橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)總結(jié).doc

1、解圓錐曲線問題常用方法 +橢圓與雙曲線的經(jīng)典結(jié)論 + 橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)總結(jié)解圓錐曲線問題常用以下方法：1、定義法（ 1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r 2=2a。第二定義中，r1=ed1r2=ed2 。（ 2）雙曲線有兩種定義。 第一定義中， r1r22a ，當(dāng) r1r2 時，注意 r2 的最小值為c-a：第二定義中， r1=ed1，r 2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將半徑與“點到準線距離”互相轉(zhuǎn)化。（ 3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。2、韋達定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲

2、線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。3、解析幾何的運算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不求法” 。設(shè)而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點問題，常用“點差法”，即設(shè)弦的兩個端點A(x 1,y1),B(x 2,y2),弦 AB 中點為 M(x 0,y0)，將點 A 、 B 坐標代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè)而不求”法，具體有：（ 1） x2y21

3、(ab0) 與直線相交于A 、 B，設(shè)弦 AB 中點為 M(x 0,y0)，則有 x0y0k0 。a2b2a2b2x2y21(a0,bx0y0（ 2）b 20) 與直線 l 相交于 A 、 B，設(shè)弦 AB 中點為 M(x 0,y0)則有bk0a2a22（ 3） y2=2px （ p0）與直線 l 相交于 A 、 B 設(shè)弦 AB 中點為 M(x 0,y0),則有 2y0k=2p, 即 y0k=p.【典型例題 】例 1、 (1) 拋物線 C:y2 =4x 上一點 P 到點 A(3,42 )與到準線的距離和最小 ,則點 P 的坐標為 _(2)拋物線 C: y2=4x 上一點 Q 到點 B(4,1)

4、與到焦點 F 的距離和最小 ,則點 Q 的坐標為。分析：（1） A 在拋物線外，如圖，連PF，則 PHPF ，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng) A 、P、AHQF 三點共線時，距離和最小。PB（ 2）B 在拋物線內(nèi)，如圖，作 QR l 交于 R，則當(dāng) B、Q、R 三點共線時，距離和最小。F解：（ 1）（ 2， 2 ）連 PF，當(dāng) A 、P、F 三點共線時， APPHAPPF 最小，此時 AF 的方程為 y4 20 ( x 1) 即31y=2 2 (x-1), 代入 y2=4x 得 P(2,2 2 )，（注：另一交點為(1 , 2 )，它為直線 AF 與拋物線的另一交點，舍去）21（ 2）（ 1 ,1）過 Q 作

5、 QR l 交于 R，當(dāng) B 、Q、R 三點共線時， BQ QFBQ QR 最小，此時 Q 點的縱4坐標為 1，代入 y2=4x 得 x=1，Q( 1,1)44點評：這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個典型例題，請仔細體會。例 2、F 是橢圓 x2y21的右焦點， A(1,1) 為橢圓內(nèi)一定點， P 為橢圓上一動點。yAPH43（1） PAPF 的最小值為F0 Fx（2） PA2 PF 的最小值為分析： PF 為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑PF 或準線作出來考慮問題。解：（ 1） 4-5 設(shè)另一焦點為F ，則 F (-1,0)連 A F ,P FPAPFPA 2aPF2

6、a( PFPA ) 2aAF45當(dāng) P 是 F A 的延長線與橢圓的交點時, PAPF 取得最小值為 4-5 。（ 2）3作出右準線 l ，作 PH l 交于 H，因 a2=4， b2=3， c2=1， a=2， c=1， e=1 ，2 PF1 PH ,即2 PFPH PA 2PFPAPH2當(dāng) A 、 P、 H 三點共線時，其和最小，最小值為a24 13xAc例 3、動圓 M 與圓 C1:(x+1) 2+y 2=36 內(nèi)切 ,與圓 C2:(x-1) 2+y 2=4 外切 ,求圓心 M 的軌跡方程。分析： 作圖時，要注意相切時的“圖形特征”：兩個圓心與切點這三點共線（如y圖中的 A 、M 、C

