速卷積傅里葉變換的另一個(gè)重要用途是可以用于實(shí)現(xiàn)快速卷積運(yùn)算。

8、由線性系統(tǒng)理論可知，兩個(gè)函數(shù)卷積的傅里葉變換等于這兩個(gè)函數(shù)傅里葉變換的乘積。利用該性質(zhì)，并集合快速傅里葉變換的算法，可以快速計(jì)算兩個(gè)函數(shù)的卷積。 假設(shè)a,b是5階矩陣，則a和b的卷積可以通過(guò)如下程序?qū)崿F(xiàn)：a=magic(5); b=ones(5);c=conv2(a,b) c = 17 41 42 50 65 48 24 23 15 40 69 77 99 130 90 61 53 31 44 79 100 142 195 151 116 95 53 54 101 141 204 260 206 159 119 56 65 130 195 260 325 260 195 130 65 48 8

9、9 153 210 260 212 171 107 50 25 61 118 161 195 170 134 77 34 21 51 95 118 130 109 79 35 12 11 29 54 56 65 54 36 11 9 5.3 圖像特征定位傅里葉變化還可以用于與卷積密切相關(guān)的相關(guān)運(yùn)算。在數(shù)字圖像處理中，相關(guān)運(yùn)算可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)特征定位，通常也稱(chēng)做模板匹配。例如，想在一含有許多數(shù)字的圖像中定位數(shù)字“130”，就可以通過(guò)如下方法進(jìn)行定位：首先，讀取圖像，并且產(chǎn)生字母“130”的模板，程序代碼如下，結(jié)果如圖2所示。 a 原圖 b 模板 圖2 在圖形中定位數(shù)字“130”所謂將模板和原圖進(jìn)行相

10、關(guān)運(yùn)算，就是先分別對(duì)其作快速傅里葉變換，然后利用快速卷積的方法，計(jì)算模板和原圖的卷積，并提取卷積運(yùn)算結(jié)果的最大值，即得到原圖中數(shù)字“130”的定位結(jié)果。c=conv2(a,b);imshow(c, )thresh=max(c,(:);figure,imshow(cthresh)6結(jié)束語(yǔ)傅里葉變換很好的理論背景，使其在空間濾波、光學(xué)信息處理中發(fā)揮著重要作用。隨著圖像處理所用的計(jì)算機(jī)設(shè)備不斷降價(jià)，隨著支持傅里葉變換的硬件的出現(xiàn)，傅里葉變換在數(shù)字圖像處理領(lǐng)域?qū)⒌玫竭M(jìn)一步發(fā)展。圖像處理特別是數(shù)字圖像處理科學(xué)經(jīng)初創(chuàng)期、發(fā)展期、普及期及廣泛應(yīng)用幾個(gè)階段，如今已是各個(gè)學(xué)科競(jìng)相研究并在各個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的一門(mén)科學(xué)。今天，隨著科技事業(yè)的進(jìn)步以及人類(lèi)需求的多樣化發(fā)展，多學(xué)科的交叉、融合已是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的突出特色和必然途徑，而圖像處理科學(xué)又是一門(mén)與國(guó)計(jì)民生緊密相聯(lián)的一門(mén)應(yīng)用科學(xué)，它的發(fā)展與應(yīng)用與我國(guó)的現(xiàn)代化建設(shè)聯(lián)系之密切、影響之深遠(yuǎn)是不可估量的。圖像處理科學(xué)無(wú)論是在理論上還是實(shí)踐上都存在著巨大的潛力。參考文獻(xiàn)1(美)卡斯?fàn)柭?castleman，kr)著；朱志剛等譯.數(shù)字圖像處理.北京：電