實(shí)數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及經(jīng)典例題解析

1、中考總復(fù)習(xí)：實(shí)數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及經(jīng)典例題解析【考綱要求】1 .了解有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念；借助數(shù)軸理解相反數(shù)、絕對(duì)值的概念及意義，會(huì)比較實(shí)數(shù)的大小;2 .知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示有理數(shù)，會(huì)求近似數(shù)和有效數(shù)字；了解乘方與 開(kāi)方、平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，并理解這兩種運(yùn)算之間的關(guān)系，了解整數(shù)指數(shù)哥的意義 和基本性質(zhì)；3 .掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，并能靈活運(yùn)用；4 .逐步形成數(shù)形結(jié)合、分類討論、建模思想.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】JI千方依東平方根I11【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、實(shí)數(shù)的分類1 .按定義分類：整數(shù)正整數(shù)廠刀皿一 自然數(shù)有理數(shù) 負(fù)整數(shù)有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)無(wú)理數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

2、正無(wú)理數(shù)負(fù)無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)2 .按性質(zhì)符號(hào)分類:正實(shí)數(shù)正有理數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)正無(wú)理數(shù)實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)無(wú)理數(shù)有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)或者“形如無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫無(wú)理數(shù).實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).要點(diǎn)詮釋：常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有以下幾種形式：m (m n是整數(shù)nw 0)”的數(shù)叫有理數(shù). n(1)字母型：如兀是無(wú)理數(shù)，一、一等都是無(wú)理數(shù)，而不是分?jǐn)?shù)；2 4(2)構(gòu)造型：如2.10100100010000(每?jī)蓚€(gè)1之間依次多一個(gè) 0)就是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)；(3)根式型： 瓜 瓶瓶都是一些開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；(4)三角函數(shù)型：sin35 、tan27 、cos29 等.考點(diǎn)

3、二、實(shí)數(shù)的相關(guān)概念3 .相反數(shù)(1)代數(shù)意義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，我們說(shuō)其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù).0的相反數(shù)是0;(2)幾何意義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩側(cè)，與原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；(3)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和等于0.a、b互為相反數(shù)a+b=0.4 .絕對(duì)值(1)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.a(a0)可用式子表示為：a0(a0)a(a0)(2)幾何意義：一個(gè)數(shù) a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.距離是一個(gè)非負(fù)數(shù)，所以絕對(duì)值的幾何意義本身就揭示了絕對(duì)值的本質(zhì)，即絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù).用式子表示：若a是實(shí)數(shù)，則|a| 0.5

4、.倒數(shù)1(1)實(shí)數(shù)a(a 0)的倒數(shù)是1； 0沒(méi)有倒數(shù)；a(2)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).a、b互為倒數(shù) a b 1.6 .平方根(1)如果一個(gè)數(shù)的平方等于 a,這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根.一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根， 它們互為相反數(shù); 0有一個(gè)平方根，它是 0本身；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.a (a0)的平方根記作/手.(2) 一個(gè)正數(shù)a的正的平方根，叫做 a的算術(shù)平方根.a (a0)的算術(shù)平方根記作 & .7 .立方根如果x3=a,那么x叫做a的立方根.一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；0的立方根仍是0.要點(diǎn)詮釋：若a a,則a 0; a -a,則a 0; a-b表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表

5、示數(shù)a與數(shù)b的點(diǎn)之間的距離.考點(diǎn)三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸，數(shù)軸的三要素缺一不可.每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù). 要點(diǎn)詮釋：(1)數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度(2)實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)的 .考點(diǎn)四、實(shí)數(shù)大小的比較1 .對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，靠右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)較大2 .正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)；絕對(duì)值大的反而小3 .對(duì)于實(shí)數(shù) a、 b,若 a-b0ab; a-b=0a=b; a-b0 ab, bc,貝U ac.5 .無(wú)理數(shù)的比較大?。豪闷椒睫D(zhuǎn)化為有理數(shù)：如果ab0, a

6、2b2ab 4a Jb ;或利用倒數(shù)轉(zhuǎn)化：如比較歷4與4 Vi5.要點(diǎn)詮釋：實(shí)數(shù)大小的比較方法：(1)直接比較法：正數(shù)都大于 0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù) 數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.(2)數(shù)軸法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大考點(diǎn)五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算1 .加法同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0; 一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).滿足運(yùn)算律：加法的交換律a+b=b+a,加法的結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).2 .減法減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).3 .乘法兩數(shù)相