7、共線， B、D、M 共線）。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半徑”C（如圖中的MCMD ）。MD解：如圖，MCMD ，A0 B5x ACMAMB DB即6 MAMB2 MAMB8 （*）2軌跡方程為x2y2點 M 的軌跡為橢圓， 2a=8， a=4， c=1， b =1516115點評：得到方程（* ）后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出( x1) 2y 2(x1) 2y 24 ，再移項，平方， 相當(dāng)于將橢圓標準方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣！例 4、 ABC 中， B(-5,0),C(5,0), 且 sinC-sinB= 3 sinA, 求點 A 的軌跡方程。5分析：

8、 由于 sinA 、sinB 、sinC 的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R（ R 為外接圓半徑） ，可轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系。2解： sinC-sinB= 3sinA2RsinC-2RsinB=3 2RsinA ABAC3 BC555即AB AC 6（*）點 A 的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點）2a=6， 2c=10 a=3， c=5， b=4所求軌跡方程為x 2y291 （ x3）16點評： 要注意利用定義直接解題，這里由（* ）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）例 5、定長為3 的線段 AB 的兩個端點在y=x 2 上移動， AB 中點為 M ，求點 M 到 x 軸的最短距離。分析：（ 1）可

9、直接利用拋物線設(shè)點，如設(shè)A(x 1,x12)， B(x2，X 22) ，又設(shè) AB中點為 M(x0y0)用弦長公式及中點公式得出 y0 關(guān)于 x0 的函數(shù)表達式，再用函數(shù)思想求出最短距離。（ 2）M 到 x 軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮 M 到準線的距離，想到用定義法。( x1x2 ) 2( x12x22 )29解法一： 設(shè) A(x 1 ，x12)， B(x2 ，x22)， AB中點 M(x 0， y0)則 x1x22 x0x12x222 y0由得 (x1-x2)21+(x 1+x 2)2=9 即 (x 1+x 2)2-4x1x2 1+(x 1+x 2)2=9由、得 2x 1x2=(2

10、x22-2y0 代入得(2x 0)2-(8x22=90) -2y 0=4x00 -4y0) 1+(2x 0) 4 y0 4x029， 4 y04x029( 4x021)91 2 9 1 5, y051 4x024x024x0214當(dāng) 4x02+1=3即 x02時， ( y0 ) min5此時 M(2,5)2424yB法二： 如圖，2MM 2AA2BB2AFBFAB3MA31310M1A1BxMM2，即MM14，22A2MB225， 當(dāng) AB 經(jīng)過焦點 F 時取得最小值。5 MM1M 到 x 軸的最短距離為44點評： 解法一是列出方程組，利用整體消元思想消x1， x2，從而形成y0 關(guān)于 x0

11、的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點M 到 x 軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A 、 B 到準線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當(dāng)三角形“壓扁”時，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點，即沒有驗證AB 是否能經(jīng)過焦點3F，而且點 M 的坐標也不能直接得出。例 6、已知橢圓 x 2y 21( 2 m 5) 過其左焦點且斜率為1 的直線與橢圓及準線從左到右依次變于A 、mm1B 、 C、 D、設(shè) f(m)=ABCD ,（1）求 f(m), （ 2）求 f(m) 的最值。分析： 此題初看

12、很復(fù)雜，對f(m) 的結(jié)構(gòu)不知如何運算，因A、 B 來源于“不同系統(tǒng)” ， A 在準線上， B 在橢圓上，同樣C 在橢圓上， D 在準線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到x 軸上，立即可得防f (m) ( xB x A )2( xDxC )22 ( xBx A ) ( xD X C )yDC2 ( xBxC ) ( x AxD )2 (xBX C )F1 0F2xBA此時問題已明朗化，只需用韋達定理即可。解：（ 1）橢圓x2y22221中， a=m ， b =m-1， c =1，左焦點 F1(-1,0)m m 1則 BC:y=x+1, 代入橢圓方程即 (m-1)x 2+my 2-m(m

