理論力學(xué)習(xí)題答案88頁

1、靜力學(xué)第一章習(xí)題答案靜力學(xué)第一章習(xí)題答案 1-3 試畫出圖示各結(jié)構(gòu)中構(gòu)件 AB 的受力圖 1-4 試畫出兩結(jié)構(gòu)中構(gòu)件 ABCD 的受力圖 1-5 試畫出圖 a 和 b 所示剛體系整體合格構(gòu)件的受力圖 1-5a 1-5b 1- 8 在四連桿機構(gòu)的 ABCD 的鉸鏈 B 和 C 上分別作用有力 F1和 F2，機構(gòu)在圖示 位置平衡。試求二力 F1和 F2之間的關(guān)系。 解：桿 AB，BC，CD 為二力桿，受力方向分別沿著各桿端點連線的方向。 解法解法 1(1(解析法解析法) ) 假設(shè)各桿受壓，分別選取銷釘 B 和 C 為研究對象，受力如圖所示： 由共點力系平衡方程，對 B 點有： 0 x F045co

2、s 0 2 BC FF 對 C 點有： 0 x F030cos 0 1 FFBC 解以上二個方程可得： 221 63 . 1 3 62 FFF F2 FBC FAB B 45o y x FBC FCD C 60o F1 30o x y 解法解法 2(2(幾何法幾何法) ) 分別選取銷釘 B 和 C 為研究對象，根據(jù)匯交力系平衡條件，作用在 B 和 C 點上的力構(gòu)成封閉的力多邊形，如圖所示。 對 B 點由幾何關(guān)系可知： 0 2 45cos BC FF 對 C 點由幾何關(guān)系可知： 0 1 30cosFFBC 解以上兩式可得： 21 63 . 1 FF 靜力學(xué)第二章習(xí)題答案靜力學(xué)第二章習(xí)題答案 2-

3、32-3 在圖示結(jié)構(gòu)中，二曲桿重不計，曲桿在圖示結(jié)構(gòu)中，二曲桿重不計，曲桿 ABAB 上作用有主動力偶上作用有主動力偶 M M。試求。試求 A A 和和 C C 點處的約束力。點處的約束力。 解：BC 為二力桿(受力如圖所示)，故曲桿 AB 在 B 點處受到約束力的方向沿 BC 兩點連線的方向。曲桿 AB 受到主動力偶 M 的作用，A 點和 B 點處的約束力必須 構(gòu)成一個力偶才能使曲桿 AB 保持平衡。AB 受力如圖所示，由力偶系作用下剛 體的平衡方程有（設(shè)力偶逆時針為正）： 0 M 0)45sin(10 0 MaFA a M FA354. 0 其中：。對 BC 桿有： 3 1 tan a M

4、 FFF ABC 354 . 0 A，C 兩點約束力的方向如圖所示。 FBC FCD60o F1 30o F2 FBC FAB 45o 2-42-4 解：機構(gòu)中 AB 桿為二力桿，點 A,B 出的約束力方向即可確定。由力偶系作用下 剛體的平衡條件，點 O,C 處的約束力方向也可確定，各桿的受力如圖所示。對 BC 桿有： 0 M 030sin 2 0 MCBFB 對 AB 桿有： AB FF 對 OA 桿有： 0 M 0 1 AOFM A 求解以上三式可得：， ，方向如圖所示。 mNM 3 1 NFFF COAB 5 / 2-62-6 求求最后最后簡化結(jié)果。簡化結(jié)果。 解：2-6a 坐標如圖所示

5、，各力可表示為: ， jFiFF 2 3 2 1 1 iFF 2 jFiFF 2 3 2 1 3 先將力系向 A 點簡化得（紅色的）： ，jFiFFR 3kFaM A 2 3 方向如左圖所示。由于，可進一步簡化為一個不過 A 點的力(綠 AR MF 色的)，主矢不變，其作用線距 A 點的距離，位置如左圖所示。 ad 4 3 2-6b 同理如右圖所示，可將該力系簡化為一個不過 A 點的力（綠色的） ，主矢為： iFFR 2 其作用線距 A 點的距離，位置如右圖所示。 ad 4 3 簡化中心的選取不同，是否影響簡化中心的選取不同，是否影響最后最后的簡化結(jié)果？的簡化結(jié)果？ 2-132-13 解：整個

6、結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)。選擇滑輪為研究對象，受力如圖，列平衡方程 （坐標一般以水平向右為 x 軸正向，豎直向上為 y 軸正向，力偶以逆時針為正） ： 0 x F0sin Bx FP 0 y F0cosPPFBy 選梁 AB 為研究對象，受力如圖，列平衡方程： 0 x F0 BxAx FF 0 y F0 ByAy FF 0 A M0lFM ByA 求解以上五個方程，可得五個未知量分別為： AByBxAyAx MFFFF, （與圖示方向相反）sinPFF BxAx （與圖示方向相同） )cos1 (PFF ByAy （逆時針方向）lPM A )cos1 ( 2-182-18 解：選 AB 桿為研究對象，

7、受力如圖所示，列平衡方程： 0 A M 0coscos 2cos lF l G a ND 0 y F0cosFGND 求解以上兩個方程即可求得兩個未知量，其中：, D N 3 1 )2( )(2 arccos lGF aGF 未知量不一定是力。未知量不一定是力。 2-272-27 解：選桿 AB 為研究對象，受力如下圖所示。列平衡方程： 0 y M 0tansincostan 2 1 cFcFcP BCBC NFBC 6 . 60 0 x M 0sin 2 1 aFcFaP BCB NFB100 由和可求出。平衡方程可用來校核。 0 y F 0 z F AzAy FF ,0 x M 思考題：思

