中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想[精選]

1、本科生畢業(yè)論文題 目 中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想 學(xué) 生 姓 名 段永健 學(xué) 號 2014011046 專 業(yè) 名 稱 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 作品提交日期 2017年3月15日 申請學(xué)位級別 理學(xué)學(xué)士學(xué)位 作品評審等級 李素云 職 稱 副教授 工 作 單 位 玉溪師范學(xué)院 學(xué)位授予單位 玉溪師范學(xué)院 玉溪師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院2018年 4月原 創(chuàng) 性 聲 明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果對本文的研究作出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明本聲明的法律責(zé)任由

2、本人承擔(dān)論文作者簽名： 日 期： 關(guān)于學(xué)位論文使用授權(quán)的聲明本人完全了解玉溪師范學(xué)院有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留或向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱；本人授權(quán)玉溪師范學(xué)院可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文和匯編本學(xué)位論文(保密論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定)論文作者簽名： 導(dǎo)師簽名： 日 期： 目錄1 引言52 數(shù)形結(jié)合思想53 數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用6解決集合問題6利用韋恩圖法解決集合之間的問題6利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)問題7解決幾何問題8解決不等式問題9解決函數(shù)最值、值域問題11解決

3、解方程問題134 總結(jié)15致謝16參考文獻(xiàn)16中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想段永?。ㄓ裣獛煼秾W(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,云南 玉溪 653100）【摘要】：貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)中有很多數(shù)學(xué)思想，其中有一種數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要、有效的數(shù)學(xué)思想和方法.它將數(shù)與形相結(jié)合，通過數(shù)形之間互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)數(shù)學(xué)問題的已知條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，分析其代數(shù)意義的同時(shí)，又揭示了圖形直觀，化繁為簡，化難為易.從而達(dá)到簡化的解題方法，最終解題時(shí)達(dá)到事半功倍的效果.這篇論文論述了數(shù)形結(jié)合思想的概念以及在中學(xué)數(shù)學(xué)和生活中的各種體現(xiàn)與應(yīng)用.【關(guān)鍵詞】：中學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合思想 應(yīng)用 1 引言貫穿于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)的基本數(shù)學(xué)思想，它是能體

4、現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中具有奠基性、總結(jié)性的思維成果的一類思想.中學(xué)階段主要認(rèn)識的基本數(shù)學(xué)思想包括：數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想、變換與轉(zhuǎn)化的思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想、整體思想、極限思想等.數(shù)形結(jié)合是一種重要、有效的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有非常的重要地位.著名數(shù)學(xué)家華羅庚深深意識到數(shù)形結(jié)合的重要性，并提下這樣的詩“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離1”.數(shù)形結(jié)合是彼此聯(lián)系，不可分割的.在中學(xué)階段，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想有助于學(xué)習(xí)者在中學(xué)階段更好的理解掌握知識，從而提升自我邏輯思維能力、空間想

5、象能力、運(yùn)算能力和解題能力，特別是選擇題、填空題.如果熟練掌握并巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，在解題時(shí)，將在這些題目中贏得時(shí)間和效率上的優(yōu)勢，最終取得優(yōu)異成績.究竟解決什么樣類型的問題時(shí)需要用到數(shù)形結(jié)合思想呢？又該怎樣在平時(shí)練習(xí)中靈活運(yùn)用呢？2 數(shù)形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合思想，“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本研究對象，具體包括以下兩個(gè)方面：第一，以“形”覓“數(shù)”：一些數(shù)學(xué)問題，根據(jù)已知條件可作出圖形，解決這類問題的關(guān)鍵是尋找準(zhǔn)確表達(dá)問題的數(shù)量關(guān)系式，把幾何問題代數(shù)化，來解決問題.第二，以“數(shù)”構(gòu)“形”：很多數(shù)學(xué)問題，本來是代數(shù)運(yùn)算或代數(shù)問題，但通過仔細(xì)觀察其代數(shù)式，會(huì)發(fā)現(xiàn)它具有某種幾何特征.根據(jù) “數(shù)”與

