2初中數(shù)學(xué)解題方法與技巧教學(xué)的研究

1、2初中數(shù)學(xué)解題方法與技巧教學(xué)的研究 一、解數(shù)學(xué)題的意義 美國著名的心理學(xué)家威廉 . 詹姆斯這樣說：解題是最突出的一類特殊的自由思維。解數(shù)學(xué)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的一種活動(dòng)，是數(shù)學(xué)訓(xùn)練中最主要的學(xué)習(xí)方式。其本質(zhì)目的是鍛煉人們解決實(shí)際生活中的問題的水平。一般可歸為三類：一類是解答數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)題；一類是將實(shí)際生活中問題使用數(shù)學(xué)知識去問題解決。 （一）解答數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)題的意義 解答數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)題一般有明確的目的。主要是鞏固已有的知識，掌握這些知識使用的基本技能。所以重要性是不可忽視的。 1. 明確做練習(xí)的基本價(jià)值。練習(xí)題具有典型性，為某個(gè)目標(biāo)確定的。所以通過做練習(xí)能夠了解學(xué)生對概

2、念的理解水準(zhǔn)，能夠使學(xué)生將問題與所學(xué)數(shù)學(xué)知識聯(lián)系在一起，培養(yǎng)學(xué)生的基本技能和基本的思維，所以是不可或缺的。 2. 明確做練習(xí)的重復(fù)價(jià)值。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)練習(xí)題，是多次重復(fù)出現(xiàn)，或者它的類型是螺旋形上升的。所以才能達(dá)成技能的要求，進(jìn)而形成良好的解決數(shù)學(xué)問題的演繹證明、推理運(yùn)算等各種數(shù)學(xué)水平。同時(shí)重復(fù)是記憶之母，能夠加深對概念的理解、記憶。 3. 明確做練習(xí)的心理價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生的堅(jiān)韌的性格好、良好的意志力，和在困難面前去多角度尋求問題解決的水平。 4. 明確做練習(xí)的成功價(jià)值，學(xué)生能獨(dú)立的解決問題，在練習(xí)中感悟發(fā)現(xiàn)的喜悅和創(chuàng)造性地尋求出答案的巧妙解法。不同的同學(xué)想出了不同的解法，那種快樂的成就感

3、，再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程會(huì)給學(xué)生帶來學(xué)習(xí)的興趣和潛能的開發(fā)。 （二）使用數(shù)學(xué)知識去實(shí)行問題解決的意義 前面所說的數(shù)學(xué)習(xí)過程的練習(xí)題一般是由標(biāo)準(zhǔn)答案，已知和求解都是十分清楚的。而實(shí)際生活中很多問題預(yù)先是不知答案或者不一定有統(tǒng)一的答案，甚至可能沒有答案，這樣一類能夠用數(shù)學(xué)方法去研究和解決的問題稱為數(shù)學(xué)問題解答。它的常見類型和價(jià)值是這樣的。 1. 能夠構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的非常規(guī)的實(shí)際問題。這類問題往往不是純數(shù)學(xué)化的問題模式，而是一種情景，一種實(shí)際需求，僅僅為了解決遇到的困難，需要講實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型并實(shí)行解釋與解決。這是在生活和實(shí)踐中使用數(shù)學(xué)最常用的方式，培養(yǎng)的是學(xué)生面對實(shí)際實(shí)行的問題解決水平。 2.

4、探究性問題：要求的是通過一定的探索，研究來理解數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)，去發(fā)現(xiàn)其數(shù)學(xué)規(guī)律，這種問題要求一種研究式的思維水平，在問題解決過程中感受發(fā)現(xiàn)的樂趣，它培養(yǎng)的是一種主動(dòng)探索精神和科學(xué)態(tài)度。 3. 開放性問題：是問題的條件、結(jié)論、解題策略或應(yīng)用等方面具有一定的開放水準(zhǔn)的問題，學(xué)生在研究這類問題時(shí)通常采用的是合作研究，這種方式可互相啟發(fā)學(xué)生的合作與交流，在交流和合作中完善和優(yōu)化自己的思維。這類問題的解決可培養(yǎng)學(xué)生的思維的靈活性和發(fā)散性。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。 二、解題的方法與技巧 數(shù)學(xué)思想方法在解題中有不可忽視的作用 解題的學(xué)習(xí)過程通常的程序是：閱讀數(shù)學(xué)知識，理解概念；在對例題 和 老師的講解實(shí)行反思，

