空間幾何典型例題及相關(guān)知識點(diǎn)

1、空間幾何高考題型及相關(guān)知識點(diǎn)題型1利用向量證明直線的位置關(guān)系及空間中的角【例1】(20XX年山東理)在如圖所示的幾何體中，四邊形 ABCD是等腰梯形，AB/CD,/DAB=60 ,FC丄平面 ABCD, AE丄 BD, CB=CD=CF。(I)求證：BD丄平面AED;()求 二面角F-BD-C的余弦值2 2v-z = 0例1解析:(I)在等樓梯形ABCD電AB / CD,上DAB二60 , CB二由余弦定理可BD: =CD: +CB2 _2CDCBcosQ80 -乙D肋)=3CD即 BD = *CD = *AD,在 MBD 中,上DAB二60 , BD = *AD,則 MBD 為直角 三角形，

2、且2D丄D5又AE丄BD4Du平面AED, AE c平面AED,且EDPl AE = A, 故BD丄平面AED;(U)由(I)可知,4C丄CB,設(shè)CB = lf則C4二別?二狗，建立如圖所示的空間宜角Jj 1-坐標(biāo)系，F(xiàn)(0.01).B(010).D(.0),向量n = (0.0.1)為平面BDC的一個注向2 2設(shè)向量心(:jz)為平面BDF的法向量，則m FB = 0二1,則U Gz = 1,則 (皿1)為平面BDF的一個進(jìn)向量.而二面角F-BD-C的平面角為稅角，則題型2利用向量解決立體幾何的探索問題【例11(2012年福建理)如圖，在長方體A BCD- ABC_D-中，AAAD=l .

3、E為CD中點(diǎn)(I )求證:B.E 丄 AD ；(II )在棱AA_是否存在一點(diǎn)P,使得DP 平面民HE ?若存在，求衛(wèi)尸的長；若不存 在，說明理由。(III)若二面角A - B1A-A1的大小為30 ,求43的長。例1解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)松=4則A(0 QOhZXOJQlDQlJLiXqi,。),(么0,1)2 To =(o 丄 1),乖=(一纟丄一1),亟=(。,0,1),爼=(-?i?o) 2ADy = 一斗 x 0 + 1x1 + (-1)x1 = 0 $ 故 B、E 丄 AD-ax+ v = 0 ?(2)假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)P(OQr),使得DPI/平面BAE,則DP

4、= (0,-1 J)_H AB = 0設(shè)平面B.AE的法向量為n = (x? v:z),則有vn-AE = 0c 得n = (l,_,_d),要使DP! I平面B.AE,只要QP丄諾_皿=0=片= ,又DP h 平面B.AE, 存在點(diǎn)P 使DPI I平面B.AE,此時(shí) =二2(3)連接 4Q,馬由長方體么4： =AJD=i ,得 4D 丄4卩 B.C / /冬D AD.丄由(1)矢口 B、E 丄 AD 故 ND：丄 平面 DCB.A.AD.是平面DCB A的法向量，而4D、= (0,1,1),則二面角是30。，所以，即AB = 2題型3平面圖形折疊成空間圖形試題探究2.(2011 陜西文)如圖

5、，在 AABC 中，ABC = 45。，ZBAC , AD 是 BC 的高, 沿AD把4ABD折起，使ZBDC=9O(I )證明：平面ADB丄平面BDC;(II )設(shè)BD = 1,求三棱錐D-ABC的表面積.注：圖形不標(biāo)準(zhǔn)，與題目描述不一致（1） v折起前AD是E C邊上的高，二當(dāng)厶ABD折起后，AD1D 0,如丄D B,又 DB C D C = D p.AD丄平面B D C ,又TAD 9平面EDC.二平面ABD丄平面BDC.（2）由（1）知，gDB, DB !_ DC 3 DC 丄 ZX4,*/DB=DA=DC-ls 二 AB二BC二CA二題型4用綜合法解決空間幾何問題1、如圖，已知PA丄

6、矩形ABCD所在平面，1、K分別為AB、PC的中點(diǎn); 求證：平面PAD(2)若Z：PDA=45 ,求證：丄平面 PCD解:20證明：（1）取PD的中點(diǎn)E,連AEtNE,* V |v NftPC 的中點(diǎn).A NEZjCD.W | 申! K 1又四邊形ABCD為矩形且M是HA中點(diǎn)；-yCDA MA 3r-NEZMA.即四邊形MAEN是平行四邊形, A MNAE*由于AEU平面PAD.MNd平面PAD,A MN平面PAD,6T PA 丄平面 ABCD，ZPDA = 45tPAD是尊H三角骸故AE1PD由題竄，CD丄AD.CD丄PA:.CD丄平面 PAD.從而 AE1CD.if AE丄平面PCD故 M