13、-1)=0 得 (m-1)x 2+m(x+1) 2-m2+m=0 (2m-1)x22設(shè) B(x 1,y1),C(x 2,y2),則 x1 +x2=-2m(2 m 5)+2mx+2m-m=02m1f (m)ABCD2 (xBx A )( xDxC )2 (x1x2 ) ( x AxC )2 x1x222m2m1（ 2） f (m)2 2m 1 12 (11)2m12m1102當(dāng) m=5 時， f (m) min94 2當(dāng) m=2 時， f (m) max3點評： 此題因最終需求 xBxC ，而 BC 斜率已知為1，故可也用 “點差法” 設(shè) BC 中點為M(x 0,y0),通過將 B、x0y0k0

14、 ，將 y0=x 0+1 ， k=1x0x01， x0mC 坐標代入作差，得m代入得m0，可見m1m12m 1xB2mxC12m4當(dāng)然， 解本題的關(guān)鍵在于對是解此題的要點。f (m)ABCD 的認識， 通過線段在 x 軸的“投影”發(fā)現(xiàn)f (m)xBxC橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)總結(jié)橢圓1. 點 P 處的切線 PT 平分 PF1F2 在點 P 處的 外角 .2.PT 平分 PF1F2 在點 P 處的外角， 則焦點在直線PT 上的射影H 點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點 .3. 以焦點弦 PQ 為直徑的圓必與對應(yīng)準線 相離 .4. 以焦點半徑 PF1 為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切

15、.5.若 P0 (x0 , y0 )在橢圓x2y2x0 xy0 y1.a2b21上，則過 P0 的橢圓的切線方程是b2a26.若 P0 (x0 , y0 ) 在橢圓x2y2P1、 P2，則切點弦22 1外 ，則過 Po 作橢圓的兩條切線切點為是 x0xy0 yab1.a2b27.x2y21 (a b 0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點 P 為橢圓上任意一點F1PF2橢圓 22ab角形的面積為 S F PF2b2 tan .128.橢圓 x2y21（a ）的焦半徑公式：a2b2b0| MF1 | aex0 , | MF2 |aex0 ( F1 ( c,0) ,F2 (c,0) M ( x0 ,

16、 y0 ) ).P1P2 的直線方程，則橢圓的焦點9.設(shè)過橢圓焦點F 作直線與橢圓相交P、Q 兩點， A 為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié) AP 和 AQ 分別交相應(yīng)于焦點 F 的橢圓準線于 M 、N 兩點，則 MF NF.10.過橢圓一個焦點F 的直線與橢圓交于兩點P、 Q, A 1、 A 2 為橢圓長軸上的頂點，A 1P 和 A2Q 交于點 M，A2P和 A 1Q 交于點 N，則 MF NF.11.AB 是橢圓x2y21的不平行于對稱軸的弦， M (x0 , y0 ) 為 AB 的中點，則 kOMkABb2a2b2a2 ，即 KABb2 x0。a 2 y0x2y2x0 x y0 y x02y02

17、12.若 P0 (x0 , y0 ) 在橢圓 a2b21內(nèi)，則被 Po 所平分的中點弦的方程是a2b2a2b2 .13.若 P0 (x0 , y0 ) 在橢圓x2y2x2y2x0 x y0 y2b21內(nèi)，則過 Po 的弦中點的軌跡方程是2b2a2b2 .aa雙曲線1. 點 P 處的切線 PT 平分 PF1F2 在點 P 處的 內(nèi)角 .2.PT 平分 PF1F2 在點 P 處的內(nèi)角， 則焦點在直線PT 上的射影 H 點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦 PQ 為直徑的圓必與對應(yīng)準線 相交 .4.以焦點半徑PF1 為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切 .（內(nèi)切： P 在右支

