準(zhǔn)備給一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化知識(shí)

1、從歷看， 古希臘和文藝復(fù)興時(shí)期的文化名人，往往本身就是數(shù)學(xué)家。的代表人物如柏拉圖、泰勒斯和達(dá)芬奇。晚近以來(lái)，愛(ài)因斯坦、希爾伯特、羅素、馮諾依曼等文化名人也都是 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)文明的?！酒弧宽n信點(diǎn)兵韓信點(diǎn)兵又稱(chēng)為中國(guó)剩余定理，相傳漢高祖劉邦問(wèn)大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說(shuō)，每3 人一列余1 人、 5 人一列余2 人、 7 人一列余4人、13人一列余6人。劉邦茫然而不知其數(shù)。我們先考慮下列的問(wèn)題假設(shè)兵不滿(mǎn)一萬(wàn)，每 5 人一列、 9 人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？首先我們先求5、 9、 13、 17 之最小公倍數(shù)9945 注因?yàn)?、 9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小

2、公倍數(shù)為這些數(shù)的積，然彳爰再加 3，得9948 人。中國(guó)有一本數(shù)學(xué)古書(shū)孫子算經(jīng)也有類(lèi)似的問(wèn)題今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問(wèn)物幾何？答曰二十三術(shù)曰三三數(shù)之剩二，置一百四十，五五數(shù)之剩三，置六十三，七七數(shù)之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數(shù)之剩一，則置七十，五五數(shù)之剩一，則置二十一，七七 數(shù)之剩一，則置十五，即得。J孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考， 不過(guò)根據(jù)考證，著作 年代不會(huì)在晉朝之彳爰，以這個(gè)考證來(lái)說(shuō)上面這種問(wèn)題的解法， 中國(guó)人 發(fā)現(xiàn)得比西方早，所以這個(gè)問(wèn)題的推廣及其解法，被稱(chēng)為中國(guó)剩余定 理。中國(guó)剩余定理在近代抽象代數(shù)

3、學(xué)中占有一席非常重要的地位?！酒壳煞秩槔覇逃洸宛^雖說(shuō)吃食不算，但卻以美味乳酪而遠(yuǎn)近聞名。塊塊乳酪狀如圓盤(pán)，繞有風(fēng)趣。一刀下去，就把一塊乳酪一切為二。連切兩刀，不難將其分成四塊，三刀則切成六塊。一天，女招待羅西請(qǐng)喬把乳酪切成八塊。喬好，羅西。很簡(jiǎn)單，我只要這樣切四刀就成了。羅西把切好的乳酪往桌子上送時(shí)，忽然悟到喬只需要切三刀便可 以把乳酪分成八塊。羅西想出了什么妙主意？羅西豁然開(kāi)朗，悟到圓柱形乳酪是一個(gè)立體圖形， 可以在中線處橫截一刀將其一切為二。如果允許移動(dòng)切開(kāi)的部分，那么連切三刀也行?？梢园训谝淮吻虚_(kāi)的兩塊迭放在一起，切第二刀成四塊，再把四塊跌放在一起，最后一刀切成八塊。羅西的解法是如此

4、簡(jiǎn)單，幾乎可以說(shuō)是平凡的。然而它給人以明確的啟示對(duì)于有意義的切分問(wèn)題，可以用有限差分演算進(jìn)行研究并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。有限差分演算是發(fā)現(xiàn)數(shù)字序列普通項(xiàng)公式的有力工具。今天， 數(shù)字序列日益引起人們的興趣，因?yàn)樗哂袠O其廣泛的實(shí)際應(yīng)用范圍，還因?yàn)橛?jì)算機(jī)能夠以極快的速度執(zhí)行序列的運(yùn)算。羅西第一次切乳酪的方法是在乳酪頂面的若干中線同時(shí)切數(shù)刀。乳酪具有如同薄餅?zāi)菢悠教沟捻斆?。讓我們?lái)觀察一下，根據(jù)在一張薄餅上切數(shù)刀的過(guò)程，能夠生成一些什么數(shù)字序列。假如沿著薄餅若干中線同時(shí)切數(shù)刀，顯然， 同時(shí)切刀至多可以切出 2 塊。若在其邊沿為一條簡(jiǎn)單閉合曲線的任意平面上同時(shí)切下刀，這種方法所切成的塊數(shù)，是否最多也是

5、2 塊呢？否?？梢噪S意畫(huà)出許多既非凸面，并且形狀各異的平面，即使一刀也可切成你所希望的塊數(shù)。能否畫(huà)出一種圖形，僅切一刀便可以切出任何有限數(shù)目的全等的塊？若能辦到，這種圖形的周長(zhǎng)應(yīng)具有什么特性，才能確保只需要一刀便可以切成全等的塊？若不同時(shí)進(jìn)行切分，薄餅的切分將更為有趣。你很快會(huì)發(fā)現(xiàn)僅當(dāng)=3 時(shí)，切刀方可切成不止2 塊。這里，我們并不考慮所切成的塊是否全等或面積相同。當(dāng) =1， 2， 3， 4。時(shí)，可以切成的最多塊數(shù)分別是2， 4， 7， 11。這一大家所熟悉的序列是根據(jù)下列公式求得的1+12其中，是所切的刀數(shù)。此序列的前10 項(xiàng)自 0 開(kāi)始是 1， 2， 4， 7， 11， 16， 22， 2