7、N丄平面PCD12題型5 用坐標(biāo)法解決空間幾何問題例化010重慶卷20）如亂四讎P-帕CD札底面MCD為矩形也丄踴4BCD,PAB品氏璨様FB的鹹證明：肚丄fSPBC；仞若九） = 1,求二面角B-EC-DKl平而角曲鋼姻注：此為答案圖例4解：(1)證明：如圖建立空間坐標(biāo)系，設(shè)AD二aA(0,0, 0), E(0,), P (0,0,邁)2 2B (0,Vi, o),C (a, V2, 0) AE =(0,9返),22亦=(0, V2 ,/2*) BC = ( q 9 00).-.Ze- Fs = oxo + xVi+x(-/2)= oAE BC = 0x0 +xO = 0AE丄PB, AE丄

8、BC 而 PBCIBC = B/. AE丄平面PBC(2) T加E丄平面PBC ,72平面BEC的一個法向量w? =(0, 1, 1)設(shè)平面DEC的一個法向量卩=(x , z)/J /JE(0,)，C (1, Q 0), D (1, 0, 0).-.D = (1,) =(/2 , -1, -1)2 2 2Z)C = (0 , V2 9 0) =0 19 0)由 Hr ED = 0 ,m DC = 0 ,得：AA取X = 1 ,彳尋Z = yfl.Oxl + lxO + lx 逅 /3cos =“V2-V3二面角B-EC-D的平面角為鈍角 二面角-込。的平面角的余弦值為一絡(luò)些特殊棱柱、棱錐、棱臺

9、的概念和主要性質(zhì)名稱直棱桂正棱柱圖形1|11 占 百|(zhì)4* 9 JW 濟(jì)*k./定義有兩個面互相平 行，而其余每相 鄰兩個面昂熒線 都互相平行的多耐 1側(cè)棱垂直于底面的瞬底面是正寥邊形的直棱柱測棱平行且相奪平行且相等平行且相等側(cè)面的腦狀平行四邊形矩形全等的矩形對甫面的形狀平行四邊形矩形矩形平行于底茴的栽面的形狀與底面全等的多局底而全等的多邊形與底而全等的正多邊形正揍惟梭臺正棱臺圖形a傀Jtx有一個面是案 邊形.其余各面 是有一共 頂點(diǎn)的三角形 的霧面棒廳面是正案邊 形，且丁頁點(diǎn)在底 面的時(shí)影是病 面的対序是底 面和戯面之闔 的部分用一個平行于 核惟鹿面的平 面去戯棱卓*宸 面甜戡面之間 的部分

10、由正梭錐戡得的棱臺Mt相交于一 點(diǎn)但 不一定相等相交于一點(diǎn)且相等延長銭交于一 點(diǎn)相轉(zhuǎn)且延長線交于一點(diǎn)側(cè)面的三帶形全裕的尊勝三 角形全犒的等膜梯1形対柄面的形扶三苗形第眺三用務(wù)梯聚等曬梯形平行于底的鍍面形狀與厳面相似的參邊形-H與底面相馭的正案邊形與底面相似的案邊形與鹿面館儀的正參邊形多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱廁面積（SJ全而積（S全）體積（v）棱棱柱直截面周長XIS負(fù)+2S左St* h-S h柱直棱枉chSx -h棱棱錐各側(cè)面積之和S 丁 S jS-h正棱錐ch，7棱臺棱臺各側(cè)面甌積之和S 十S 二番+S th （S上畫亠S卞畫亠r3Js*s“）正棱臺扌(c+c* )h*表中S表示面積

11、，N、（:分別表示上、下底面周長，h表斜高* hf表示斜高，1表示側(cè)棱長.名稱圓柱圓臺S倶2 3t rlXxlx (r；r：)lS建2 r (lr)X r (1+t)X (x；+r；) 1+x (Ffhf：)4xR;VXX:h(BP3l?l)1I r*h31 . 兀 h(r+T；r:+r) 34:-XR勺J表中h h分別醺示母線、高,r表示圓柱、圓鏈與球冠的底半徑,小門分別寰示圓臺上、F底面半徑.尺聯(lián)示半徑.直線與平面關(guān)系U直線與平面的位置關(guān)系:I Ha九線面平行古定義：直線與平頁無公共點(diǎn).aHb判走走理：a aH a線線平行二線面平行丿【如圖】.a/ib （線面平行=線線平行）【如圖】but

12、? 性質(zhì)走理：0匚0af /? = b 判定或證明線面平行的依據(jù)： 定義法（反證人/n = 0 Z/ff用于判斷）；（ii）a/b 判定定理，a（za、a alia “線線平行=面面平行U用于證明譏（ND “ Pa c a“面面平行二統(tǒng)面平行”用于證明入（4） bLan aHa用于為斷）;九線面垂宜定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任總一條直線，則這條直線垂直于平聞:符號表述:若任a - a.都有I丄門，且I u *則I _（x .aQ b = O判定定理Ida二】_莊（線線垂直=線血垂宜）I La性質(zhì):（1）f丄dff 6f c dr = I丄白（線面垂直= 線線垂直）： 2）總丄丄a a b ；證明或判走線面垂宣的按據(jù)：U）走義反證）；（2）判走走理（常用；（ b a _ aa B1（較常用（4）”a _ a _ E aCp = b=a _ 0 ; （5）a c 線線平行）C3）夾在兩個平療平面間的0 n 產(chǎn)=S平行線段相等口【如圖】2.面面垂直:（1）定義：若二