18、；外切：P 在左支）55.x2y21x0 x若 P0 ( x0 , y0 ) 在雙曲線b2（ a 0,b 0）上，則過 P0 的雙曲線的切線方程是a2a26.x2y21（ a 0,b 0）外 ，則過 Po 作雙曲線的兩條切線切點為若 P0 ( x0 , y0 ) 在雙曲線b2a2切點弦 P1P2 的直線方程是x0 xy0 y1.x2y2a2b27.1（ a 0,b o）的左右焦點分別為F1， F 2，點 P 為雙曲線上任意一點雙曲線b2a2則雙曲線的焦點角形的面積為S FPF2b2co t .12x2y28.雙曲線 a2b21（ a 0,b o）的焦半徑公式： ( F1( c,0) , F2

19、(c,0)y0 yb21.P1、 P2 ，則F1PF2，當(dāng) M ( x0 , y0 ) 在右支上時， | MF1|ex0a , | MF 2 |ex0 a .當(dāng) M ( x0 , y0 ) 在左支上時， | MF1|ex0a ,| MF2 |ex0 a9.設(shè)過雙曲線焦點F 作直線與雙曲線相交P、Q 兩點， A 為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F 的雙曲線準線于M、N 兩點，則 MFNF.10.過雙曲線一個焦點 F 的直線與雙曲線交于兩點P、 Q, A 1、 A2 為雙曲線實軸上的頂點，A1P和 A2Q 交于點 M，A2P 和 A1Q 交于點 N，則 MF NF.11.A

20、B是雙曲線x2y21 （ a 0,b 0 ）的不平行于對稱軸的弦，M ( x0 , y0 ) 為 AB的中點，則a2b2KOM K ABb2 x0 ，即 K ABb 2 x0 。a 2 y0a2 y012.若 P0 ( x0 , y0 )在雙曲線x2y21 （ a 0,b 0 ） 內(nèi) ， 則 被 Po 所 平 分 的 中 點 弦 的 方 程 是a2b2x0 x y0 y x0 2y0 2a2b2a2b2 .13.若 P0 (x0, y0 )在雙曲線x2y21 （ a 0,b 0 ） 內(nèi) ， 則 過Po 的 弦 中 點 的 軌 跡 方 程 是a2b2x2y2x0 xy0 ya22a2b2 .b橢

21、圓與雙曲線的經(jīng)典結(jié)論橢圓1.橢圓x2y21（ a b o）的兩個頂點為 A1 (a,0), A2 ( a,0) ，與 y 軸平行的直線交橢圓于P1 、P2 時a2b2A 1P1 與 A 2P2 交點的軌跡方程是x2y21.a2b2x2y 22.1 (a 0, b 0)上任一點 A(x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C 兩點，過橢圓b2a2則直線 BC 有定向且 kBCb2 x0 （常數(shù)） .a2 y03.若P為橢圓x2y21 （ a b 0 ）上 異于長軸端點的任一點,F1, F 2 是焦點,PF1 F2,a2b26PF2 F1actanco t.，則ca224.設(shè)橢圓

22、x2y21（ a b 0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在PF1F2a2b2F1PF,PF1 F2,F1 F2Psinc中，記2，則有sinsine.a5.若橢圓x2y 21（ a b0）的左、右焦點分別為F1、 F2，左準線為L ，則當(dāng)0 e21時，可a2b2在橢圓上求一點P，使得 PF1 是 P 到對應(yīng)準線距離d 與 PF2 的比例中項 .6. P 為橢圓x2y21 （ a b 0 ） 上 任 一 點 ,F1,F2為二焦點，A 為橢圓內(nèi)一定點，則a2b22a | AF2 |PA| PF1 | 2a | AF1 |,當(dāng)且僅當(dāng) A, F2 , P 三點共線時，等號