7、乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘幾個(gè)非零實(shí)數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù).幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,積就為0.乘法運(yùn)算的運(yùn)算律：(1)乘法交換律ab=ba; (2)乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc) ； (3)乘法對(duì)加法的分配 律 a(b+c尸ab+ac .4 .除法(1)除以一個(gè)數(shù)，等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù).(2)兩個(gè)數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除.0除以任何一個(gè)不等于 0的數(shù)都得0.5 .乘方與開(kāi)方(1)求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，an所表示的意義是 n個(gè)a相乘.正數(shù)的任何次哥是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次哥是正數(shù)，負(fù)數(shù)的

8、奇次哥是負(fù)數(shù).(2)正數(shù)和0可以開(kāi)平方，負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方；正數(shù)、負(fù)數(shù)和0都可以開(kāi)立方.1(3)零指數(shù)與負(fù)指數(shù)a0 1(aw0), a p (aw0).a要點(diǎn)詮釋：(1)加和減是一級(jí)運(yùn)算， 乘和除是二級(jí)運(yùn)算， 乘方和開(kāi)方是三級(jí)運(yùn)算.這三級(jí)運(yùn)算的順序是三、一 .如果有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的；如果沒(méi)有括號(hào)，同一級(jí)運(yùn)算中要從左至右依次運(yùn)算.(2)實(shí)數(shù)的運(yùn)算律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 考點(diǎn)六、有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法1.近似數(shù)一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一

9、位.精確度的形式有兩種：(1)精確到哪一位；(2)保留幾個(gè)有效數(shù)字. 2.有效數(shù)字一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字.3.科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)數(shù)用土 aX10n (其中1同10, n為整數(shù))的形式記數(shù)的方法叫科學(xué)記數(shù)法. 要點(diǎn)詮釋：(1)當(dāng)要表示的數(shù)的絕對(duì)值大于1時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法寫(xiě)成 aX10n,其中1w a 10, n為正整數(shù),其值等于原數(shù)中整數(shù)部分的數(shù)位減去1;(2)當(dāng)要表示的數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法寫(xiě)成 aX10n,其中1w a 10, n為負(fù)整數(shù),其值等于原數(shù)中第一個(gè)非零數(shù)字前面所用零的個(gè)數(shù)的相反數(shù)(包括小數(shù)點(diǎn)前面的零

10、)考點(diǎn)七、數(shù)形結(jié)合、分類討論、建模思想1.數(shù)形結(jié)合思想實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，絕對(duì)值的幾何意義等，數(shù)軸在很多時(shí)候可以幫助我們更直觀地分析題 目，從而找到解決問(wèn)題的突破口； 2.分類討論思想(算術(shù))平方根，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)都需要有分類討論的思想，考慮問(wèn)題要全面，做到既不重復(fù)又不遺 漏； 3.從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型以現(xiàn)實(shí)生活為背景的題目，我們要抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，明確該用哪一個(gè)考點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，然后有的 放矢.【典型例題】類型一、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念0.5757757775(相鄰兩個(gè)5之間的7的個(gè)數(shù)逐次加1).A. 2 個(gè) B 【答案】D;.3個(gè) C . 4個(gè) D .5個(gè)【解析】無(wú)理數(shù)有:加，沂，-兀，0.

11、5757757775（相鄰兩個(gè) 5之間的7的個(gè)數(shù)逐次加1）共有5個(gè).故答案是:D.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：71,2兀 等;開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；以及像舉一反三：【變式】與A. 4B.0.1010010001,等有這樣規(guī)律的數(shù).1+、后最接近的整數(shù)是（3 C. 2D.【答案】B.4 59, -2 V50 或 b0時(shí),當(dāng)bv 0時(shí),1 + bv 1.類型四、平方根的應(yīng)用.已知a52b 1 (c 2)20,求 abc 的值.【答案與解析】一1-0, 3,2b 1 0, (c 2)2 0,2b 1131 ( 1) 43200822008 2009 _ 2(c 2)0