8、考題：對該剛體獨立的平衡方程數(shù)目是幾個？ 2-292-29 解：桿 1，2，3，4，5，6 均為二力桿，受力方向沿兩端點連線方向，假設(shè)各桿 均受壓。選板 ABCD 為研究對象，受力如圖所示，該力系為空間任意力系。采用 六矩式平衡方程： 0 DE M045cos 0 2 F0 2 F 0 AO M045cos45cos45cos 000 6 aFaF (受拉) FF 2 2 6 (受壓)0 BH M045cos45cos 0 6 0 4 aFaF FF 2 2 4 0 AD M045sin45cos 00 61 aFaFaF (受壓) FF 2 21 1 (受拉)0 CD M045sin 0 3

9、1 aFaFaF FF 2 1 3 0 BC M045cos 0 453 aFaFaF0 5 F 本題也可以采用空間任意力系標準式平衡方程，但求解代數(shù)方程組非常麻煩。 類似本題的情況采用六矩式方程比較方便，適當?shù)倪x擇六根軸保證一個方程求保證一個方程求 解一個未知量，避免求解聯(lián)立方程解一個未知量，避免求解聯(lián)立方程。 2-312-31 力偶矩力偶矩cmNM1500 解：取棒料為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程: 0 0 0 O y x M F F 0 2 )( 045sin 045cos 21 1 0 2 2 0 1 M D FF NpF NpF 補充方程： 22 11 NfF NfF s s

10、五個方程，五個未知量，可得方程： s fNFNF， 2211 , 0222 2 MfDpfM SS 解得。當時有： 491. 4,223 . 0 21 SS ff491. 4 2 S f 0 )1 (2 )1 ( 2 2 2 1 S S f fp N 即棒料左側(cè)脫離 V 型槽，與提議不符，故摩擦系數(shù)。 223. 0 S f 2-332-33 解：當時，取桿 AB 為研究對象，受力如圖所示。 0 45 列平衡方程： 0 0 0 A y x M F F 0sin 2 cossinsincos 0cos 0sin BA pCATCAT pTF TF S N 附加方程： NSS FfF 四個方程，四個

11、未知量，可求得。 sSN fTFF，,646 . 0 s f 2-352-35 解：選棱柱體為研究對象，受力如圖所示。假設(shè)棱柱邊長為 a，重為 P，列平衡 方程： 0 0 0 x B A F M M 0sin 0 32 sin 2 cos 0 32 sin 2 cos PFF a P a PaF a P a PaF BA NA NB 如果棱柱不滑動，則滿足補充方程時處于極限平衡狀態(tài)。解以 NBsB NAsA FfF FfF 2 1 上五個方程，可求解五個未知量，其中：, NBBNAA FFFF (1) 32 )(3 tan 12 21 ss ss ff ff 當物體不翻倒時，則：0 NB F

12、(2) 0 60tan 即斜面傾角必須同時滿足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。 靜力學(xué)第三章習(xí)題答案靜力學(xué)第三章習(xí)題答案 3-103-10 解：假設(shè)桿 AB，DE 長為 2a。取整體為研究對 象，受力如右圖所示，列平衡方程： 0 C M02 aFBy0 By F 取桿 DE 為研究對象，受力如圖所示，列平 FCx FCy FBx FBy 衡方程： 0 H M0aFaFDyFFDy 0 B M02 aFaFDxFFDx2 取桿 AB 為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： (與假設(shè)方向相反) 0 y F0 ByDyAy FFFFFAy (與假設(shè)方向相反) 0 A M02 aFaF BxDx

13、 FFBx (與假設(shè)方向相反) 0 B M02aFaF DxAx FFAx 3-123-12 解：取整體為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 0 C M0 xFbFD F b x FD 取桿 AB 為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 0 A M0 xFbFB F b x FB FCx FCy FD 桿 AB 為二力桿，假設(shè)其受壓。取桿 AB 和 AD 構(gòu)成的組合體為研究對象，受力如 圖所示，列平衡方程： 0 E M 0 2 ) 2 ( 2 )( b Fx b F b FF ACDB 解得，命題得證。FFAC 注意：銷釘注意：銷釘 A A 和和 C C 聯(lián)接三個物體。聯(lián)接三個物體。 3-1

14、43-14 解：取整體為研究對象，由于平衡條件可知該力系對任一點之矩為零，因此有： 0 A M0)(MMFM BA 即必過 A 點，同理可得必過 B 點。也就是和是大小相等，方向相反 B F A F A F B F 且共線的一對力，如圖所示。 取板 AC 為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 0 C M045cos45sin 00 MbFaF AA FA FB 解得：(方向如圖所示) ba M FA 2 3-203-20 解：支撐桿 1，2，3 為二力桿，假設(shè)各桿均受壓。選梁 BC 為研究對象，受力如 圖所示。其中均布載荷可以向梁的中點簡化為一個集中力，大小為 2qa，作用 在 BC 桿中點

15、。列平衡方程： (受壓) 0 B M0245sin 0 3 MaqaaF )2(2 3 qa a M F 選支撐桿銷釘 D 為研究對象，受力如右圖所示。列平衡方程： (受壓) 0 x F045cos 0 31 FF qa a M F2 1 (受拉) 0 y F045sin 0 32 FF )2( 2 qa a M F 選梁 AB 和 BC 為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： (與假設(shè)方向相反) 0 x F045cos 0 3 FFAx )2(qa a M FAx 0 y F0445sin 0 32 qaPFFFAyqaPFAy4 0 A M0345sin242 0 32 MaFaqaaPa