5、思考例題的方法、技巧和解題的規(guī)范過程；然后做數(shù)學(xué)練習(xí)題。 基本題要練程序和速度；典型題嘗試一題多解開發(fā)數(shù)學(xué)思維；最后要即時(shí)總結(jié)反思改錯(cuò)，交流學(xué)習(xí)好的解法和技巧。著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞說過“如果沒有反思，就錯(cuò)過了解題的的一次重要而有意義的方面?！?教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中要讓學(xué)生解好數(shù)學(xué)問題，就要對數(shù)學(xué)思想方法有清楚的理解，才能更好的挖掘題目的功能，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)總結(jié)題目的解法和技巧，提升解題水平。 （一）中國古代解題中的的數(shù)學(xué)思想： 1. 早在甲骨文中出現(xiàn)的十進(jìn)位制記數(shù)方法，就是早期的數(shù)學(xué)計(jì)算思想；商 代的骨尺和牙尺上也有寸和分的刻度，主要的意義在便于計(jì)算。九章算術(shù)中開放緊納性的表述系統(tǒng)，是按個(gè)別到一般

6、的方法建立起來的，是由一個(gè)或幾個(gè)問題歸納出基本規(guī)律和一般解法，再把各種算法實(shí)行綜合，得到解決某領(lǐng)域中各種問題的方法，再把各領(lǐng)域的方法形成一章，匯成九章算術(shù)，形成抽象化的數(shù)學(xué)計(jì)算思想 2. 周易中的六十四別卦，其核心是八經(jīng)卦，它的符號表示實(shí)際上是一 種特殊的數(shù)表，是由一堆數(shù)字組合而成，有限的符號在不同的位置上相互配置，組合生成無窮多的意義，形成早期的組合的數(shù)學(xué)思想，是離散數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 3. 禮記中指出初等教育要有數(shù)的教育，周禮中提到數(shù)的教育要有日 常生活中的計(jì)算。成為早期的培養(yǎng)人才的“經(jīng)世致用” 的數(shù)學(xué)實(shí)用思想。周髀算經(jīng)中系統(tǒng)的把數(shù)學(xué)應(yīng)用在天文地理中，突出了數(shù)學(xué)的實(shí)用思想。 4. 三國時(shí)代的魏人

7、劉徽為九章算術(shù)作注解 10 卷時(shí)提出的“出入相補(bǔ) 原理”成為我國最早的數(shù)形結(jié)合思想，尤其重要的是他所創(chuàng)造的“割圓術(shù)”使極限思想在世界上開了先例。 5. 莊子天下篇中有一句話是“一日之錘，日取其半，萬世不竭”首次提 出了“無限的思想”進(jìn)而出現(xiàn)了無限向有限轉(zhuǎn)化的辯證思想。 概括中國古代數(shù)學(xué)思想有如下的特點(diǎn)：經(jīng)世致用的實(shí)用思想；算法化、模 型化、數(shù)值化、離散化的計(jì)算思想；樸素的辯證思想；極限思想；數(shù)形結(jié)合思想等。成為數(shù)學(xué)問題解決的常用的思想方法。 （二）中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的的基本思想： 中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、 轉(zhuǎn)化與化歸的思想。這典型的四類數(shù)學(xué)思想對初中數(shù)學(xué)問題的解

8、決有著重要的思維指導(dǎo)作用。 1. 函數(shù)與方程的思想：函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想。所謂函數(shù)的思想是指用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，再運(yùn)用函數(shù)的圖像與性質(zhì)去分析、解決相關(guān)的問題。而所謂方程的思想是分析數(shù)學(xué)中的等量關(guān)系，去構(gòu)建方程或方程組，通過求解或利用方程的性質(zhì)去分析解決問題。 2. 數(shù)形結(jié)合的思想：數(shù)與形在一定的條件下可以轉(zhuǎn)化。如某些代數(shù)問題、三角問題往往有幾何背景，可以借助幾何特征去解決相關(guān)的代數(shù)三角問題；而某些幾何問題也往往可以通過數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征用代數(shù)的方法去解決。因此數(shù)形結(jié)合的思想對問題的解決有舉足輕重的作用。 3. 分類討論的思想 分類

9、討論的思想之所以重要，原因一是因?yàn)樗倪壿嬓暂^強(qiáng)，原因二是因?yàn)樗闹R點(diǎn)的涵蓋比較廣，原因三是因?yàn)樗膳囵B(yǎng)學(xué)生的分析和解決問題的能力。原因四是實(shí)際問題中常常需要分類討論各種可能性。 解決分類討論問題的關(guān)鍵是化整為零，在局部討論降低難度。常見的類型：類型 1 ：由數(shù)學(xué)概念引起的的討論，如 實(shí)數(shù)、有理數(shù)、絕對值、點(diǎn)（直線、圓）與圓的位置關(guān)系等概念的分類討論 ；類型 2 ：由數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的討論，如不等式兩邊同乘一個(gè)正數(shù)還是負(fù)數(shù)的問題；類型 3 ：由性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論，如一元二次方程求根公式的應(yīng)用引起的討論；類型 4 ：由圖形位置的不確定性引起的討論，如直角、銳角、鈍角三角形中的相關(guān)