12、.1 八a-032b1 0c2 01 a311 .3.解得b 1則abc( -)123c 2【點(diǎn)評(píng)】利用a 0, ja0, a2n 0 (n為自然數(shù))等常見(jiàn)的三種非負(fù)數(shù)及其性質(zhì),分別令它們?yōu)榱?得一個(gè)三元一次方程組，解得 a、b、c的值，代入后本題得以解決?！咀兪健恳阎獂、y是實(shí)數(shù)，且(y26y+9) =0,若 axy 3x=y,貝U實(shí)數(shù) a的值是()【答案】A. . J3x 4+ (y3)2=0,.-3x+4=0,. .x=- 4X3a-3X,4、()=3,3，答案選A.類型五、實(shí)數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探索.在快速計(jì)算法中，法國(guó)的“小九九”從得一”到“五五二十五”和我國(guó)的“小九九”是一樣的，后面的就

13、改用手勢(shì)了.下面兩個(gè)圖框是用法國(guó)“小九九”計(jì)算8X9和6X7的兩個(gè)示例.兩手伸出的手指數(shù)的和為7, 未伸出的手指數(shù)的積為2 3x9 =720 *9 .mg+glxl -7251,兩手伸出的手指數(shù)的和為上未f申，的手指數(shù)的積為 門(mén).ex7 = 42 .(6x7-10 xq 4-2)+4x3-(1)用法國(guó)“小九九”計(jì)算 7X8,左、右手依次伸出手指的個(gè)數(shù)是多少？(2)設(shè)a、b都是大于5且小于10的整數(shù)，請(qǐng)你說(shuō)明用題中給出的規(guī)則計(jì)算axb的正確性？【答案與解析】(1)按照題中示例可知：要計(jì)算 7X8,左手應(yīng)伸出7-5=2個(gè)手指，右手應(yīng)伸出 8-5=3個(gè)手指；(2)按照題中示例可知：要計(jì)算axb,左手

14、應(yīng)伸出(a-5)個(gè)手指，未伸出的手指數(shù)為 5- (a-5) =10-a ;右手應(yīng)伸出(b-5)個(gè)手指，未伸出的手指數(shù)為5- (b-5) =10-b兩手伸出的手指數(shù)的和為(a-5 ) + (b-5) =a+b-10,未伸出的手指數(shù)的積為(10-a) x ( 10-b) =100-I0a- 10b+axb根據(jù)題中的規(guī)則，axb 的結(jié)果為10X (a+b-10) + (100-10a- 10b+ax b)而 10X (a+b-10) + (100-10a- 10b+ax b) =10a+10b-100+100-10a- 10b+ax b=axb 所以用題中給出的規(guī)則計(jì)算axb是正確的.【點(diǎn)評(píng)】此題是

15、定義新運(yùn)算題型.通過(guò)閱讀規(guī)則，得出一般結(jié)論.解題關(guān)鍵是對(duì)號(hào)入座不要找錯(cuò)對(duì)應(yīng)關(guān) 系.C6.探究數(shù)字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它的體積小，密度大，吸引力強(qiáng)，任何物 體到它那里都別想再“爬出來(lái)”，無(wú)獨(dú)有偶，數(shù)字中也有類似的“黑洞”，滿足某種條件的所有數(shù)，通 過(guò)一種運(yùn)算，都能被它“吸”進(jìn)去，無(wú)一能逃脫它的魔掌.譬如：任意找一個(gè)3的倍數(shù)的數(shù)，先把這個(gè)數(shù)的每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都立方，再相加，得到一個(gè)新的數(shù)，然后把這個(gè)新數(shù)每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字再立方， 求和，重復(fù)運(yùn)算下去，就能得到一個(gè)固定的數(shù)T=,我們稱它為數(shù)字“黑洞”，T為何具有如此魔力通過(guò)認(rèn)真的觀察、分析，你一定能發(fā)現(xiàn)它的奧秘！此短文中的T是()A. 363 B . 153 C . 159 D . 456【答案】B；【解析】把6代入計(jì)算，第一次立方后得到216;第二次得到225;第三次得到141;第四次得到66;第五次得到432;第六次得到99;第七次得到1458;第八次得到702;第九次得到351;第十 次得到153;開(kāi)始重復(fù)，則 T=153.故選B.【點(diǎn)評(píng)】此題只需根據(jù)題意，任意找一個(gè)符合條件的數(shù)進(jìn)行計(jì)算，直至計(jì)算得到重復(fù)的數(shù)值，即是所求 的黑洞數(shù).可以任意找一個(gè)3的倍數(shù)，