16、FM A (逆時針) MPaqaM A 24 2 3-213-21 D F3 F2 F1x y FAx FAy FBx FBy 解：選整體為研究對象，受力如右圖所示。 列平衡方程： 0 A M022aFaFByFFBy 0 B M022aFaFAyFFAy (1) 0 x F0FFF BxAx 由題可知桿 DG 為二力桿，選 GE 為研究對象，作用于其上的力匯交于點 G，受 力如圖所示，畫出力的三角形，由幾何關(guān)系可得：。 FFE 2 2 取 CEB 為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： 0 C M045sin 0 aFaFaF EByBx 2 F FBx 代入公式(1)可得： 2 F FAx

17、 3-243-24 解：取桿 AB 為研究對象，設(shè)桿重為 P，受力如圖所示。列平衡方程： 0 A M 060cos 2 3 3 0 1 r PrN )(93 . 6 1 NN 0 x F060sin 0 1 NFAx)(6 NFAx 0 y F060cos 0 1 PNFAy)(5 .12NFAy 取圓柱 C 為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： 0 x F030cos30cos 00 1 TN)(93. 6NT 注意：由于繩子也拴在銷釘上，因此以整體為研究對象求得的注意：由于繩子也拴在銷釘上，因此以整體為研究對象求得的 A A 處的約束力不處的約束力不 是桿是桿 ABAB 對銷釘?shù)淖饔昧Α?/p>

18、對銷釘?shù)淖饔昧Α?3-273-27 解：取整體為研究對象，設(shè)桿長為 L，重為 P，受力如圖所示。列平衡方程： (1) 0 A M 0cos 2 2sin2 L PLFN tan2 P FN 取桿 BC 為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： (2) 0 B M 0coscos 2 sinLF L PLF sN PFS 補充方程：， Nss FfF 將(1)式和(2)式代入有：，即。 2 tan s f 0 10 3-293-29 證明：（1）不計圓柱重量 法 1： 取圓柱為研究對象，圓柱在 C 點和 D 點分別受到法向約束力和摩擦力的作用， 分別以全約束力來表示，如圖所示。如圓柱不被擠出而處于

19、平衡狀態(tài)， RDRC FF , 則等值，反向，共線。由幾何關(guān)系可知，與接觸點 C，D 處法 RDRC FF , RDRC FF , 線方向的夾角都是，因此只要接觸面的摩擦角大于，不論 F 多大，圓柱不 2 2 FAx FAy FN Fs P P 會擠出，而處于自鎖狀態(tài)。 法 2（解析法）： 首先取整體為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： 0 A M0lFaFND F a l FND 再取桿 AB 為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： 0 A M0lFaFNC NDNC FF a l F 取圓柱為研究對象，受力如圖所示。假設(shè)圓柱半徑為 R，列平衡方程： 0 O M0RFRF SDSCSDSC

20、 FF 0 x F0cossin SDSCNC FFF NDNCSDSC FFFF cos1 sin cos1 sin 由補充方程：，可得如果： NDSDSDNCSCSC FfFFfF, FND FSD o FAx FAy 2 tan, 2 tan cos1 sin SDSC ff 則不論 F 多大，圓柱都不被擠出，而處于自鎖狀態(tài)。 證明：（2）圓柱重量 P 時 取圓柱為研究對象，此時作用在圓柱上的力有重力 P，C 點和 D 點處的全約束力 。如果圓柱保持平衡，則三力必匯交于 D 點（如圖所示） 。全約束力 RDRC FF , 與 C 點處法線方向的夾角仍為，因此如果圓柱自鎖在 C 點必須滿足

21、： RC F 2 (1) 2 tan cos1 sin SC f 該結(jié)果與不計圓柱重量時相同。只滿足只滿足(1)(1)式時式時 C C 點無相對滑動，但在點無相對滑動，但在 D D 點有可點有可 能滑動能滑動( (圓柱作純滾動圓柱作純滾動) )。再選桿 AB 為研究對象，對 A 點取矩可得， F a l FNC 由幾何關(guān)系可得： (2) F a l FSC 2 tan 2 cos a Fl FRC 法 1（幾何法）： 圓柱保持平衡，則作用在其上的三個力構(gòu)成封閉得力三角形，如圖所示。由幾 何關(guān)系可知： sin ) 2 180(180sin 00 RC FP 將(2)式代入可得： )cos1)(

22、sin tan FlPa Fl P FRD FRC 2 因此如果圓柱自鎖在 D 點必須滿足：(3) )cos1)( sin tan FlPa Fl fSD 即當同時滿足(1)式和(3)式時，圓柱自鎖，命題得證。 法 2（解析法）： 取圓柱為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 0 x F0cossin SDSCNC FFF 0 y F0cossin NCSCND FFPF 解得：， F a l FF SDSC 2 tan ) 2 tansin(cos a Fl PFND 代入補充方程：， NDSDSD FfF 可得如果圓柱自鎖在 D 點必須滿足：(3) )cos1)( sin tan FlPa