6、“形”之間的關(guān)系，將代數(shù)問題幾何化，來解決問題.像這樣，把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來認(rèn)識問題，理解問題的方法，稱為“數(shù)形結(jié)合思想”.數(shù)形結(jié)合的思想，實(shí)質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形巧妙結(jié)合起來，將抽象思維與直觀思維結(jié)合，勾畫出對應(yīng)的圖形，發(fā)揮直觀現(xiàn)象對抽象概念的支柱作用，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體現(xiàn)象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀，化難為易.數(shù)形結(jié)合是能建立數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，也是研究數(shù)學(xué)問題并實(shí)現(xiàn)問題的模型轉(zhuǎn)化的一種基本思想和基本方法，在研究問題的過程中，注意將數(shù)與形結(jié)合起來觀察、思考，并反復(fù)斟酌，既要分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利

7、用這種結(jié)合2，尋求正確解題思路，使難以解決的問題容易化、繁瑣問題簡單化，從而解決問題.因此“數(shù)形結(jié)合”是一種重要、有效的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)階段不僅是新課程標(biāo)準(zhǔn)的重點(diǎn)難點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)課本要求掌握的思想方法之一.在解決抽象的數(shù)學(xué)問題時(shí)，關(guān)鍵是學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題，這樣可起到事倍功半的效果.下面我們進(jìn)行一些探究：3 數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用 解決集合問題 利用韋恩圖法解決集合之間的問題利用韋恩圖法可以使想象豐富、邏輯清晰，并能直觀地解決有關(guān)集合之間的復(fù)雜問題，圖形存在的公共部分就是兩集合的公共元素，圖形不存在公共部分就是兩集合沒有公共元素.例1 對50名公司

8、職員調(diào)查對a、b兩事件的不同態(tài)度，調(diào)查結(jié)果為 同意a的人數(shù)是全體的，其余的不同意，同意b的職員比同意a的職員多3人，其余的不同意；另外，對a、b都不同意的人數(shù)比對a、b都同意的人數(shù)的多1人.問對a、b都同意者和都不同意者各有多少人？解：同意的職員人數(shù)為,同意的職員人數(shù)為,如下圖，記50名職員組成的集合為，同意事件的職員全體為集合；同意b事件的職員全體為集合b.設(shè)該事件a、b都同意的職員人數(shù)為x,則對a、b都不同意的職員人數(shù)為，同意a而不同意b的人數(shù)為，同意b而不同意a的人數(shù)為33x.根據(jù)題意，解得.所以對a、b都同意的職員有21人，都不同意的有8人. 本題難點(diǎn)在于題目中的信息量大，無法快速理清

9、頭緒，不容易建立數(shù)量關(guān)系.利用維恩圖，形象地表達(dá)出數(shù)量之間的關(guān)系.借助數(shù)軸解決集合的有關(guān)問題通過數(shù)軸把幾個(gè)集合的解集是不等式形式分別表示出來，憑借肉眼觀察，可以直觀看出它們的相交部分、合并起來的部分和不相交部分，就可以確定它們的交集或并集.例2： 已知集合，求（1） 若，求a的范圍；（2） 若，求a的范圍；解：將集合a的取值范圍利用數(shù)軸表示，(1)因?yàn)椋ㄈ鐖D2），由包含關(guān)系可知集合a的元素在集合b中都存在，從而,這種情況a的值不存在.(2)要使（如圖2），當(dāng)時(shí)集合b的元素在集合a中都存在,有，即.當(dāng)時(shí)，所以成立.故時(shí)的取值范圍為：（如圖2） 解決一些幾何問題時(shí)，觀察圖形的代數(shù)意義，運(yùn)用形數(shù)結(jié)合

