信息論第六章 信道編碼(2)

1、第六章 信道編碼 思維世界的發(fā)展，在某 種意義上說，就是對驚奇的 不斷擺脫。 -愛因斯坦（美國） 第六章 信道編碼 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.2.6 6.2.7 6.2.8 6.2.9 6.2.10 一般概念 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 線性分組碼的生成矩陣 線性分組碼的編碼 線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力 線性分組碼的譯碼 線性分組碼的性能 漢明碼 由已知碼構(gòu)造新碼的方法 線性分組碼的碼限 6.2 線性分組碼 第六章 信道編碼 線性分組碼的編碼：線性分組碼的編碼過程分為兩步： 把信息序列按一定長度分成若干信息碼組，每組由 k 位組成； 編碼器按照預(yù)

2、定的線性規(guī)則(可由線性方程組規(guī)定)，把信息碼 組變換成 n 重 (nk) 碼字，其中 (nk) 個附加碼元是由信息碼 元的線性運算產(chǎn)生的。 信息碼組長 k 位，有 2k 個不同的信息碼組，則有 2k 個 碼字與它們一一對應(yīng)。 6.2.1 一般概念 6.2 線 性 分 組 碼 第六章 信道編碼 名詞解釋 線性分組碼：通過預(yù)定的線性運算將長為 k 位的信息碼組變換 成 n 重的碼字 (nk)。由 2k 個信息碼組所編成的 2k個碼字集 合，稱為線性分組碼。 碼矢：一個 n 重的碼字可以用矢量來表示 C=(Cn1,Cn2,C1,C0 ) 所以碼字又稱為碼矢。 (n,k) 線性碼：信息位長為 k，碼長

3、為 n 的線性碼。 編碼效率/編碼速率/碼率/傳信率：R=k /n。它說明了信道的利 用效率，R是衡量碼性能的一個重要參數(shù)。 6.2.1 一般概念 6.2 線 性 分 組 碼 第六章 信道編碼 (1) 一致監(jiān)督方程 編碼就是給已知信息碼組按預(yù)定規(guī)則添加監(jiān)督碼元，以構(gòu)成碼字。 在 k 個信息碼元之后附加 r(r=nk) 個監(jiān)督碼元，使每個監(jiān)督元是 其中某些信息元的模2和。 舉例：k=3, r=4，構(gòu)成 (7,3) 線性分組碼。設(shè)碼字為 (C6,C5,C4,C3,C2,C1,C0) C6,C5,C4為信息元，C3,C2,C1,C0為監(jiān)督元，每個碼元取“0”或“1” 監(jiān)督元可按下面方程組計算 6.2

4、.2 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 6.2 線 性 分 組 碼 (6.2.1) 364 2654 165 054 c= c+ c c= c+ c+ c c= c+ c c=c+ c 第六章 信道編碼 一致監(jiān)督方程/一致校驗方程：確定由信息元得到監(jiān)督元規(guī) 則的一組方程稱為監(jiān)督方程/校驗方程。由于所 有 碼 字 都 按 同 一 規(guī) 則確定，又稱為一致監(jiān)督方程/一致校驗方程。 由于一致監(jiān)督方程是線性的，即監(jiān)督元和新信源之間是 線性運算關(guān)系，所以由線性監(jiān)督方程所確定的分組碼是 線性分組碼。 6.2 線 性 分 組 碼 6.2.2 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 信息組對應(yīng)碼字 0000000000 0010

5、011101 0100100111 0110111010 1001001110 1011010011 1101101001 1111110100 第六章 信道編碼 (2) 舉例 信息碼組 (101)，即C6=1, C5=0, C4=1 代入 (6.2.1) 得： C3=0, C2=0, C1=1, C0=1 由信息碼組 (101) 編出的碼字為 (1010011)。其它7個碼字如表6.2.1。 表 6.2.1(7,3)分組碼編碼表 6.2 線 性 分 組 碼 6.2.2 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 (6.2.1) 364 2654 165 054 c= c+ c c= c+ c+ c c =