10、問題引起的討論。類型 5 ：由某些字母系數(shù)對方程的影響造成的分類討論，如二次函數(shù)中字母系數(shù)對圖象的影響，二次項(xiàng)系數(shù)對圖象開口方向的影響，一次項(xiàng)系數(shù)對頂點(diǎn)坐標(biāo)的影響，常數(shù)項(xiàng)對截距的影響等。 如分類討論的案例： 在一張長為 9 厘米 ，寬為 8 厘米 的矩形紙板上，剪下一個(gè)腰長為 5 厘米 的等腰三角形（要求等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上），請計(jì)算剪下的等腰三角形的面積？ 分類討論思想是對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行分類尋求解答的一種思想方法，其作用在于克服思維的片面性，全面考慮問題。分類的原則：分類不重不漏。分類的步驟：確定討論的對象及其范圍；確定分類討論的分類標(biāo)準(zhǔn)； 按所分

11、類別進(jìn)行討論； 歸納小結(jié)、綜合得出結(jié)論。注意動(dòng)態(tài)問題一定要先畫動(dòng)態(tài)圖。 4 轉(zhuǎn)化與化歸的思想 轉(zhuǎn)化與化歸市中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程的思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，所以以上三種思想也是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體呈現(xiàn)。 但是轉(zhuǎn)化包括等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化，等價(jià)轉(zhuǎn)化要求在轉(zhuǎn)化的過程中前因和后果是充分的也是必要的；不等價(jià)轉(zhuǎn)化就只有一種情況，因此結(jié)論要注意檢驗(yàn)、調(diào)整和補(bǔ)充。轉(zhuǎn)化的原則是將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)為熟知的、易解的和已經(jīng)解決的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)為具體的和直觀的問題；將復(fù)雜的轉(zhuǎn)為簡單的問題；將一般的轉(zhuǎn)

12、為特殊的問題；將實(shí)際的問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)的問題等等使問題易于解決。 常見的轉(zhuǎn)化方法有： （ 1 ）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題 . （ 2 ）換元法：運(yùn)用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等 式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題 . （ 3 ）數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑 . （ 4 ）等價(jià)轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到化歸的目的 . （ 5 ）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題，使結(jié)論適合原問題 . （ 6 ）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一

13、個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題 . （ 7 ）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問題也是轉(zhuǎn)化方法的一個(gè)重要途徑 轉(zhuǎn)化與化歸的指導(dǎo)思想 （ 1 ）把什么問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化歸對象 . （ 2 ）化歸到何處去，即化歸目標(biāo) . 0 （ 3 ）如何進(jìn)行化歸，即化歸方法 . 化歸與轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心 . （三）中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的的基本方法： 1. 觀察與實(shí)驗(yàn) （ 1 ）觀察法：有目的有計(jì)劃的通過視覺直觀的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象的規(guī)律、性質(zhì)和解決問題的途徑。 例如化簡 經(jīng)整體觀察可知：無法通分，只能單個(gè)處理，因此可進(jìn)行分母有理化，得到結(jié)論。 例如北京版數(shù)學(xué)八年級上 15 冊 p81 頁

14、的圖表 請同學(xué)們做的是觀察圖形、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，填寫表格。就是一種觀察歸納的方法。 （ 2 ）實(shí)驗(yàn)法： 實(shí)驗(yàn)法是有目的的、模擬的創(chuàng)設(shè)一些有利于觀察的數(shù)學(xué)對象，通過觀察研究將復(fù)雜的問題直觀化、簡單化。它具有直觀性強(qiáng)，特征清晰，同時(shí)可以試探解法、檢驗(yàn)結(jié)論的重要優(yōu)勢。 例如求三角形內(nèi)角和時(shí)用量的方法進(jìn)行試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。 通過撕紙的方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，使三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)為平角得出 180 0 的結(jié)論。 發(fā)現(xiàn)規(guī)律在進(jìn)行證明問題等同于知道了目的地在尋求證明的途徑就容易得多了，同時(shí)在實(shí)驗(yàn)的過程中發(fā)現(xiàn)平行線的的性質(zhì)，內(nèi)錯(cuò)角同位角分別相等的轉(zhuǎn)化方法，即發(fā)現(xiàn)證明的途徑。 當(dāng)三角形動(dòng)的時(shí)候可看出三個(gè)角的值在變化，但和不變?yōu)?180