23、 Fl fSD 即當同時滿足(1)式和(3)式時，圓柱自鎖，命題得證。 3-303-30 解：取整體為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： 0 0 y x F F 02 0 PFFF FF NEND SESD 由題可知，桿 AC 為二力桿。作用在桿 BC 上的力有主動力，以及 B 和 C 處的F 約束力和，由三力平衡匯交，可確定約束力和的方向如圖所示， B F AC F B F AC F 其中：，桿 AC 受壓。 3 1 tan 取輪 A 為研究對象，受力如圖所示，設(shè)的作用線與水平面交于 F 點，列平 AC F 衡方程： 0 A M0 DSD MRF 0 F M0)( DND MRPF 取輪

24、B 為研究對象，受力如圖所示，設(shè)的作用線與水平面交于 G 點，列平衡 B F 方程： 0 B M0RFM SEE 0 G M0tan)(RFPM NEE 解以上六個方程，可得： ， ， FPFND 4 1 FPFNE 4 3 ， FFF SESD 4 1 FRMM ED 4 1 若結(jié)構(gòu)保持平衡，則必須同時滿足： ， NDD FM NEE FM NDsSD FfF NEsSE FfF 即：， P Rf Pf f Pf P R P R F s s s s 4 31 4 , 1 4 , 3 4 , 4 min 因此平衡時的最大值，此時：F36 . 0 max F ， )(091 . 0 NFF SE

25、SD )(91. 0cmNMM ED 3-353-35 解：由圖可見桿桁架結(jié)構(gòu)中桿 CF，F(xiàn)G，EH 為零力桿。用剖面 SS 將該結(jié)構(gòu)分為 兩部分，取上面部分為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程： (受拉) 0 C M0346cos 1 GH FFF)(58.14 1 kNF (受拉) 0 x F0sin 31 H FFF 3 . 31 3 F (受壓) 0 y F0cos 12 G FFF3 .18 2 F 3-383-38 解：假設(shè)各桿均受壓。取三角形 BCG 為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： (受壓) 0 x F0 CD FFFFCD 取節(jié)點 C 為研究對象，受力如圖所示。列平衡方

26、程： 0 0 y x F F 0sin45sin 0cos45cos 0 0 CGBC CGCDBC FF FFF 其中：，解以上兩個方程可得：(受壓) 22 21 tan FFBC586 . 0 3-403-40 解：取整體為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程： 0 A M0322aFaFaFBFFB5 . 2 用截面 S-S 將桁架結(jié)構(gòu)分為兩部分，假設(shè)各桿件受拉，取右邊部分為研究對象， 受力如圖所示。列平衡方程： (受拉) 0 C M03 2 aFaFaFB FF 6 7 2 (受拉) 0 X F02 21 FFF FF 6 5 1 AB C 3 4 5 FAy FAx FB C S S

27、靜力學(xué)第四章習(xí)題答案靜力學(xué)第四章習(xí)題答案 4-14-1 解： 1.選定由桿 OA，O1C，DE 組成的系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)具有理想約束。作用 在系統(tǒng)上的主動力為。 M FF, 2.該系統(tǒng)的位置可通過桿 OA 與水平方向的夾角 完全確定，有一個自由度。 選參數(shù) 為廣義坐標。 3.在圖示位置，不破壞約束的前提下，假定桿 OA 有一個微小的轉(zhuǎn)角 ，相 應(yīng)的各點的虛位移如下： ，AOrABOrBCOr C1 ，DOrD 1CB rr ED rr 代入可得： EA rr30 4.由虛位移原理有：0)( i FW 0)30( EMEMA rFFrFrF 對任意有：，物體所受的擠壓力的方向豎直向下。0 E

28、 rFFM30 4-54-5 解： 1.選整個系統(tǒng)為研究對象，此系統(tǒng)包含彈簧。設(shè)彈簧力，且， 21,F F 21 FF 將彈簧力視為主動力。此時作用在系統(tǒng)上的主動力有，以及重力。 21,F FP 2. 該系統(tǒng)只有一個自由度，選定為廣義坐標。由幾何關(guān)系可知： sinazz BA 3.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定有一個微小的虛位移 ，則質(zhì)心 的虛位移為： cosazzz BAC 彈簧的長度，在微小虛位移 下： 2 sin2 al 2 cosal 4.由虛位移原理有：0)( i FW 0) 2 coscos( 22 aFPalFzP C 其中，代入上式整理可得： ) 22 sin2( 2 a

29、 akF 0 2 ) 2 cossin2(cos2 a kaP 由于，對任意可得平衡時彈簧剛度系數(shù)為：0a0 ) 2 cossin2( cos2 a P k 4-74-7 解：將均布載荷簡化為作用在 CD 中點的集中載荷，大小為。 3 Fq6 1.求支座 B 處的約束力 解除 B 點處的約束，代之以力，并將其視為主動力，系統(tǒng)還受到主動力 B F 的作用，如圖所示。在不破壞約束的前提下，桿 AC 不動，梁MFFF, 321 CDB 只能繞 C 點轉(zhuǎn)動。系統(tǒng)有一個自由度，選轉(zhuǎn)角為廣義坐標。給定虛位移 ，由虛位移原理有：0)( i FW (1)0150cos45cos 33 0 22 0 yFyFM

30、rF BB 各點的虛位移如下： 26 B r 9 2 y 3 3 y 代入(1)式整理可得： 0)3 2 39 6( 32 FFMFB 對任意可得：，方向如圖所示。0)(6.18kNFB 2.求固定端 A 處的約束力 解除 A 端的約束，代之以，并將其視為主動力，系統(tǒng)還受 AAyAx MFF, 到主動力的作用。系統(tǒng)有三個自由度，選定 A 點的位移MFFF, 321 和梁 AC 的轉(zhuǎn)角為廣義坐標。 AA yx , 2a.求 Ax F 在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，0,0,0 AA yx 此時整個結(jié)構(gòu)平移，如上圖所示。由虛位移原理有：0)( i FW (2)0120cos 0 2211 xF