6、c+ c c=c+ c 1 0 0000 0000 0000 0000 643 654 65 54 ccc= ccc= ccc= ccc = 第六章 信道編碼 (3) 一致監(jiān)督矩陣 為了運算方便，將式 (6.2.1)監(jiān)督方程寫成 矩陣形式，得 式(6.2.2)可寫成 H.CT=0T或 C.HT=0 CT、HT、0T分別表 示C、H、0的轉(zhuǎn)置 矩陣。 6.2.2 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 6.2 線 性 分 組 碼 6 5 4 3 2 1 0 10110000 11101000 11000100 01100010 c c c c c c c 6543210 0000 1 0 1 1000 1

7、1 1 0100 1 1 00010 0 1 1 0001 ccccccc c 0 H 令 I4 第六章 信道編碼 系數(shù)矩陣 H 的后四列組成一個 (44) 階單位子陣，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示 (6.2.5) P43 H( 7 ,3 ) P43 I4 所以 6.2.2 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 6.2 線 性 分 組 碼 101 111 = 110 011 1000 0100 0010 0001 第六章 信道編碼 推廣到一般情況：對 (n,k) 線性分組碼，每個碼字中的 r(r=nk) 個監(jiān)督元與信息元之間的關(guān)系可由下面的線性 方程組確定 6.2.2 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)

8、督矩陣 6.2 線 性 分 組 碼(6.2.6) 11112210 21122220 11220 hhh0 hhh0 hhh0 nnn nnn rnrnrn CCC CCC CCC 第六章 信道編碼 令上式的系數(shù)矩陣為 H，碼字行陣列為 C 6.2.2 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 6.2 線 性 分 組 碼 或(6.2.8) 式(6.2.6)可寫成 (6.2.7) C0 稱H為(n, k )線性分組碼的一致監(jiān)督矩陣，簡稱監(jiān)督矩陣。 Hrn C1n Cn 1 Cn 2 11121 21222 12 n n rrrn hhh hhh hhh 11 TT rnnr HC011 TT nnrr CH0

9、 第六章 信道編碼 (4) 一致監(jiān)督矩陣特性 對H 各行實行初等變換，將后面 r 列化為單位子陣，于是得到下 面矩陣，行變換所得方程組與原方程組同解。 監(jiān)督矩陣H 的標(biāo)準(zhǔn)形式：后面 r 列是一單位子陣的監(jiān)督矩陣H。 H 陣的每一行都代表一個監(jiān)督方程，它表示與該行中“1”相對應(yīng)的 碼元的模2和為0。 6.2.2 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 6.2 線 性 分 組 碼 (6.2.9) Hr n 11121 21222 12 100 010 001 k k rrrk ppp ppp ppp 第六章 信道編碼 H 的標(biāo)準(zhǔn)形式還說明了相應(yīng)的監(jiān)督元是由哪些信息元 決定的。例如 (7,3) 碼的H 陣的第一

10、行為 (1011000)， 說明此碼的第一個監(jiān)督元等于第一個和第三個信息元 的模2和，依此類推。 H 陣的 r 行代表了 r 個監(jiān)督方程，也表示由H 所 確 定 的碼字有 r 個監(jiān)督元。 為了得到確定的碼，r 個監(jiān)督方程（或H 陣的r 行）必 須是線性獨立的，這要求H 陣的秩為 r。 若把H 陣化成標(biāo)準(zhǔn)形式，只要檢查單位子陣的秩，就 能方便地確定H 陣本身的秩。 6.2 線 性 分 組 碼 6.2.2 一致監(jiān)督方程和一致監(jiān)督矩陣 第六章 信道編碼 (1) 線性碼的封閉性 線性碼的封閉性：線性碼任意兩個碼字之和仍是一個碼字。 定理6.2.1：設(shè)二元線性分組碼 CI (CI表示碼字集合) 是由監(jiān)督

