擬柱體體積問題探究

1、擬柱體體積問題探究 摘要：擬柱體是高中數(shù)學(xué)人教a版新增內(nèi)容臺體的一般形式，通過波利亞的“怎樣解題表”的思路探究了擬柱體的體積問題將柱體、錐體、球體、臺體等重要立體圖形有機(jī)聯(lián)系起來。 關(guān)鍵詞：擬柱體 體積 怎樣解題表 在高中數(shù)學(xué)人教a版必修2中新增了臺體等相關(guān)內(nèi)容，臺體的一般形式是擬柱體，因而，探究擬柱體的一般性質(zhì)對于理解臺體內(nèi)容是極其有意義的。下面，我們嘗試著用波利亞的“怎樣解題表”的思路來探究擬柱體體積問題，以求加深對臺體性質(zhì)的理解。 如圖1，設(shè)擬柱體兩底面積為s1和s2，中截面面積為s3，高為h，求擬柱體的體積v。 （注：所有的頂點(diǎn)都在兩個稱為底的平行平面上的多面體叫做擬柱體，兩底面間的距

2、離叫做高，與兩底平行且等距的截面為中截面） 首先確定目標(biāo)，要求什么？擬柱體的體積v 它不是棱柱、也不是棱錐，似棱臺卻又非棱臺，在思維中的位置不妨用一個單點(diǎn)v象征性的表示出來。 看已知，你有什么條件或工具？ 一方面是題目中給出的4個已知量s1，s2，s3，h。 另一方面是已學(xué)過的棱柱、棱錐以及拓展的棱臺體積公式，并積累有求空間立體圖形體積的基本方法和經(jīng)驗(yàn)?，F(xiàn)在我們需要尋找的是v與s1，s2，s3，h之間的聯(lián)系（圖2），但顯然，目前它們之間無法直接產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，意味著我們的問題尚未解決。 擬柱體是規(guī)則幾何體嗎？ 我們已學(xué)過棱柱、棱錐甚至棱臺的體積公式，但擬柱體的幾何結(jié)構(gòu)（擬柱體的定義）告訴我們，以上規(guī)

3、則立體圖形只是擬柱體的特殊情形而已，無法直接運(yùn)用公式時(shí)，故而我們需要轉(zhuǎn)換思維。 那么，針對非規(guī)則幾何體，求體積我們有什么方法？ 由已積累的求面積體積經(jīng)驗(yàn)可知，當(dāng)所求圖形為一般圖形，無法用已有公式直接求時(shí)，我們往往采用分割求和方法，分割圖形至我們熟悉的圖形為止，化一般為特殊。 把擬柱體進(jìn)行怎樣的分割呢？分割成棱柱、棱錐、棱臺還是其他圖形呢？ 由擬柱體的定義并結(jié)合此圖，易知分割成棱臺、棱柱的操作難度較大，那么不妨考慮分割成小棱錐。 如何不重不漏的分割成小棱錐？ 在分割時(shí)，我們既要顧及到上下底面，也要顧及到擬柱體的多個側(cè)面。故而可以在中截面上任取一點(diǎn)o連接各頂點(diǎn)（圖3），則將擬柱體分解為以o為公共頂

4、點(diǎn)的三種類型的棱錐之和，一種以上底面為底面，一種以下底面為底面，還有一種以各側(cè)面為底面的棱錐，記分割圖形的相應(yīng)體積為v1，v2，v3，則此時(shí)擬柱體的體積v=v1+v2+v3。 我們在圖示上引入幾個新的點(diǎn)v1，v2，v3用斜線把它們與v聯(lián)結(jié)起來，以此表示這幾個量之間的聯(lián)系。由此就把求v轉(zhuǎn)化為求v1，v2，v3。 怎樣表示v1，v2與v3呢？ 根據(jù)棱錐的體積公式（體積=底面積高）以及中截面的定義可知前面兩種類型的棱錐高均為h，則此時(shí)v1，v2，可以直接求得。 問題的關(guān)鍵在于如何求出v3？ 由圖觀察知，是由多個以側(cè)面為底的小棱錐構(gòu)成，這就把求v3轉(zhuǎn)化為求v3i（i=1，2，3，n）。 我們在（圖5）

5、中引入v3i，用線段把v1與s1、h連結(jié)起來，表示v1能由s1、h得出，v1=s1h；類似地，v2=s2h，v3=v3i。 （圖5） （圖6） 此時(shí)擺在我們面前的是如何才能表示出v3i（i=1，2，3，n）？ 為了使未知數(shù)v3i（i=1，2，3，n）與已知量s3，h建立起聯(lián)系，充分進(jìn)行平面化的思考，若一側(cè)面是四邊形，連結(jié)對角線分解成兩個三角形。因此取圖中的vo -abc來求解，以de為abc的中位線，則sabc=4sade。所以 v3i=v0 - abc=4v0 - ade=4va - ode = 4sode h=hsode其余的v3i（i=1，2，3，n）和v31類似。 由此我們只需對v3i

6、（i=1，2，3，n）求和即能把s3，h聯(lián)系起來（圖6），至此，我們已在v和已知量s1，s2，s3，h之間建立起了一個不中斷的聯(lián)結(jié)網(wǎng)，故而解題的思路全部溝通。 解：如圖（3）所示（輔助線），由棱錐體積公式得 v1=s1h v2=s2h v3=v3i =hs ode =hs ode =hs2 則擬柱體的體積公式為： v=v1+v2+v3=hs1+hs2+hs3=h（s1+4s3+s2） 擬柱體體積公式與棱錐、棱柱、臺體、球等體積公式的統(tǒng)一性表現(xiàn)為以下情況： v=h（s+4s+s） v=h（0+4s+s）=sh v=h（s+4s+s）=sh v=（0+4？仔r+0）=？仔r v=h（s+s） 擬柱

7、體體積公式雖然幾乎涵蓋我們高中階段所學(xué)圖形的體積公式，但其本身也有局限性。在數(shù)學(xué)分析中存在這樣一個積分式子，若s（x）是關(guān)于不超過三次的多項(xiàng)式，則 s（x）dx=s（n）+4s（）+s（m） 若取n=0，m=h，則 s（x）dx=s（0）+4s（）+s（h） 不妨用平行于上下底面的平面來切截幾何體，記為此平面到下底面的距離，s（x）記為被截物體的截面面積，則此時(shí)幾何體體積是式特殊情形中的定積分s（x）dx，而s（h），s（0），s（）剛好為上底，下底和中截面的面積。因此，如果s（x）是關(guān)于x的不超過三次的多項(xiàng)式，就可以運(yùn)用擬柱體公式計(jì)算空間立體圖形的體積，否則無法運(yùn)用。 在探究擬柱體體積問題中不斷尋找已知量與未知量之間的聯(lián)系，搭建過渡橋梁，最終達(dá)到連通狀態(tài)，這也是我們解決問題的一般思路。另外擬柱體作為柱體、錐體、球體、臺體等重要立體圖形的一般形式，其統(tǒng)一性也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，其公式作為求體積的“萬能公式”應(yīng)用的廣泛性也是其他體積公式無法比擬的。 參考文獻(xiàn)： 1同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)m.北京：高等教育出版社，2001（10）. 2祥.初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究m.北京：人民教育出版社，1979（5）. 3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析m.北京：高等教育出版社