31、xFxF AAx 各點的虛位移如下： A xxx 21 代入(2)式整理可得： 0)5.0( 21 AAx xFFF 對任意可得：，方向如圖所示。0 A x)(2 kNFAx 2b.求 Ay F 在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，0,0,0 AA yx 此時梁 AC 向上平移，梁 CDB 繞 D 點轉(zhuǎn)動，如上圖所示。由虛位移原理 有：0)( i FW (3) 030cos 0 2233 MyFyFyF AAy 各點的虛位移如下： AC yyyy 2 1 2 1 32 A yy 6 1 3 1 2 代入(3)式整理可得： 0) 6 1 4 3 2 1 ( 23 AAy yMFFF 對任意可得：

32、，方向如圖所示。0 A y)(8.3kNFAy 2c.求 A M 在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，0,0,0 AA yx 此時梁 AC 繞 A 點轉(zhuǎn)動，梁 CDB 平移，如上圖所示。由虛位移原理 有：0)( i FW (4)0120cos 0 2211 xFxFM A 各點的虛位移如下： 3 1 x6 2 C xx 代入(4)式整理可得： 0)33( 21 FFM A 對任意可得：，順時針方向。0)(24mkNM A 4-84-8 解：假設(shè)各桿受拉，桿長均為 a。 1求桿 1 受力 去掉桿 1，代之以力，系統(tǒng)有一個自由度，選 AK 與水平方向的夾角為 1 P 廣義坐標，如上圖所示。在不破壞

33、約束的條件下給定一組虛位移，此時三角形 ADK 形狀不變，繞 A 點轉(zhuǎn)動，因此有，且：KArDAr KD , arar KD 3, 滑動支座 B 處只允許水平方向的位移，而桿 BK 上 K 點虛位移沿鉛垂方向，故 B 點不動。三角形 BEK 繞 B 點旋轉(zhuǎn)，且：EBrE arr DE 對剛性桿 CD 和桿 CE，由于，因此。由虛位ECrDCr ED ,0 C r 移原理有：0)( i FW 060cos60cos)( 0 1 0 11 ED rPrPF 代入各點的虛位移整理可得： 0)2( 11 aPF 對任意可得：（受壓） 。0 2 1 1 F P 2求桿 2 受力 去掉桿 2，代之以力，系

34、統(tǒng)有一個自由度，選 BK 與水平方向的夾角 2 P 為廣義坐標，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，桿 AK 繞 A 點轉(zhuǎn)動，因此有，且：KArK arK3 同理可知 B 點不動，三角形 BEK 繞 B 點旋轉(zhuǎn)，且：EBrE arEarr DE 桿 AD 繞 A 點轉(zhuǎn)動，由剛性桿 DE 上點 E 的虛位移可確定 D 點位移DArD 方向如圖所示，且： arr ED 同理可知。由虛位移原理有：0 C r0)( i FW 0120cos150cos120cos 0 2 0 2 0 1 KDD rPrPrF 代入各點的虛位移整理可得： 0)32( 21 aPF 對任意可得：（受壓） 。0

35、 6 3 1 2 F P 3求桿 3 受力 去掉桿 3，代之以力，系統(tǒng)有一個自由度，選 AK 與水平方向的夾角為 3 P 廣義坐標，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，三角形 ADK 繞 A 點轉(zhuǎn)動，且：KArDAr KD , arar KD 3, 同理可知 B 點不動，且：EBrE arr DE 0 C r 由虛位移原理有：0)( i FW 0120cos150cos60cos 0 3 0 3 0 1 KED rPrPrF 代入各點的虛位移整理可得： 0)32( 31 aPF 對任意可得：（受拉） 。0 6 3 1 3 F P 動力學(xué)第一章習(xí)題答案動力學(xué)第一章習(xí)題答案 1 13

36、3 解： 運動方程：，其中。 tanly kt 將運動方程對時間求導(dǎo)并將代入得 0 30 3 4 coscos 22 lklkl yv 9 38 cos sin2 2 3 2 lklk ya 1 16 6 證明：質(zhì)點做曲線運動,所以, nt aaa 設(shè)質(zhì)點的速度為,由圖可知:v ，所以: a a v vy n cos y v va a n 將，cvy 2 n v a 代入上式可得 c v a 3 證畢 1 17 7 證明：因為， n 2 a v v aa va sin n 所以： va 3 v 證畢 1 11010 解：設(shè)初始時,繩索 AB 的長度為,時刻 時的長度Lt 為,則有關(guān)系式：s x

37、 y o a n a v y v x y o a n a t a o v o v F N F gm y ，并且 tvLs 0 222 xls 將上面兩式對時間求導(dǎo)得： ， 0 vsxxs s22 由此解得： （a） x sv x 0 (a)式可寫成：，將該式對時間求導(dǎo)得：svxx 0 (b) 2 00 2 vvsxxx 將(a)式代入(b)式可得：（負號說明滑塊 A 的加速度向上） 3 22 0 22 0 x lv x xv xax 取套筒 A 為研究對象，受力如圖所示，根據(jù)質(zhì)點矢量形式的運動微分方程有： gFFamm N 將該式在軸上投影可得直角坐標形式的運動微分方程：yx, N FFym