11、矩陣 H所定義的，若 U 和 V 為其中的任意兩個碼字，則 U+V 也是 CI中的一個碼字。 證明：由于 U 和 V 是碼 CI 中的兩個碼字，故有 HUT=0T，HVT=0T 那么 H(U+V)T T=H(UT+VT)=HUT+HVT=0T 即 U+V 滿足監(jiān)督方程，所以 U+V 一定是一個碼字。 一個長為 n 的二元序列可以看作是GF(2)(二元域)上的 n 維線 性空間中的一點。長為 n 的所有 2n 個矢量集合構(gòu)成了GF(2) 上的 n 維線性空間Vn。把線性碼放入線性空間中進(jìn)行研究， 將使許多問題簡化而比較容易解決。 (n,k) 線性碼是 n 維線性空間Vn中的一個 k 維子空間 V

12、k。 6.2.3 線性分組碼的生成矩陣 6.2 線 性 分 組 碼 第六章 信道編碼 (2) 線性分組碼的生成矩陣 在由 (n,k) 線性碼構(gòu)成的線性空間 Vn 的 k 維子空間 中，一定存在 k 個線性獨立的碼字：g1,g2, gk,。碼 CI 中其它任何碼字C都可以表示為這 k 個碼字的一種 6.2.3 線性分組碼的生成矩陣 6.2 線 性 分 組 碼 G是一個k n階矩陣。 線性組合，即 C mk-1g1 mk-2 g2 m0 gk mi GF (2), i 0,1, k 1。寫成矩陣形式得 m mk-1mk-2 m0 是待編碼的信息組 （6.2.10） (6.2.11) 1 2 112

13、01nkkkk n k mmm g g CmG g 第六章 信道編碼 G中每一行 gi=(gi1,gi2, gin ) 都是一個碼字； 對每一個信息組m，由矩陣G都可以求得 (n,k) 線性碼對應(yīng)的碼字。 生成矩陣：由于矩陣 G 生成了 (n,k) 線性碼，稱矩陣 G 為 (n,k) 線性碼的生成矩陣。 (n,k) 線性碼的每一個碼字都是生成矩陣 G 的行矢量的線性組合， 所以它的 2k 個碼字構(gòu)成了由 G 的行張成的 n 維空間的一個 k 維 子空間 Vk。 6.2.3 線性分組碼的生成矩陣 6.2 線 性 分 組 碼 (6.2.11) 111121 221222 12 n n k n kk

14、kkn ggg ggg ggg g g G g 第六章 信道編碼 線性系統(tǒng)分組碼 通過行初等變換，將 G 化為前 k 列是單位子陣的標(biāo)準(zhǔn) 形式 6.2.3 線性分組碼的生成矩陣 6.2 線 性 分 組 碼 (6.2.13) (6.2.12) j 1,2, , n k i 1,2, , k , ,C0 ) (mk-1 , mk-2 , , m0 )Gk n ,得將上式代入C1n (Cn 1 , Cn 2 IkQ k r Gk n 11121() 21222() 12() 1 00 0 10 0 01 n k n k kkk n k qqq qqq qqq ()1 1220 n ik i nkjk

15、jkjkj Cm Cmqmqm q 第六章 信道編碼 線性系統(tǒng)分組碼：用標(biāo)準(zhǔn)生成矩陣 Gkn 編成的碼字，前面 k 位為信息數(shù)字，后面 r=nk 位為校驗字，這種信息數(shù)字在前 校驗數(shù)字在后的線性分組碼稱為線性系統(tǒng)分組碼。 當(dāng)生成矩陣 G 確定之后，(n,k) 線性碼也就完全被確定了，只 要找到碼的生成矩陣，編碼問題也同樣被解決了。 6.2 線 性 分 組 碼 6.2.3 線性分組碼的生成矩陣 第六章 信道編碼 (3) 舉例 6.2.3 線性分組碼的生成矩陣 6.2 線 性 分 組 碼 (1010011) C17 m14G47 (7,4) 線性碼的生成矩陣為 G47 若m14 (1010)，則