15、 0 的重要結(jié)論 2. 比較與分類 （ 1 ）比較法 是確定事物共同點(diǎn)和不同點(diǎn)的思維方法。在數(shù)學(xué)上兩類數(shù)學(xué)對象必須有一定的關(guān)系才好比較。我們常比較兩類數(shù)學(xué)對象的相同點(diǎn)、相異點(diǎn)或者是同異綜合比較。 例如比較一次函數(shù)的圖像性質(zhì)時(shí)，常采用比較法 （ 2 ）分類的方法 分類是在比較的基礎(chǔ)上，依據(jù)數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)的異同，把相同性質(zhì)的對象歸入一類，不同性質(zhì)的對象歸為不同類的思維方法。如上圖中一次函數(shù)的 k 在不等于零的情況下的分類是大于零和小于零體現(xiàn)了不重不漏的原則。 如實(shí)數(shù)的分類是有理數(shù)和無理數(shù)等 3 特殊與一般 （ 1 ）特殊化的方法 特殊化的方法是從給定的區(qū)域內(nèi)縮小范圍，甚至縮小到一個(gè)特殊的值、特殊的

16、點(diǎn)、特殊的圖形等情況，再去考慮問題的解答和合理性。 例如無論 k 取何值，直線 y=kx-(k-2) 過定點(diǎn) _ 分析：令 k=0, 得 y=2 代入求得 x=1 得定點(diǎn)為（ 1 ， 2 ） 例如： 2 -(2k+1) -2 -(2k-1) +2 -2k 的值為（） (A) 2 -2k (B) 2 -(2k-1) (C) -2 -(2k+1) (D) 0 分析令 k=0, 得原式 = 2 -1 -2 +1=-2 -1 發(fā)現(xiàn)了 (A) (B) (D) ，所以排除了后選 (C) （ 2 ）一般化的方法 波利亞在怎樣解題一書中這樣說“普遍化（一般化）就從考慮一個(gè)對象過渡到包含該對象的一個(gè)集合；后者從

17、考慮一個(gè)較小的集合過渡到一個(gè)包含該較小集合的更大的集合” “更普遍的問題可能更易于求解” 從具體問題中有時(shí)需要跳出來看問題就更易于解決，也就是我們平常常說的公式法求解 例如：求方程 5x2 -4x-12=0 的解，求根公式就易于求解 對不能因式分解的一元二次方程優(yōu)勢會(huì)更突出。 如解方程 x2 +4x-2=0 4. 聯(lián)想與猜想 （ 1 ）類比聯(lián)想 類比就是根據(jù)兩個(gè)對象或兩類事物間存在著的相同或不同屬性，聯(lián)想到另一事物也可能具有某種屬性的思維方法。 通過類比聯(lián)想可以發(fā)現(xiàn)新的知識；通過類比聯(lián)想可以尋求到數(shù)學(xué)解題的方法和途徑： 。 （ 2 ）歸納猜想 牛頓說過：沒有大膽的猜想就沒有偉大的發(fā)明。猜想可以

18、發(fā)現(xiàn)真理，發(fā)現(xiàn)論斷；猜想可以預(yù)見證明的方法和思路。初中數(shù)學(xué)主要是對命題的條件觀察得出對結(jié)論的猜想，或?qū)l件和結(jié)論的觀察提出解決問題的方案與方法的猜想。 歸納是對同類事物中的所蘊(yùn)含的同類性或相似性而得出的一般性結(jié)論的思維過程。歸納有完全歸納和不完全歸納。完全歸納得出的猜想是正確的，不完全歸納得出的猜想有可能正確也有可能錯(cuò)誤，因此作為結(jié)論是需要證明的 。 關(guān)鍵是猜之有理、猜之有據(jù)。 例：已知 E 和 F 相交于 A 、 D 兩點(diǎn)，其半徑分別為 r 和 R, 過 D 點(diǎn) 的任一條割線分別交圓于 B 、 C 兩點(diǎn)，連結(jié) AB 、 AC 求證： AB:AC 為定值 分析：猜想比值為定值應(yīng)該和半徑有關(guān)系，

19、目標(biāo)定為兩半徑之比；猜想之二比值是相似三角形中的常見問題，因此構(gòu)造相似三角形， 通過三角形 AGH 和 ABC 相似得到 AB:AC=R:r 5. 換元與配方 （ 1 ）換元法 解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化。 換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、