23、成立 .7.橢 圓(x x0 ) 2( y y0 ) 21 與 直 線 Ax By C0有公共點的充要條件是a2b2A2 a2B2b2( Ax0By0C)2 .8.已知橢圓x2y21 （ a b 0 ）， O為坐標原點， P、 Q為橢圓上兩動點，且OPOQ .（ 1）a2b2111122的最大值為4a2b2S OPQ 的最小值是a2b22 .|OP |22a2b2 ; （ 2）|OP| +|OQ|a2b2 ;（3）a2b|OQ |9.過橢圓x2y21（ a b0）的右焦點 F 作直線交該橢圓右支于M,N 兩點，弦 MN 的垂直平分線交a2b2|PF |ex 軸于 P，則.|MN |210.x2

24、y21（已知橢圓 a2b2P( x0 ,0) , 則a2b2a11.設(shè) P 點是橢圓x2y2a2b2(1) | PF1 | PF2|2b2cos1ab 0）,A 、B 、是橢圓上的兩點，線段AB 的垂直平分線與x 軸相交于點a2b2x0.a1（ ab 0）上異于長軸端點的任一點,F1 、 F2 為其焦點記F1PF2，則.(2) S PF Fb2 tan .12212. 設(shè) A、B是 橢圓x2y21（ a b 0 ） 的長 軸 兩 端 點， P 是橢 圓上 的 一 點 ，PAB,a2b2PBA,BPA， c、 e分別是橢圓的半焦距離心率，則有 (1)|PA|2ab2 | cos|a2 c2co

25、s2.(2)tan tan2.(3)S2a2b21 ePABb2a2 cot .已知橢圓 x213.y21（ ）的右準線l與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交a2b2ab07于 A 、B 兩點 ,點 C 在右準線 l 上，且 BCx 軸，則直線 AC 經(jīng)過線段 EF 的中點 .14.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直 .15.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16.橢圓焦三角形中 , 內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e( 離心率 ).（注 : 在橢圓焦

26、三角形中 , 非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點. ）17. 橢圓焦三角形中 , 內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 橢圓焦三角形中 , 半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.雙曲線1.x2y21 （ a 0,b 0）的兩個頂點為 A1 (a,0) , A2 (a,0)，與 y軸平行的直線交雙曲線雙曲線b2a2于 P1、P2時 A1P1與 A2P2 交點的軌跡方程是x2y21.a2b2x2y22.過雙曲線1 （ a 0,b o）上任一點A(x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于a2b2b2 x0B,C 兩點，則直線BC 有定向且 kBC（常數(shù)） .

27、a2 y03.x2y21（ a 0,b 0 ）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1,F2是焦點 ,若 P 為雙曲線2b2aPF1F2,PF2 F1，則 catanco t（或 catanco t） .ca22ca224.設(shè)雙曲線x2y21（ a 0,b0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，a2b2在 PF1F2 中，記F1 PF2,PF1F2,F1F2 Psinc，則有(sinsin)e.a5.若雙曲線x2y21（ a 0,b 0）的左、右焦點分別為F1、 F2，左準線為 L ，則當(dāng) 1 e 2 1a2b2時，可在雙曲線上求一點P，使得 PF1 是 P 到對應(yīng)準線距離d 與 PF2 的比例中項 .6.P 為雙曲線x2y2,F1,F2為二焦點， A221 （ a 0,b 0 ）上任一點為雙曲線內(nèi)一定點，則ab|AF2|2a|PA| PF1 |,當(dāng)且僅當(dāng) A, F2 , P 三點共線且 P 和 A, F2 在 y軸同側(cè)時，等號成立 .7.雙 曲 線x2y21 （ a 0,b 0 ） 與 直 線 AxByC0有公共點的充要條件是a2b2A2 a2B2b2C 2 .88.x2y21（ b a 0）， O 為坐標原點， P、 Q 為雙曲線上兩動點，且O