16、1 0 0 010 1 0 1 0 011 1 0 0 1 011 0 0 0 0 101 1 1 0 0 010 1 0 1 0 011 1 1 0 1 0 0 0 1 011 0 0 0 0 101 1 r T rkS rkkS kr T rk T krrk rkrk T kr r T kr rkk T rkrrkk T SS rkrSrkkS I)Q(H QIG P)Q()P(Q 0Q)P( I )P( QIIPQIHG IPHQIG 或所以， l由于生成矩陣由于生成矩陣GG的每一行都是一個碼字，所以的每一行都是一個碼字，所以G G 的每的每 行都滿足行都滿足HHr nC CTn1=0

17、0Tr1，則有 ，則有 HHr nG GTn k=0 0Trk 或 或 GGk nH HTn r=0 0kr l線性系統(tǒng)碼的監(jiān)督矩陣線性系統(tǒng)碼的監(jiān)督矩陣 H H 和生成矩陣和生成矩陣 G G 之間可以直接之間可以直接 互換互換。 (4) 生成矩陣與一致監(jiān)督矩陣的關(guān)系 6.2.3 線性分組碼的生成矩陣 例例: 已知已知(7,4)線性系統(tǒng)碼的監(jiān)督矩陣為線性系統(tǒng)碼的監(jiān)督矩陣為 1101000 0110100 1110010 1010001 G 1001011 0101110 0010111 H )4,7( )4,7( 陣可直接寫出它的生成矩 l對偶碼對偶碼：一個：一個(n,k)線性碼線性碼 C CI

18、，如果以，如果以G G 作監(jiān)督矩陣，作監(jiān)督矩陣， 而以而以H H 作生成矩陣，可構(gòu)造另一個作生成矩陣，可構(gòu)造另一個 (n,nk)線性碼線性碼C CId ， 稱碼稱碼C CId為原碼的對偶碼。為原碼的對偶碼。 l(7,3)碼的監(jiān)督矩陣碼的監(jiān)督矩陣HH(7,3)是是(7,4)碼的生成矩陣碼的生成矩陣GG(7,4) l(7,4) 碼的監(jiān)督矩陣碼的監(jiān)督矩陣 HH(7,4)是是(7,3) 碼的生成矩陣碼的生成矩陣 GG(7,3) ) 3 , 7() 4 , 7( G 1011100 1110010 0111001 1001011 0101110 0010111 H 標(biāo)準(zhǔn)形式 )3 ,7()4,7( H

19、1000110 0100011 0010111 0001101 1101000 0110100 1110010 1010001 G 標(biāo)準(zhǔn)形式 l(n,k) 線性碼的編碼就是根據(jù)線性碼的線性碼的編碼就是根據(jù)線性碼的監(jiān)督矩陣監(jiān)督矩陣或或生成矩生成矩 陣陣將長為將長為 k 的信息組變換成長為的信息組變換成長為 n(nk) 的碼字的碼字。 l利用監(jiān)督矩陣構(gòu)造利用監(jiān)督矩陣構(gòu)造 (7,3) 線性分組碼的編碼電路：線性分組碼的編碼電路： l設(shè)碼字矢量為設(shè)碼字矢量為C C=(C6 C5C4C3C2C1C0) l碼的監(jiān)督矩陣為碼的監(jiān)督矩陣為 線性分組碼的編碼線性分組碼的編碼 450 561 4562 463 )