38、Fmgxm sin cos 其中： 2222 sin,cos lx l lx x 0, 3 22 0 y x lv x 將其代入直角坐標形式的運動微分方程可得： 2 3 22 0 )(1)( x l x lv gmF 1 11111 解：設(shè) B 點是繩子 AB 與圓盤的切點，由于繩子相對圓盤無滑動，所以，由于繩子RvB 始終處于拉直狀態(tài)，因此繩子上 A、B 兩點的速度在 A、B 兩點連線上的投影相等，即： （a）cos AB vv 因為 A x O A v A x O B v B R （b） x Rx 22 cos 將上式代入（a）式得到 A 點速度的大小為： （c） 22 Rx x RvA

39、由于， （c）式可寫成：，將該式兩邊平方可得：xvARxRxx 22 222222 )(xRRxx 將上式兩邊對時間求導(dǎo)可得： xxRxxRxxx 22322 22)(2 將上式消去后，可求得： x 2 (d) 222 42 )(Rx xR x 由上式可知滑塊 A 的加速度方向向左，其大小為 222 42 )(Rx xR aA 取套筒 A 為研究對象，受力如圖所示， 根據(jù)質(zhì)點矢量形式的運動微分方程有： gFFamm N 將該式在軸上投影可得直角坐標形式的yx, 運動微分方程： mgFFym Fxm N sin cos 其中： , x Rx x R 22 cos,sin 0, )( 222 42

40、 y Rx xR x 將其代入直角坐標形式的運動微分方程可得 2 5 2 5 )( , )( 22 52 22 242 Rx xRm mgF Rx xRm F N 1 11313 解：動點：套筒 A； 動系：OA 桿； 定系：機座； 運動分析： 絕對運動：直線運動； a v e v r v x A v A O N F B R gm F y 相對運動：直線運動； 牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動。 根據(jù)速度合成定理 rea vvv 有：，因為 AB 桿平動，所以， eacos vvvv a 由此可得，OC 桿的角速度為，所以 e cosvv OA ve cos l OA l v 2 cos 當時，OC 桿上

41、C 點速度的大小為 0 45 l av l av avC 2 45cos 02 1 11515 解：動點：銷子 M 動系 1：圓盤 動系 2：OA 桿 動系：機座； 運動分析： 絕對運動：曲線運動 相對運動：直線運動 牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動 根據(jù)速度合成定理有 ， r1e1a1 vvv r2e2a2 vvv 由于動點 M 的絕對速度與動系的選取無關(guān)，即，由上兩式可得： a1a2 vv (a) r1e1 vv r2e2 vv 將（a）式在向在 x 軸投影,可得： 0 r2 0 e2 0 e1 30cos30sin30sinvvv 由此解得： sm b OMvvv/4 . 0)93( 30cos 30

42、sin )(30tan)(30tan 02 0 12 0 e1e2 0 r2 32 . 0 2e2 OMv smvvvvM/529 . 0 2 2r 2 e2a2 1 11717 解：動點：圓盤上的 C 點； 動系：OA 桿； 定系：機座； 運動分析：絕對運動：圓周運動； a v e v r v e1 v e2 v r2 v r1 v x 相對運動：直線運動（平行于 O1A 桿） ； 牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動。 根據(jù)速度合成定理有 （a） rea vvv 將（a）式在垂直于 O1A 桿的軸上投影以及在 O1C 軸上投影得： ， 0 e 0 a 30cos30cosvv 0 e 0 a 30sin30

43、sinvv ，Rvv ae Rvv ra 5 . 0 2O1 e 1 R R A v 根據(jù)加速度合成定理有 （b） C aaaaa r n e t ea 將（b）式在垂直于 O1A 桿的軸上投影得 C aaaa 0n e 0t e 0 a 30sin30cos30sin 其中：， 2 a Ra 2 1 n e 2Ra r1 2vaC 由上式解得： 2 t e 1 12 3 2R a 1 11919 解：由于 ABM 彎桿平移，所以有 MAMA aavv. , ?。簞狱c：套筒 M； 動系：OC 搖桿； 定系：機座； 運動分析： 絕對運動：圓周運動； 相對運動：直線運動； 牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動。 根

44、據(jù)速度合成定理 rea vvv 可求得：，m/s2222 ea bvvvv AM m/s2 er bvv rad/s 3 34 5 . 1 22 1 1 AO vA 根據(jù)加速度合成定理 C aaaaaa r n e t e n a t a a a t e a n e a r a C a a v e v r v t a a n a a t e a n e a r a C a 將上式沿方向投影可得： C a C aaaa t e 0n a 0t a 45sin45cos 由于，根據(jù)上式可得： 22 1 n a m/s8la 2t e m/s1 ba 2 r m/s82vaC ， 0 t a 45c

45、os 247 a 2 t a 1 rad/s12 3 )247(22 l a 1-201-20 解：取小環(huán)為動點，OAB 桿為動系 運動分析 絕對運動：直線運動； 相對運動：直線運動； 牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動。 由運動分析可知點的絕對速度、相對速度和牽連速度的方向如圖所示， 其中： r r OMv2 60cos 0 e 根據(jù)速度合成定理： rea vvv 可以得到： ， r r vv32 60cos 60sin tan 02 0 ea r v v4 60cos 0 e r 加速度如圖所示，其中： ， 2 0 2 2 e 2 60cos r r OMa 2 r 82rvaC 根據(jù)加速度合成定理： C

