高中數(shù)學選修2-1第二章橢圓的定義及標準方程02.2.1LW

1、 仙女座星系 星系中的橢圓星系中的橢圓 2007年年10月月24日日18時時05分，嫦娥一號衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中分，嫦娥一號衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中 心順利發(fā)射，心順利發(fā)射，2010年年10月月1日下午日下午18時時59分分57秒，中國探月二期工秒，中國探月二期工 程先導星程先導星“嫦娥二號嫦娥二號”在西昌點火升空，準確入軌，赴月球拍攝月在西昌點火升空，準確入軌，赴月球拍攝月 球表面影象、獲取極區(qū)表面數(shù)據(jù)，為嫦娥三號在月球軟著陸做準備。球表面影象、獲取極區(qū)表面數(shù)據(jù)，為嫦娥三號在月球軟著陸做準備。 標志著我國航天事業(yè)又上了一個新臺階。標志著我國航天事業(yè)又上了一個新臺階。 相 框 北宋北宋 汝窯天青無

2、文汝窯天青無文 橢圓水仙盆橢圓水仙盆 生生 活活 中中 的的 橢橢 圓圓 如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的 物件呢？物件呢？ 生生 活活 中中 的的 橢橢 圓圓 焦點焦點， 焦距。焦距。 思考思考:當點當點M到到F1、F2的距離之和不的距離之和不 大于大于 橢圓的定義：（與圓橢圓的定義：（與圓類比類比） 圓： ? P ? F ? 2 ? F ? 1 O P 橢圓 平面內(nèi)平面內(nèi)與一個定點定點的距離距離 等于常數(shù)等于常數(shù)（大于大于0）的點的 軌跡叫作圓，這個定點叫做 圓的圓心圓心，定長叫做圓的半半 徑徑 圓的定義： 平面內(nèi)平面內(nèi)與

3、兩個定點與兩個定點的的距距 離和離和等于常數(shù)等于常數(shù)（大于 ）的點的軌跡叫作橢圓的點的軌跡叫作橢圓， 這兩個定點叫做橢圓的這兩個定點叫做橢圓的焦點焦點， 兩焦點間的距離叫做橢圓的兩焦點間的距離叫做橢圓的 焦距焦距 21,F F 21 FF 橢圓的定義： 獨立思考軌跡方程的一般步驟，并按其方法及提示獨立獨立思考軌跡方程的一般步驟，并按其方法及提示獨立 逐步求橢圓的一般方程。逐步求橢圓的一般方程。 F1 F2 M x y o 建建 設(shè)設(shè) 現(xiàn)（限）現(xiàn)（限） | 21 MFMF aycxycx2)()( 2222 代代 化化 2222 )(2)(ycxaycx 222 ()acxaxcy 222222

4、22 acxa yaac 22 222 1 xy aac 222 aac 橢圓方程的建立橢圓方程的建立 步驟一：步驟一：建建立直角坐標系立直角坐標系 步驟二：步驟二：設(shè)設(shè)動點坐標動點坐標 步驟四：步驟四：代代入坐標入坐標 步驟五：步驟五：化化簡方程簡方程 步驟三：步驟三：限限制條件，列等式制條件，列等式 P x y o a c bcaOP 22 |令 22 22 10 xy ab ab b 說明： 可以證明可以證明“以滿足方程的解為坐標的點以滿足方程的解為坐標的點 都在橢圓上都在橢圓上”； 不同的建系方式，求出的橢圓方程是不不同的建系方式，求出的橢圓方程是不 同的同的 x 此方程表示的橢圓的焦

5、點在此方程表示的橢圓的焦點在 軸上；軸上； 01 2 2 2 2 ba b y a x Ox y 由兩點間的距離公式，可知：由兩點間的距離公式，可知： 2222 ()()2ycxycxa 設(shè)設(shè)|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，為橢圓上任意一點， 則有則有F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)， 又由橢圓又由橢圓 的定義可得：的定義可得： |MF1|+ |MF2|=2a （請大家比較一下上面兩式的不同，獨立思考后回答（請大家比較一下上面兩式的不同，獨立思考后回答 橢圓的標準方程。）橢圓的標準方程。） 2 2a ay yc c) )( (x xy yc c) )( (x x 2