6、9， 37，46。請(qǐng)注意，第一行差分是1，2，3，4，5，6，7，8，9。第二行差分是1， 1， 1， 1， 1， 1， 1， 1， 1，。這強(qiáng)烈地暗示著此序列的普通項(xiàng)是一個(gè)二次項(xiàng)。為什么說(shuō)強(qiáng)烈暗示呢？因?yàn)殡m然可以用有限差分演算找到一個(gè)公式，但是并不能保證該公式對(duì)于無(wú)限序列也成立。這一點(diǎn)尚需證明。在薄餅公式這一例子中，不難通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法做出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明。從這點(diǎn)出發(fā)，你可以發(fā)現(xiàn)大量的引人入勝的研究方向，其中有許多將導(dǎo)致非同尋常的數(shù)字序列，公式以及數(shù)學(xué)歸納法證明。這里有一些問(wèn)題可供你作為初步嘗試。采用下列各種方法，最多可以切成幾塊？在馬蹄形的薄餅上切刀。2。在球形或羅西所切的那種圓柱形乳酪上切刀

7、。3。用切小圓甜餅的刀在薄餅上切刀。4。在狀如燭環(huán)狀即中心有一個(gè)圓孔的薄餅上切刀。5。在油炸圈圓環(huán)上切刀?！酒炕鸩裼螒蛞粋€(gè)最普通的火柴游戲就是兩人一起玩，先置若干支火柴於桌上，兩人輪流取，每次所取的數(shù)目可先作一些限制， 規(guī)定取走最彳爰一根火柴者獲勝。規(guī)則一若限制每次所取的火柴數(shù)目最少一根，最多三根，則如何玩才可致勝？例如桌面上有=15 根火柴，甲?乙兩人輪流取，甲先取，則甲應(yīng)如何取才能致勝？為了要取得最彳爰一根，甲必須最彳爰留下零根火柴給乙，故在最彳爰一步之前的輪取中，甲不能留下1 根或 2 根或 3 根， 否則乙就可以全 部取走而獲勝。如果留下4 根，則乙不能全取，則不管乙取幾根1 或

8、2 或3，甲必能取得所有剩下的火柴而贏了游戲。同理，若桌上留有8 根火柴讓乙去取，則無(wú)論乙如何取，甲都可使這一次輪取彳爰留下4根火柴，最彳爰也一定是甲獲勝。由上之分析可知，甲只要使得桌面上的火柴數(shù)為4?8?12?16 等讓乙去取，則甲必穩(wěn)操勝券。因此若原先桌面上的火柴數(shù)為15，則甲應(yīng)取3 根。15-3=12若原先桌面上的火柴數(shù)為 18呢？則甲應(yīng)先取 2根 .18-2=16。規(guī)則二限制每次所取的火柴數(shù)目為1 至 4 根，則又如何致勝？原則若甲先取，則甲每次取時(shí)，須留5 的倍數(shù)的火柴給乙去取。通則有支火柴，每次可取1至支，則甲每次取彳爰所留的火柴數(shù)目必須為 +1 之倍數(shù)。規(guī)則三限制每次所取的火柴數(shù)

9、目不是連續(xù)的數(shù)，而是一些不連續(xù)的數(shù)，如1?3?7，則又該如何玩法？分析 1?3?7均為奇數(shù)，由於目標(biāo)為0，而0為偶數(shù)，所以先取者甲，須使桌上的火柴數(shù)為偶數(shù)，因?yàn)橐以谂紨?shù)的火柴數(shù)中，不可能再取去1?3?7根火柴彳爰獲得0,但假使如此也不能保證甲必贏，因?yàn)榧讓?duì)於火柴數(shù)的奇或偶，也是無(wú)法依照己意來(lái)控制的。因?yàn)榕?奇嗡，奇-奇=偶，所以每次取彳爰，桌上的火柴數(shù)奇偶相反。若開(kāi)始時(shí)是奇數(shù)，如17，甲先取，則不論甲取多少1 或 3 或 7，剩下的便是偶數(shù)，乙隨彳爰又把偶數(shù)變成奇數(shù)，甲又把奇數(shù)回覆到偶數(shù)，最彳爰甲是注定為贏家；反之，若開(kāi)始時(shí)為偶數(shù)，則甲注定會(huì)輸。通則開(kāi)局是奇數(shù)，先取者必勝；反之，若開(kāi)局為偶數(shù)，則先取者 會(huì)輸。規(guī)則四限制每次所取的火柴數(shù)是1或4 一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)。分析如前規(guī)則二，若甲先取，則甲每次取時(shí)留5的倍數(shù)的火柴給 乙去取，則甲必勝。止匕外