10、的觀點(diǎn)去思考，通過“以形覓數(shù)”的轉(zhuǎn)化，進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算和變式，求出相應(yīng)的結(jié)果，就比較容易找尋到解題方法.例33 過圓o的一條弦的中點(diǎn)任作兩條弦和，連接和分別交于m,n（如圖3）.求證. 解：設(shè),各角假設(shè)如圖3所示.在cgm中，由正弦定理得在cdm中，由相交弦理，得,即式同理得式 ，得所以x=y，cm=cn 本題證明中沒有添加任何輔助線，過程簡明、均勻，給我們一種靈巧的感覺. 解不等式問題，就是在未知元允許值的取值范圍中，求出適合不等式的未知元的所有值，這些值叫做不等式的解集，簡稱等式的解.解不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，不等式不僅具有靈活變換和運(yùn)用廣泛的性質(zhì)，也是培養(yǎng)學(xué)生思維和能力的考察.結(jié)

11、合圖形研究，可以豐富想象，理清思路，避免復(fù)雜的討論和計(jì)算，達(dá)到化繁為簡的目的.例4 解不等式 解：原不等式同解于，這個(gè)不等式又同解于-10123x 由穿根法可知，原不等式的解為：本題主要運(yùn)用穿根法通過序軸、標(biāo)根、穿根線及區(qū)間正負(fù)，形象的表示值的符號變換規(guī)律，根據(jù)不等式中的問題，結(jié)合圖形，形象表示出圖形中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用所學(xué)知識加以解決問題，較好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，具備直觀清晰、易于領(lǐng)會(huì)的優(yōu)點(diǎn).例5 已知函數(shù)， ，當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；解：當(dāng)，不等式化為設(shè)函數(shù)，則 其圖像如圖所示從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，故原不等式的解集為.通過以上兩個(gè)具體例子，基本能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在解不等式中運(yùn)用的廣

12、泛性，在數(shù)學(xué)教學(xué)中, 讓學(xué)生學(xué)會(huì)抓住數(shù)形結(jié)合的解題契機(jī)作為突破點(diǎn)，做到以下兩點(diǎn)：(1)在審題時(shí)與解題前,注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解析題目大意,理清思路,尋找并確定解題思路.(2)在解題過程中,尋找合適表達(dá)問題的數(shù)量關(guān)系式，經(jīng)過轉(zhuǎn)換變形后,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合實(shí)現(xiàn)問題模型轉(zhuǎn)化,從而簡捷流暢地得到解題結(jié)果.數(shù)形結(jié)合滲透于中學(xué)數(shù)學(xué)中,在教學(xué)中,要求做好“數(shù)”和“形”關(guān)系的揭示與轉(zhuǎn)化，切實(shí)掌握形數(shù)相結(jié)合的思想與方法,以形數(shù)相結(jié)合的觀點(diǎn)研讀教材,掌握并理解數(shù)學(xué)中的相關(guān)概念、公式及法則,掌握形數(shù)相結(jié)合進(jìn)行分析問題、解決問題的方法4, 從而提升自我邏輯思維能力、空間想象能力、運(yùn)算能力和解題能力.3.4解決函數(shù)最值、值域問題

13、解決一些復(fù)雜的函數(shù)最值和值域問題、線性規(guī)劃問題是考試考察的重點(diǎn)難點(diǎn)，如何根據(jù)題目巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想勾畫出函數(shù)大致圖像，構(gòu)建準(zhǔn)確數(shù)量關(guān)系，便于解題者簡捷流暢地得到解題結(jié)果.例6 已知函數(shù)（1） 求的單調(diào)區(qū)間；（2） 若在處取得極值，直線與的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍.解：（1），當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，有，?dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由，解得或， 由，解得，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為; 單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）在處取得極值， ，即.，由，解得，.由（1）中的單調(diào)性可知，在處取得極大值， 在處取得極小值.直線與函數(shù)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖像可知：的取值范圍為（-3,1）.本題是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的典