20、3,7( 1000110 0100011 0010111 0001101 CCC CCC CCCC CCC TT 得由0HC H l根據(jù)方程組可直接畫出根據(jù)方程組可直接畫出 (7,3) 碼的并行和串行編碼電路。碼的并行和串行編碼電路。 m0 m1 m2 C6 C5 C4 C3 C2 C1 C0 C0C1C2C3 C4C5C6 m C (a)并行編碼電路 （b）串行編碼電路 (7,3)線性編碼電路 漢明距離、漢明重量和漢明球漢明距離、漢明重量和漢明球 l漢明距離漢明距離：在：在 (n,k)線性碼中，兩個碼字線性碼中，兩個碼字 UU、V V 之間對應(yīng)碼之間對應(yīng)碼 元位上符號取值不同的個數(shù)，稱為碼字

21、元位上符號取值不同的個數(shù)，稱為碼字 UU、V V 的漢明距離。的漢明距離。 l例例：(7,3) 碼的兩個碼字碼的兩個碼字 UU=0011101,V V=0100111之間第之間第2、 3、4和和6位不同。因此，碼字位不同。因此，碼字 U U 和和 V V 的距離為的距離為4。 l線性分組碼的一個碼字對應(yīng)于線性分組碼的一個碼字對應(yīng)于 n 維線性空間中的一點，碼維線性空間中的一點，碼 字間的距離即為空間中兩字間的距離即為空間中兩對應(yīng)點的距離。因此，碼字間的對應(yīng)點的距離。因此，碼字間的 距離滿足一般距離公理：距離滿足一般距離公理： 1 0 )(),( n i ii vudVU 線性分組碼的最小距離、

22、檢錯和糾錯能力線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力 三角不等式 對稱性 非負(fù)性 ),(),(),( ),(),( 0),( WUWVVU UVVU VU ddd dd d l最小距離最小距離dmin：在：在 (n,k) 線性碼的碼字集合中，任意兩個碼字線性碼的碼字集合中，任意兩個碼字 間距離的最小值，叫做碼的最小距離。若間距離的最小值，叫做碼的最小距離。若C C(i)和和C C(j) 是任意兩是任意兩 個碼字，則碼的最小距離表示為個碼字，則碼的最小距離表示為 碼的最小距離是衡量碼的抗干擾能力（檢、糾錯能力）的碼的最小距離是衡量碼的抗干擾能力（檢、糾錯能力）的 重要參數(shù)。碼的最小距離越大，碼的抗

23、干擾能力就越強。重要參數(shù)。碼的最小距離越大，碼的抗干擾能力就越強。 l漢明球漢明球：以碼字：以碼字C C為中心，半徑為為中心，半徑為 t 的漢明球是與的漢明球是與 C C 的漢明的漢明 距離距離 t 的向量全體集合的向量全體集合 S SC C(t) 任意兩個漢明球不相交最大程度取決于任意兩個碼字之間任意兩個漢明球不相交最大程度取決于任意兩個碼字之間 的最小漢明距離的最小漢明距離dmin。 12 , 1 , 0,),(min )()( min kji ji jiddCC td t ),( )( RCRSC t VU dmin dmin=5,碼距和糾錯能力關(guān)系示意圖 l漢明重量漢明重量W：碼字中非

24、：碼字中非0碼元符號的個數(shù)，稱為該碼字的漢碼元符號的個數(shù)，稱為該碼字的漢 明重量。明重量。 l在二元線性碼中，碼字重量就是碼字中在二元線性碼中，碼字重量就是碼字中“1”的個數(shù)。的個數(shù)。 l最小重量最小重量Wmin ：線性分組碼：線性分組碼C CI中，非中，非0 0碼字重量的最小碼字重量的最小 值，叫做碼值，叫做碼C CI的最小重量：的最小重量： Wmin =minW(V V),V VC CI ,V V0 0 l最小距離與最小重量的關(guān)系最小距離與最小重量的關(guān)系：線性分組碼的最小距離等于：線性分組碼的最小距離等于 它的最小重量。它的最小重量。 證明證明：設(shè)線性碼設(shè)線性碼C CI，且，且UUC CI