20、化超越式為代數(shù)式，在初中數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。 （ 2 ）配方法 配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成 “ 完全平方 ” ）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運(yùn)用 “ 裂項(xiàng) ” 與 “ 添項(xiàng) ” 、 “ 配 ” 與 “ 湊 ” 的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為 “ 湊配法 ” 。 最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解。 配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式 (a b) 2 a 2 2ab b 2 ，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到

21、各種基本配方形式 6. 構(gòu)造法與待定系數(shù)法 （ 1 ）構(gòu)造法 所謂構(gòu)造性的方法就是數(shù)學(xué)中的概念和方法按固定的方式經(jīng)有限個(gè)步驟能夠定義的概念和能夠?qū)崿F(xiàn)的方法。常見的有構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造圖形，構(gòu)造恒等式。平面幾何里面的添輔助線法就是常見的構(gòu)造法。構(gòu)造法解題有：直接構(gòu)造、變更條件構(gòu)造和變更結(jié)論構(gòu)造等途徑。 P143 例：在證明正三角形內(nèi)有一點(diǎn) P ，連接 PA 、 PB 、 PC 則 PA+PCPB. 證法是通過旋轉(zhuǎn)三角形 BPC 到 BP 在連接 PP 就直接構(gòu)造出以 PA,PB,PC 為邊的三角形 PPA 。 下面看一個(gè)常見的構(gòu)造函數(shù)解決問題的例子 例 ： 在跳大繩時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似的看作

22、拋物線，如圖，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為 4 米 ，距地面均為 1 米 ，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離 1 米 和 2.5 米 處，繩子甩到最高處時(shí)，剛好通過他們的頭頂，已知學(xué)生丙的身高是 1.5 米 ，根據(jù)以上信息你能知道學(xué)生丁的身高嗎？ （ 2 ）待定系數(shù)法：將一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個(gè)恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問題的方法叫做待定系數(shù)法。 用待定系數(shù)法解題的一般步驟是：確定所求問題含待定系數(shù)的解析式；根據(jù)恒等條件，列出一組含

23、待定系數(shù)的方程；解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。 上例也是一個(gè)典型的待定系數(shù)法的例子。 7. 公式法與反證法 （ 1 ） 公式法 利用公式解決問題的方法。初中最常用的有一元二次方程求根時(shí)使用求根公式的方法；完全平方公式的方法等。如下面一組題就是完全平方公式的應(yīng)用： （ 2 ）反證法是 “ 間接證明法 ” 一類，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而得出矛盾，就可以肯定命題的結(jié)論的正確性，從而使命題獲得了證明。 在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到 “ 反設(shè) ” ，否則就不是反證法。用反證法證題時(shí)，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫 “ 歸謬法 ” ；

24、如果 結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫 “ 窮舉法 ” 。 （四）中學(xué)數(shù)學(xué)新題型解題方法和技巧 1. 數(shù)學(xué)探索題 所謂探索題就是從問題給定的題設(shè)條件中探究其相應(yīng)的結(jié)論并加以證 明，或從給定的題目要求中探究相應(yīng)的必需具備的條件、解決問題的途徑。 條件探索題：解答策略之一是將題設(shè)和結(jié)論視為已知，同時(shí)推理，在演 繹的過程中尋找出相應(yīng)所需的條件。 結(jié)論探索題：通常指結(jié)論不確定不唯一，或結(jié)論需通過類比、引申、推廣，或給出特例需通過歸納得出一般結(jié)論?？梢韵炔聹y再去證明；也可以尋求具體情況下的結(jié)論再證明；或直接演繹推證。 規(guī)律探索題：實(shí)際就是探索多種解

25、決問題的途徑，制定多種解題的策略。 活動(dòng)型探索題：讓學(xué)生參與一定的社會(huì)實(shí)踐，在課內(nèi)和課外的活動(dòng)中， 通過探究完成問題解決。 推廣型探索題，將一個(gè)簡單的問題，加以推廣，可產(chǎn)生新的結(jié)論，在初 中教學(xué)中常見。 如平行四邊形的判定，就可以產(chǎn)生許多新的推廣，一方面是自身的推廣， 一方面可以延伸到菱形和正方形中。 探索是數(shù)學(xué)的生命線，解探索題是一種富有創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，一種數(shù) 學(xué)形式的探索絕不是單一的思維方式的結(jié)果，而是多種思維方式的聯(lián)系和滲透，這樣可使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中敢于質(zhì)疑、提問、反思、推廣。通過探索去經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程，體會(huì)創(chuàng)造帶來的快樂。 2. 數(shù)學(xué)情境題 情境題是以一段