46、 aaaa rea 將上式在軸上投影，可得： ,由此求得： x C aaacoscos ea 2 a 14ra 121 解：求汽車 B 相對汽車 A 的速度是指以汽車 A 為參考系觀察汽車 B 的速度。 ?。簞狱c：汽車 B； 動系：汽車 A（Oxy ） ； 定系：路面。 a v M O A B r v e v x C a a a M O A B r a e a O x y e v a v r v 運動分析 絕對運動：圓周運動； 相對運動：圓周運動； 牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動（汽車 A 繞 O 做定軸轉(zhuǎn)動） 求相對速度，根據(jù)速度合成定理 rea vvv 將上式沿絕對速度方向投影可得： rea vvv

47、因此 aer vvv 其中：， A A BB R v Rvvv, ea 由此可得：m/s 9 380 r BA A B vv R R v 求相對加速度，由于相對運動為圓周運動， 相對速度的大小為常值，因此有： 2 2 rn rr m/s78 . 1 B R v aa 123 質(zhì)量為銷釘 M 由水平槽帶動，使其在半徑為的固定圓槽內(nèi)運動。設(shè)水平槽以勻mr 速向上運動，不計摩擦。求圖示瞬時，圓槽作用在銷釘 M 上的約束力。v 解：銷釘 M 上作用有水平槽的約束力和圓槽的約束力（如圖所示） 。由于銷釘 M 的運F O F 動是給定的，所以先求銷釘?shù)募铀俣?，在利用質(zhì)點運動微分方程求約束力。取銷釘為動點，

48、 水平槽為動系。由運動分析可知銷釘?shù)乃俣葓D如圖所示。 O x y n r a M r O v gm O F M r O v gm F r a e v a v r v M r O n a a M r O t a a 根據(jù)速度合成定理有 rea vvv 由此可求出： 。再根據(jù)加速度合成定理有： coscos e a vv v rea aaa 由于絕對運動是圓周運動，牽連運動是勻速直線平移，所以，并且上式可寫成：0 e a r n a t a aaa 因為，所以根據(jù)上式可求出。 2 22 a n a cosr v r v a 3 2 n a t a cos sin tan r v aa 根據(jù)矢量形式

49、的質(zhì)點運動微分方程有：gFFaamm O )( n a t a 將該式分別在軸上投影： xcos)cossin( n a t aO Faam 由此求出： ) 1(tan cos 2 2 2 r mv FO 1-241-24 圖示所示吊車下掛一重物 M，繩索長為 ，初始時吊車與重物靜止。若吊車從靜止以l 均加速度沿水平滑道平移。試求重物 M 相對吊車的速度與擺角的關(guān)系式。a 解：由于要求重物相對吊車的速度，所以取吊車為動系，重物 M 為動點。根據(jù)質(zhì)點相對運 動微分方程有 er FgFamm 將上式在切向量方向投影有cossin et Fmgmlma 因為，所以上式可寫成, ee mamaF d

50、d d d d d d d tt cossin d d mamgml 整理上式可得 dcosdsindagl 將上式積分： a M t e a gm e F F cag l sincos 2 2 其中為積分常數(shù)（由初始條件確定） ，因為相對速度，上式可寫成clv r cag l v sincos 2 2 r 初始時，系統(tǒng)靜止，根據(jù)速度合成定理可知，由此確定。00 ea vv0 r vgc 重物相對速度與擺角的關(guān)系式為：sin) 1(cos2 2 r aglv 1-261-26 水平板以勻角速度繞鉛垂軸 O 轉(zhuǎn)動，小球 M 可在板內(nèi)一光滑槽中運動（如圖 7-8） ， 初始時小球相對靜止且到轉(zhuǎn)軸

51、O 的距離為，求小球到轉(zhuǎn)軸的距離為時的相對速 O R O RR 度。 解：取小球為動點，板為動系，小球在水平面的受力如圖所示（鉛垂方向的力未畫出） 。根 據(jù)質(zhì)點相對運動微分方程有： C mFFFa er 將上式在上投影有 r vcos d d e r t r F t v mma 因為，所以上式可寫成 2 e mRF t R R v t v d d d d d d rr cos d d r v t R cos d d cos 2 r r mR R v mv 整理該式可得，將該式積分有 2 r r d d R R v vcRv 222 r 2 1 2 1 初始時,由此確定積分常數(shù)，因此得到相對速度

52、為 O RR 0 r v 22 2 1 O Rc 22 rO RRv 1-271-27 重為 P 的小環(huán) M 套在彎成形狀的金屬絲上，該金屬絲繞鉛垂軸以勻角速度 2 cxy x 轉(zhuǎn)動，如圖所示。試求小環(huán) M 的相對平衡位置以及金屬絲作用在小環(huán)上的約束力。 R Ro O C F e F R Ro F r v O x y M x y M F e F P 解：解：取小環(huán)為動點，金屬絲為動系，根據(jù)題意，相對平衡位置為，因為金屬絲為曲0 r a 線，所以，因此在本題中相對平衡位置就是相對靜止位置。小環(huán)受力如圖所示。其0 r v 中分別為約束力、牽連慣性力和小環(huán)的重力。根據(jù)質(zhì)點相對運動微分方程有：PFF,

53、 e 0 e PFF 其中：，將上式分別在軸上投影有 2 e y g P F yx, （a） 0cos 0sin e FF FP 以為，,因此 x y d d tan x c y 2 2 2 d d x c x y （b） 2 2 tan x c 由（a）式可得 （c） e tan F P 將代入（c） ，聯(lián)立求解（b） 、 （c）并利用，可得： 2 e y g P F 2 cxy 3 1 2 2 3 1 24 , gc y g c x 再由方程（a）中的第一式可得 3 4 2 4 4 4 44 11 sin g c P c x P c cx P P F 動力學(xué)第二章習(xí)題答案動力學(xué)第二章習(xí)題答

