【精品】第五節(jié)平面及其方程教案

1、重慶科創(chuàng)職業(yè)學(xué)院授課教案課名：高等數(shù)學(xué)上班級(jí)：教研窒：高等數(shù)學(xué)教研室編寫時(shí)間：課題：第五節(jié)平面及其方程教學(xué)目的及要求：介紹最簡(jiǎn)單也是非常常用的一種曲面一一平面，平面是本書非常重要的一節(jié)， 本節(jié)讓學(xué)生了解平面的各種表示方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)領(lǐng)會(huì)各種特殊位置平面的 表示方法，會(huì)求出各種位置上的平面，了解平面與其法向量之間的關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn)：1.平面方程的求法2.兩平面的夾角教學(xué)難點(diǎn)：平面的幾種表示及其應(yīng)用旁批欄:教學(xué)步驟及內(nèi)容：一、平面的點(diǎn)法式方程1 平面的法線向量定義：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法線向量。平面內(nèi)的任一向量均與該平面的法線向量垂直。2 .平面的點(diǎn)法式方程平面上的一點(diǎn)Mo(X0,yo

2、，Z0)和它的一個(gè)法線向量n 代B,C,對(duì)平面上的任一點(diǎn) M(x, y,z),有向量MM n, 即卩ujujurn M0M 0代入坐標(biāo)式，有：A(x Xo) B(y yo) C(z z)0(1)此即平面的點(diǎn)法式方程。例1 :求過(guò)三點(diǎn)M ! (2, - 1, 4)、M2 (- 1, 3, - 2)和 M3 (0, 2, 3)的平面方程。k614i 9j k1解：先找出這平面的法向量 n,i jn 皿側(cè)2 M1M33 423由點(diǎn)法式方程得平面方程為14(x2)9(y1) (z 4)即:14x 9y z 150二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程來(lái)表示。平面的一般方程為：Ax By Cz

3、D 0幾個(gè)平面圖形特點(diǎn)：1) D = 0:通過(guò)原點(diǎn)的平面。2) A= 0:法線向量垂直于 X軸，表示一個(gè)平行于 X軸的平面。同理：B= 0或C= 0:分別表示一個(gè)平行于 y軸或z軸的平面。3) A= B= 0：方程為CZ D 0 ,法線向量0,0,C,方程表示一個(gè)解：設(shè)平面為Ax By CzD o，由平面過(guò)原點(diǎn)知由平面過(guò)點(diǎn)6, 3,2知6A 3B 2CQn 4, 1,2 4AB 2C o A|c所求平面方程為2x 2y 3z 0三、兩平面的夾角：定義：兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角。設(shè)平面 1 : A1x B1yC1zD10，2: A2xB| yC|ZD 2n1 A1, B1,C1，n

4、2 A2, IB2,C2按照兩向量夾角余弦公式有:cos| A1A2B1B2C1C2 |一Ai2B12B22Cl幾個(gè)常用的結(jié)論設(shè)平面1和法向量依n1 A1, B1, C1n2 A2 , B2 , C21)兩平面垂直:A1 A2B1B2C1C20法向量垂直2)兩平面平行:B1C13)A2B2C2法向量平行平面外一點(diǎn)到平面的距離公式:設(shè)平面外的一點(diǎn) PoXo, y,Zo，面的方程為 Ax By Cz D0，那么點(diǎn)到平面的距離為d AxoJ A2Byo Czo DB2 C2例3:研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系:(1) x 2y z 10, y 3z 1(2) 2x y z 1 o,64x 2y 2z 10解：cos1 102 11 311,兩平面相交，夾；(1)2 22 ( 1)2 荷 32J60角1arccosV60(2)n1 2, 1,1,n2 4,2,行.M (1,1,0)1 M (1,1,0)2 11(3)422M (1,1,0)1 M (1,1,0)211十k十2，兩平面平4222，所以兩平面平行但不重合。兩平面平行2 所