26、生活實(shí)際、故事、歷史、游戲與數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)思想和方法于情境中。這類問題往往生動(dòng)有趣，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的研究動(dòng)機(jī)，但同時(shí)數(shù)學(xué)情景題又有信息量大，開放性強(qiáng)的特點(diǎn)，因此需要學(xué)生能從場景中提煉出數(shù)學(xué)問題，同時(shí)經(jīng)歷了借助數(shù)學(xué)知識研究實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化過程。 如老師在講有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)， 如列方程解應(yīng)用題 3. 數(shù)學(xué)開放題 數(shù)學(xué)開放題是相對于傳統(tǒng)的封閉題而言的一種新題型，其特征是題目的條件不充分，或沒有確定的結(jié)論，也正因?yàn)檫@樣，所以開放題的解題策略往往也是多種多樣的。 （ 1 ） 數(shù)學(xué)開放題一般具有下列特征： 不確定性：所提的問題常常是不確定的和一般性的，其背景情況也是用一般詞語來描述的，因此需收集其他必要的

27、信息，才能著手解的題目。 探究性：沒有現(xiàn)成的解題模式，有些答案可能易于直覺地被發(fā)現(xiàn)，但是求解過程中往往需要從多個(gè)角度進(jìn)行思考和探索。 非完備性：有些問題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在于尋求解答的過程中學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重建。 發(fā)散性：在求解過程中往往可以引出新的問題，或?qū)栴}加以推廣，找出更一般、更概括性的結(jié)論。 層次性：常常通過實(shí)際問題提出，學(xué)生必須用數(shù)學(xué)語言將其數(shù)學(xué)化，也就是建立數(shù)學(xué)模型。 發(fā)展性：能激起多數(shù)學(xué)生的好奇性，全體學(xué)生都可以參與解答過程。 創(chuàng)新性：教師難以用注入式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生能自然地主動(dòng)參與，教師在解題過程中的地位是示范者、啟發(fā)者、鼓勵(lì)

28、者、合作者。 （ 2 ）對數(shù)學(xué)開放題的分類，從構(gòu)成數(shù)學(xué)題系統(tǒng)的四要素（條件、依據(jù)、方法、結(jié)論）出發(fā)，定性地可分成四類；如果尋求的答案是數(shù)學(xué)題的條件，則稱為條件開放題；如果尋求的答案是依據(jù)或方法，則稱為策略開放題；如果尋求的答案是結(jié)論，則稱為結(jié)論開放題；如果數(shù)學(xué)題的條件、解題策略或結(jié)論都要求解題者在給定的情境中自行設(shè)定與尋找，則稱為綜合開放題。 從學(xué)生的學(xué)習(xí)生活和熟悉的事物中收集材料，設(shè)計(jì)成各種形式的數(shù)學(xué)開放性問題，意在開放學(xué)生的思路，開放學(xué)生潛在的學(xué)習(xí)能力，開放性數(shù)學(xué)問題給不同層次的學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)創(chuàng)設(shè)了機(jī)會(huì)，多種解題策略的應(yīng)用，有力地發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新技能，提高了學(xué)生的創(chuàng)新能

29、力。 （ 3 ）以數(shù)學(xué)開放題為載體的教學(xué)特征 師生關(guān)系開放：教師與學(xué)生成為問題解決的共同合作者和研究者 教學(xué)內(nèi)容開放：開放題往往條件不完全、或結(jié)論不完全，需要收集信息加以分析和研究，給數(shù)學(xué)留下了創(chuàng)新的空間。 教學(xué)過程的開放性：由于研究的內(nèi)容的開放性可以激起學(xué)生的好奇心、同時(shí)由于問題的開放性，就沒有現(xiàn)成的解題模式，因此 就會(huì)留下想象的空間，使所有的學(xué)生都可參與想象和解答。 （ 4 ）開放題的教育價(jià)值 有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)； 有助于學(xué)生主體意識的形成； 有利于全體學(xué)生的參與，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的民主性和合作性； 有利于學(xué)生體驗(yàn)成功、樹立信心，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣； 有助于提高學(xué)生解決問題的能力。 3. 數(shù)

30、學(xué)建模題（初中數(shù)學(xué)建模題也可以看作是數(shù)學(xué)應(yīng)用題） 數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出 : 要學(xué)生會(huì)應(yīng)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題 , 能適應(yīng)社會(huì)日常生活和生產(chǎn) 勞動(dòng) 的基本需要。初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)目的之一 , 就是培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力 , 要求學(xué)生會(huì)分析和解決生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題 , 形成善于應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力。從各省市的中考數(shù)學(xué)命題來看 , 也更關(guān)注學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題能力的考查 , 可以說培養(yǎng)學(xué)生解答應(yīng)用題的能力是使學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的基本途徑之一 初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的三種類型。 （ 1 ）、探求結(jié)論型數(shù)學(xué)應(yīng)用問題 根據(jù)命題中所給出的條件，要求找出一個(gè)或一個(gè)以上的正確結(jié)論。 例