6、22 22 22 2 焦點在焦點在 Y軸軸 焦點在焦點在 X軸軸 F2 F1 M x y o 2222 222 22222 11 xyxy bac aacab 2222 222 22222 11 yxyx aacab bac 22 22 10 yx ab ab 焦點在焦點在x軸上的標準方程：軸上的標準方程： 焦點在焦點在y軸上的標準方程：軸上的標準方程： 22 22 10 xy ab ab （1）焦點在）焦點在x軸的橢圓，軸的橢圓，x2項分母較大項分母較大. （2）焦點在）焦點在y軸的橢圓，軸的橢圓，y2 項分母較大項分母較大. 222 bac 222 bac X型型 y型型 22 22 +=

7、1 0 xy ab ab 標準方程中，分母哪個大，焦標準方程中，分母哪個大，焦 點就在哪個軸上點就在哪個軸上! 12 - , 0 , 0，F(xiàn)cF c 1 2 0,-0,，F(xiàn)cFc 標標 準準 方方 程程 相相 同同 點點 焦點位置的判斷焦點位置的判斷 不不 同 同 點 點 圖圖 形形 焦焦 點點 坐坐 標標 a、b、c 的關(guān)系的關(guān)系 焦點在焦點在x軸上軸上焦點在焦點在y軸上軸上 222 cab 22 22 1(0) yx ab ab y x M O F1 1F2 2 （2 2）在橢圓兩種標準方程中，總有）在橢圓兩種標準方程中，總有ab0ab0； （4 4）a a、b b、c c都有特定的意義，

8、都有特定的意義， ? ?a a橢圓上任意一點橢圓上任意一點P P到到F F1 1、F F2 2距離和的一半；距離和的一半；c c半焦距半焦距. . ? ?有關(guān)系式有關(guān)系式?成立。成立。 x O F1 F2 y 2.橢圓的標準方程橢圓的標準方程 O F1F2 y x (3)焦點在大分母變量所對應(yīng)的那個軸上；焦點在大分母變量所對應(yīng)的那個軸上； 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y （1）方程的左邊是兩項）方程的左邊是兩項平方和平方和的形式，等號的右邊是的形式，等號的右邊是1； 222 cba 22 ( 2 )1 2 51 6 xy 22 22 (5)1, (0 )

9、 1 xy m mm 22 (1 )1 1 61 6 xy 22 (3)9252250 xy 22 (4)321xy 練習：練習：下列方程哪些表示橢圓？若表示橢圓下列方程哪些表示橢圓？若表示橢圓 焦點在那個軸上？（焦點在那個軸上？（獨立思考后回答獨立思考后回答） 例例1、填空：（獨立思考后回答）、填空：（獨立思考后回答） (1)已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ,則則 a=_，b=_，c=_， 焦點坐標為：焦點坐標為： ，焦距，焦距 等于等于_; 若曲線上一點若曲線上一點P到焦點到焦點F1的距離為的距離為3，則，則 點點P到另一個焦點到另一個焦點F2的距離等于的距離等于_， 則則 F1PF

10、2的周長為的周長為_ 1 54 22 yx 21 (0,-1)、(0,1) 2 5 2 53 2 52 |PF1|+|PF2|=2a 判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的 準則：準則： 焦點在分母大的那個軸上。焦點在分母大的那個軸上。 F1 F2 (2)已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，則，則 a=_，b=_，c=_，焦點坐標，焦點坐標 為：為：_焦距等于焦距等于_;若若CD為過為過 左焦點左焦點F1的弦，則的弦，則 F2CD的周長為的周長為_ 1 1625 22 yx 543 (3,0)、(-3,0) 6 0 F1F2 C D 判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的 準則：準則： 焦點在分母大的那個軸上。焦點在分母大的那個軸上。 |CF1|+|CF2|=2a 1 925 22 yx 1 925 22 xy 21,F F | 21F F | 21 MFMF 22 22 +=1 0 xy ab ab 標準方程中，分母哪個大，焦標準方程中，分母哪個大，焦 點就在哪個軸上點就在哪個軸上! 12 - , 0 , 0