54、案 2-1 解：當摩擦系數(shù)足夠大時，平臺 ABf 相對地面無滑動，此時摩擦力 N fFF v r v N F F g 1 m g 2 m x 取整體為研究對象，受力如圖， 系統(tǒng)的動量： r2v pm 將其在軸上投影可得：xbtmvmpx 2r2 根據(jù)動量定理有： gmmffFFbm t p N x )( d d 212 即：當摩擦系數(shù)時，平臺 AB 的加速度為零。 gmm bm f )( 21 2 當摩擦系數(shù)時，平臺 AB 將向左滑動，此時系統(tǒng)的動量為： gmm bm f )( 21 2 vvvp 1r2 )(mm 將上式在軸投影有：xvmmbtmvmvvmpx)()()( 2121r2 根據(jù)

55、動量定理有：gmmffFFammbm t p N x )()( d d 21212 由此解得平臺的加速度為：（方向向左）fg mm bm a 21 2 2-2 取彈簧未變形時滑塊 A 的位置為 x 坐標原點，取整體為研究對象，受力如圖所示,其 中為作用在滑塊 A 上的彈簧拉力。系統(tǒng)的動量為：F )( r111 vvvvvpmmmm 將上式在 x 軸投影： )cos( 1 lxmxmpx 根據(jù)動量定理有： kxFlmxmm t px sin)( d d 2 11 系統(tǒng)的運動微分方程為：tlmkxxmmsin)( 2 11 24 取提起部分為研究對象，受力如圖(a)所示，提起部分的質(zhì)量為，提起部v

56、tm 分的速度為，根據(jù)點的復(fù)合運動可知質(zhì)點并入的相對速度為，方向向下，大小為v r v （如圖 a 所示） 。v N F gm g 1 m F x v r v v r v gm )(tF y N F （a）(b) 根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點動力學(xué)方程有： vvtt t m mt t m rr )()( d d )( d d vgFvgF v 將上式在 y 軸上投影有： )()()()( d d 2 r vvgttFvvgvttF t v m 由于，所以由上式可求得：。0 d d t v )()( 2 vvgttF 再取地面上的部分為研究對象，由于地面上的物體沒有運動，并起與提起部分沒有相 互作用力，因此地

57、面的支撐力就是未提起部分自身的重力，即：gvtlFN)( 25 將船視為變質(zhì)量質(zhì)點，取其為研究對象， 受力如圖。根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點動力學(xué)方程有： N t m m t mFvgF v d d d d r 船的質(zhì)量為：，水的阻力為qtmm 0 vFf 將其代入上式可得： N qmf t qtmFvgv v r0 d d )( 將上式在 x 軸投影：。應(yīng)用分離變量法可求得)( d dv )( r0 vqfv t qtm cqtm q f fvqv)ln()ln( 0r 由初始條件確定積分常數(shù)，并代入上式可得： 0 ln)ln(m q f qvc r q f m qtm f qv v)(1 0 0r 2-

58、82-8 圖 a 所示水平方板可繞鉛垂軸 z 轉(zhuǎn)動，板對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為，質(zhì)量為的質(zhì)點Jm 沿半徑為的圓周運動，其相對方板的速度大小為（常量） 。圓盤中心到轉(zhuǎn)軸的距離為 。Rul 質(zhì)點在方板上的位置由確定。初始時，方板的角速度為零，求方板的角速度與0 gm N F v x 角的關(guān)系。 圖 a 圖 b 解：取方板和質(zhì)點為研究對象，作用在研究對象上的外力對轉(zhuǎn)軸 z 的力矩為零，因此系統(tǒng) 對 z 軸的動量矩守恒。下面分別計算方板和質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的動量矩。 設(shè)方板對轉(zhuǎn)軸的動量矩為，其角速度為，于是有 1 L JL 1 設(shè)質(zhì)點 M 對轉(zhuǎn)軸的動量矩為，取方板為動系，質(zhì)點 M 為動點，其牽連速度和相對速度分 2

59、 L 別為。相對速度沿相對軌跡的切線方向，牽連速度垂直于 OM 連線。質(zhì)點 M 相對慣性 re,v v 參考系的絕對速度。它對轉(zhuǎn)軸的動量矩為 rea vvv )()()( r2e2a22 vvvmLmLmLL 其中： )sin()cos()( 222 e2 RRlmmrmLv r 2 rr2 sincos)cos()(vmRvRlmmLv 系統(tǒng)對 z 軸的動量矩為。初始時，此時系統(tǒng)對 z 軸的動 21 LLL uv r , 0, 0 量矩為 uRlmL)( 0 當系統(tǒng)運動到圖 8-12 位置時，系統(tǒng)對 z 軸的動量矩為 muRlmlRRlJ umRuRlmRRlmJL )cos()cos2(

60、sincos)cos()sin()cos( 22 222 由于系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒。所以有，因此可得： 0 LL muRlmlRRlJuRlm)cos()cos2()( 22 z u l R o g o l r v e v r M 由上式可計算出方板的角速度為 )cos2( )cos1 ( 22 lRRlmJ uml 211 取鏈條和圓盤為研究對象，受力如圖（鏈條重力未畫） ，設(shè)圓盤的角速度為，則 系統(tǒng)對 O 軸的動量矩為： 2 )2(rraJL lOO 根據(jù)動量矩定理有： grxagrxa rraJ t L ll lO O )()( )2( d d 2 整理上式可得： grxrraJ ll