31、 1 、一塊正方形土地，要在其上修筑兩條筆直的道路，使道路將這塊土地分成形狀相同且面積相等的四部分。若道路的寬度可忽略不記，請?jiān)O(shè)計(jì)三種不同的修筑方案 ( 在給出三張正方形圖紙上分別畫圖，并簡述畫圖步驟 ) 。 （ 2 ）、與現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題 題目貼近生活、聯(lián)系實(shí)際，注視社會(huì)生活、經(jīng)濟(jì)生活中的各方面。 例 2 、某市 20 位下崗職工在近郊承包 50 畝土地辦農(nóng)場，這些地可種蔬菜、煙葉或小麥，種植這幾種農(nóng)作物每畝地所需職工數(shù)和產(chǎn)值預(yù)測如下表： 請你設(shè)計(jì)一個(gè)種植方案，使每畝地都種上農(nóng)作物， 20 位職工都有工作且使農(nóng)作物預(yù)計(jì)總產(chǎn)值最高。 例 3 、某飲料廠生產(chǎn)一種飲料，經(jīng)測算用 1 噸水

32、生產(chǎn)的飲料所獲利潤 y( 元 ) 是 1 噸水的價(jià)格 ( 元 ) 的一次函數(shù)。根據(jù)下表提供的數(shù)據(jù)，求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)水價(jià)為每噸 10 元時(shí)， 1 噸水生產(chǎn)出的飲料所獲的利潤是多少 ? 例 4 、某工程隊(duì)要招聘甲、乙兩種工種的工人 150 人。甲、乙兩種工種的工人工資每月為 600 元和 1000 元?，F(xiàn)要求乙種工種人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的 2 倍。問：甲、乙兩種工種各招聘多少人時(shí)，可以使得工程隊(duì)每月付出的工資最少 ? 評析：以上題目均與生活實(shí)際緊密聯(lián)系，主要考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析、解決問題的能力。解決此類問題的關(guān)鍵在于要充分理解題意及有關(guān)名詞的含義，將實(shí)際問題中內(nèi)在的、本質(zhì)的聯(lián)

33、系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并根據(jù)題意建立方程或不等式，從而求解。 （ 3 ）跨學(xué)科的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題 數(shù)學(xué)與物理 例 5 、一個(gè)圓臺形物體的上底面積是下底面積的，對桌面的壓強(qiáng)是 200 帕，翻過來放，對桌面的壓強(qiáng)是 ( ) 。 (A)50 帕 (B)80 帕 (C)600 帕 (D)800 帕 例 6 、一個(gè)滑輪起重裝置，滑輪的半徑是 10cm ，當(dāng)重物上升 1Ocm 時(shí)滑輪的一條半徑繞軸心按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角的度數(shù)為 ( 假設(shè)繩索與滑輪之間沒有滑動(dòng) )( ) 。 (A)115 (B)60 (C)57 (D)29 這些是與物理有關(guān)的問題，題目難度不大，但考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力。 數(shù)學(xué)與生

34、化 例 7 、某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，細(xì)菌每半小時(shí)分裂一次 ( 由一個(gè)分裂成兩個(gè) ) ，經(jīng)過兩小時(shí)，這種細(xì)菌由 1 個(gè)可以分裂繁殖成 ( ) 。 (A)8 個(gè) (B)16 個(gè) (C)4 個(gè) (D)32 個(gè) 例 8 、一定溫度下的飽和溶液中，溶質(zhì)、溶劑質(zhì)量和溶解度之間存在下列關(guān)系：。 已知 20 時(shí)硝酸鉀的溶解度為 31 克 ，在此溫度下，設(shè) x 克水可溶解硝酸鉀 y 克，則 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式是 ( ) 。 (A) y=0.31x (B) y=31x (C) y= (D) y= 以上兩題是與生物和化學(xué)有關(guān)的問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在生化學(xué)科的應(yīng)用。 總之，數(shù)學(xué)應(yīng)用問題較好地考察了學(xué)生閱讀理解能力