25、, V VC CI，又設(shè)，又設(shè)UUV V=Z Z， 由線性碼的封閉性知，由線性碼的封閉性知，Z ZC CI 。因此，。因此，d(UU,V V)=W(Z Z)，由，由 此可推知，線性分組碼的最小距離必等于非此可推知，線性分組碼的最小距離必等于非0 0碼字的最小重碼字的最小重 量。量。 第六章 信道編碼 (2) 最小距離與檢、糾錯能力 一般地說，線性碼的最小距離越大，意味著任意碼字 間的差別越大，則碼的檢、糾錯能力越強。 檢錯能力：如果一個線性碼能檢出長度l 個碼元的任 何錯誤圖樣，稱碼的檢錯能力為 l。 糾錯能力：如果線性碼能糾正長度t 個碼元的任 意 錯 誤圖樣，稱碼的糾錯能力為 t。 6.2

26、 線 性 分 組 碼 6.2.5 線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力 l最小距離與糾錯能力最小距離與糾錯能力：(n,k) 線性碼能糾線性碼能糾 t 個錯誤的充要條件個錯誤的充要條件 是碼的最小距離為是碼的最小距離為 證明證明： 設(shè)發(fā)送的碼字為設(shè)發(fā)送的碼字為V V；接收的碼字為；接收的碼字為R R；UU為任意其它碼字；為任意其它碼字； 則矢量則矢量V V、R R、UU間滿足距離的三角不等式，間滿足距離的三角不等式， d(R R,V V)+d(R R,UU)d(UU,V V) 又設(shè)信道干擾使碼字中碼元發(fā)生錯誤的實際個數(shù)為又設(shè)信道干擾使碼字中碼元發(fā)生錯誤的實際個數(shù)為 t，且，且tt d(R R,V

27、 V)tt 由于由于d(UU,V V)dmin=2t+1，代入上式得：，代入上式得： d(R R,UU) d(UU,V V)d(R R,V V)= 2t+1tt 47 . 4 2 1 12 min min 的最大整數(shù)，例表示取實數(shù)其中 或 XX d ttd 第六章 信道編碼 上式表明：如果接收字 R 中錯誤個數(shù) tt，那么接收字 R 和 發(fā)送字 V 間距離t ，而與其它任何碼字間距離都大于 t，按最 小距離譯碼把R譯為V。此時譯碼正確，碼字中的錯誤被糾正。 幾何意義： 6.2.5 線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力 6.2 線 性 分 組 碼 t dmin 圖6.2.3 dmin=5,碼距和

28、糾錯能力關(guān)系示意圖 l最小距離與檢錯能力最小距離與檢錯能力：(n,k) 線性碼能夠發(fā)現(xiàn)線性碼能夠發(fā)現(xiàn) l 個錯誤的充個錯誤的充 要條件是碼的最小距離為要條件是碼的最小距離為 dmin=l+1 或或 l=dmin1 證明證明： 設(shè)發(fā)送的碼字為設(shè)發(fā)送的碼字為 V V；接收的碼字為；接收的碼字為 R R；U U 為任意其它碼字；為任意其它碼字； 則矢量則矢量V V、R R、UU間滿足距離的三角不等式，間滿足距離的三角不等式， d(R R,V V)+d(R R,UU)d(UU,V V) 又設(shè)信道干擾使碼字中碼元發(fā)生錯誤的實際個數(shù)為又設(shè)信道干擾使碼字中碼元發(fā)生錯誤的實際個數(shù)為 l，且，且ll d(R R

29、,V V)ll 由于由于d(UU,V V)dmin=l+1，代入上式得：，代入上式得： d(R R,UU) d(UU,V V)d(R R,V V)=l+1l0 第六章 信道編碼 上式表明：由于接收字 R 與其它任何碼字 U 的距離都大于0， 則說明接收字 R 不會因發(fā)生 l 個錯誤變?yōu)槠渌a字，因而必能發(fā) 現(xiàn)錯誤。 幾何意義： 6.2.5 線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力 6.2 線 性 分 組 碼 l dmin 圖6.2.4 dmin=4,碼距和檢錯能力關(guān)系示意圖 第六章 信道編碼 最小距離與檢、糾錯能力：(n,k) 線性碼能糾 t 個錯誤，并 能發(fā)現(xiàn) l 個錯誤 (lt) 的充要條件是