14、例，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)勾畫函數(shù)的大致圖像，解答中結(jié)合題目中的數(shù)量關(guān)系和圖像，通過觀察函數(shù)圖像的特點(diǎn)， 抓住解題契機(jī)，尋找解題思路.例7 設(shè)，滿足，則的最大值為_. 解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如上圖陰影部分所示.可看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，根據(jù)圖可知可行域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大.解方程組，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，得，故最大值為80.在解一些比較復(fù)雜的方程時(shí)，求解過程繁瑣，無法計(jì)算，可以利用函數(shù)與方程的根的思想，利用數(shù)形結(jié)合思想，方程的根就是函數(shù)的解.在解含有參數(shù)的方程時(shí)，需把參數(shù)的每個(gè)容許值都考慮，不同的值存在不同的情況，確定方程的解的集合.例8根據(jù)參數(shù)，求方程的解的個(gè)數(shù).解：設(shè)，作出對應(yīng)函數(shù)的圖像，

15、這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程的解的個(gè)數(shù).如圖所示的圖像是平行于橫坐標(biāo)的直線，它的位置隨參數(shù)的取值變化而變化y3210x-3-113 觀察圖像可以看出，方程的解的個(gè)數(shù)存在四種情況：（1） 方程有四個(gè)解，此時(shí)，即（2） 方程有三個(gè)解，此時(shí)，即（3） 方程有兩個(gè)解，此時(shí)，即，或，即（4） 方程沒有解，此時(shí)，即該類型的題目是在方程有意義的前提下研究，并且還帶有未知元，往往非常棘手，但是可以先將復(fù)雜的代數(shù)轉(zhuǎn)化成熟悉的函數(shù)問題，然后作出圖像，再結(jié)合圖像特點(diǎn)，運(yùn)用圖像的性質(zhì)去研究，問題就迎刃而解了，提高做題效率，解決類似題目就是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的典例.例9 方程的解的個(gè)數(shù)是_.解：在平面直角坐標(biāo)系中作出和

16、的圖像，（如圖9）由圖像可得函數(shù)和的圖像在第一、四象限有3個(gè)交點(diǎn)，且正弦函數(shù)圖像是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，所以第二、三象限也有3個(gè)交點(diǎn)，在加上原點(diǎn)，共7個(gè)交點(diǎn)，所以方程有7個(gè)解. 該題同樣運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程的思想.方程的求解過程繁瑣且計(jì)算量大，不利于計(jì)算.熟練掌握基本函數(shù)圖像，并準(zhǔn)確作圖是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的前提，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想把問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)熟悉函數(shù)和的圖像的交點(diǎn)問題，借助圖像觀察兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程的根即兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).4 總結(jié) 數(shù)形結(jié)合思想主要應(yīng)用于解決集合、幾何、函數(shù)、不等式、解方程、線性方程等方面，一般解決問題的基本思路都是結(jié)合圖形，“以數(shù)構(gòu)形，以形助數(shù)”，

17、化抽象為具體，化繁為簡.數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，在解決選擇題、填空題中更能體現(xiàn)其優(yōu)越性，所以將這種思想意識融入到學(xué)習(xí)者的潛意識中，這樣才能胸中有圖，圖中有數(shù)，不斷開拓思維，從而實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”結(jié)合.在題目中給出一定的信息中，我們可以注意以下幾點(diǎn)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；有序數(shù)組與坐標(biāo)平面(空間)上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖像的對應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；以幾何元素、條件為背景建立的概念；已知的代數(shù)式或等式的特征具有明顯的幾何意義error! reference source not found.數(shù)形結(jié)合思想是一種從古沿用至今數(shù)學(xué)方法，是先輩們留給我們的寶貴的數(shù)學(xué)知識，隨著時(shí)代的進(jìn)步而更加完善，利用數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化，抽象問題具體化，化繁為簡.另外，它在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題和數(shù)學(xué)研究是十分重要的.因此，在教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生理解教材、挖掘教材,將數(shù)形結(jié)合思想滲透于生活中的具體的問題,在解決問題中，讓學(xué)生正確理解