30、碼的最小距離為 dmin=t+l+1 或 t+l=dmin1 (6.2.23) 證明：因為dmin2t+1，根據(jù)最小距離與糾錯能力定理，該碼可 糾 t 個錯誤。 因為dminl+1，根據(jù)最小距離與檢錯能力定理，該碼有檢 l 個 錯誤的能力。 糾錯和檢錯不會發(fā)生混淆：設(shè)發(fā)送碼字為 V，接收字為 R， 實際錯誤數(shù)為 l，且 tt+1t 因而不會把 R 誤糾為 U。 6.2 線 性 分 組 碼 6.2.5 線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力 幾何意義幾何意義： l dmin dmin=5,t=1,l=3時碼距和檢錯能力關(guān)系示意圖 t V U dmin l dmin t dmin tl 最小碼距與檢

31、糾錯能力 l當(dāng)當(dāng) (n,k) 線性碼的最小線性碼的最小 距離距離 dmin 給定后，可給定后，可 按實際需要靈活安排按實際需要靈活安排 糾錯的數(shù)目。例如，糾錯的數(shù)目。例如， 對對 dmin=8 的碼，可用的碼，可用 來糾來糾3檢檢4錯，或糾錯，或糾2檢檢 5錯，或糾錯，或糾1檢檢6錯，或錯，或 者只用于檢者只用于檢7個錯誤。個錯誤。 第六章 信道編碼 (3) 線性碼的最小距離與監(jiān)督矩陣的關(guān)系 定理6.2.2：設(shè) H 為 (n,k) 線性碼的一致監(jiān)督矩陣，若 H 中任意 S 列線性無關(guān)，而 H 中存在 (S+1) 列線性相 關(guān)，則碼的最小距離為 (S+1)。（矩陣 H 的秩為S） 定理6.2.3

32、：若碼的最小距離為 (S+1)，則該碼的監(jiān)督矩 陣的任意 S 列線性無關(guān)，而必存在有相關(guān)的 (S+1)列。 定理6.2.4：在二元線性碼的監(jiān)督矩陣 H 中，如果任一 列都不是全“0”，且任兩列都不相等，則該碼能糾一個 錯誤。 6.2 線 性 分 組 碼 6.2.5 線性分組碼的最小距離、檢錯和糾錯能力 第六章 信道編碼 (1) 伴隨式和錯誤檢測 用監(jiān)督矩陣編碼，也用監(jiān)督矩陣譯碼：接收到一個接收 字 R 后，校驗 H.RT=0T 是否成立： 若關(guān)系成立，則認(rèn)為 R 是一個碼字； 否則判為碼字在傳輸中發(fā)生了錯誤； H.RT的值是否為0是校驗碼字出錯與否的依據(jù)。 伴隨式/監(jiān)督子/校驗子：S=R.HT或ST=H.RT。 如何糾錯？ 設(shè)發(fā)送碼矢 C=(Cn1,Cn2,C0) 信道錯誤圖樣為 E=(En1,En2,E0) ， 其中Ei=0，表示第i位無錯； Ei=1，表示第i位有錯。i=n1,n2,0。 6.2.6 線性分組碼的譯碼 6.2 線 性 分 組 碼 l接收碼字接收碼字 R R =(Rn 1,Rn2,R0)=C C+E E =(Cn 1+En1, Cn2+En2, , C0 +E0) l求接收碼字的伴隨式（接收碼字用監(jiān)督矩陣進(jìn)行檢驗）求接收碼字的伴隨式（接收碼字用監(jiān)督矩陣進(jìn)行檢驗） S ST=HH