35、與日常生活體驗(yàn)，同時(shí)又考察了學(xué)生獲取信息后的抽象概括與建模能力，判斷決策能力。中考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題熱點(diǎn)題型主要包括生活、統(tǒng)計(jì)、測量、設(shè)計(jì)、決策、銷售、開放探索、跨學(xué)科等等，中考在強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用意識和應(yīng)用能力方面發(fā)揮及其良好的導(dǎo)向功能。這就要求我們在平時(shí)教學(xué)中善于挖掘課本例題、習(xí)題的潛在的應(yīng)用功能。巧妙地將課本中具有典型意義的數(shù)學(xué)問題回歸生活、生產(chǎn)的原型，創(chuàng)設(shè)一個(gè)實(shí)際背景，改造成有深刻數(shù)學(xué)內(nèi)涵的實(shí)際問題，以增強(qiáng)應(yīng)用意識，發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力。 三、解題方法與技巧教學(xué)的建議 （一）理清解答習(xí)題、解決問題、問題解決三者的區(qū)別與聯(lián)系。 解答習(xí)題：是運(yùn)用已有的知識按一定的程序推理或計(jì)算得出題目的答案的過程。解決問

36、題：是運(yùn)用已有的知識尋求解決的方法的過程，它有解決的策略與方法，從發(fā)現(xiàn)問題開始，到計(jì)劃、實(shí)施、檢查、完善最后使問題得以解決。問題解決：是在問題空間中進(jìn)行搜索，以便使問題的初始狀態(tài)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的 思維過程 ，它可能還存在著角度的不同、方法的不同，可以有分析比較融入其中。 數(shù)學(xué)家波利亞這樣說，解決問題就是有目的地去思考和為達(dá)到預(yù)期目標(biāo)而想方設(shè)法。 例如：講多邊形內(nèi)角和的課例，已知三角形內(nèi)角和是 180o ，求四邊形內(nèi)角和的度數(shù)，學(xué)生連接對角線將四邊形變?yōu)閮蓚€(gè)三角形求得內(nèi)角和是 360o ，這就是解答習(xí)題。老師將題目變?yōu)樗倪呅蝺?nèi)角和的度數(shù)如何求解？學(xué)生的所做的就是解決問題，如學(xué)生就去思考畫圖的方法，

37、然后將其歸為三角形問題求解。而老師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的一個(gè)解決的角度是四邊形內(nèi)設(shè)置一點(diǎn)，將其變?yōu)樗膫€(gè)三角形問題求和后減周角 180 度得出 360 度的情況后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的閃光點(diǎn)后引導(dǎo)學(xué)生將問題拓展為著新設(shè)置的一點(diǎn)在邊上、在形外是否都有相同的結(jié)論，這個(gè)過程就成為了問題解決，即為發(fā)現(xiàn)問題，探索結(jié)論總結(jié)規(guī)律形成結(jié)論，同時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它的最優(yōu)解法。 例如：點(diǎn) E 、 F 分別為平行四邊形 ABCD 的邊 AB,BC 上的點(diǎn)， M 、 N 分別是 E 、 F 關(guān)于對角線交點(diǎn) o 的對稱點(diǎn)，求證四邊形 EFMN 為平行四邊形。這就是一道需要解答的題目。但是將其求證部分改變?yōu)椤霸嚺袛嗨倪呅?EFMN 的形狀，并證明”

38、就帶有解決問題的意境了。如果再將問題改變?yōu)椤霸嚺袛嗨倪呅?EFMN 的形狀，并考慮如果改變 E 、 F 的位置能否使四邊形 EFMN 成為矩形”就是教學(xué)過程變?yōu)樾枰獙W(xué)生猜想、探索、驗(yàn)證、求證的數(shù)學(xué)化過程，這就是問題解決的常見情況。 （二） 解題教學(xué)的建議 1. 滲透數(shù)學(xué)思想和方法 G.PolYa 在怎樣解題一書中指出，解題是人類最富有特征的一種活動(dòng)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的中心環(huán)節(jié)，是一種實(shí)踐性技能，是發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力、培養(yǎng)良好心理素質(zhì)的重要手段。正因?yàn)槿绱?，解題在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的地位。 解題不僅僅是解題類型 + 方法 ，這種模式雖然能夠鞏固所學(xué)的知識，并能夠加強(qiáng)基本方法的訓(xùn)練，但忽視了解題目標(biāo)、

39、過程的分析，以及解題中數(shù)學(xué)思維方法的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生創(chuàng)造能力下降，缺乏獨(dú)立開拓的創(chuàng)新意識。 滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)只有注意問題內(nèi)在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的分析，并應(yīng)努力幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思維方法，注意了思想方法的分析，我們才能把數(shù)學(xué)課講活、講懂、講深。所謂“講活” ，就是讓學(xué)生看到活生生的數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，而不是死的數(shù)學(xué)結(jié)論；所謂“講懂”，就是讓學(xué)生真正理解有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗、死記硬背；所謂“講深”，則是指使學(xué)生不僅能掌握具體的數(shù)學(xué)知識，而且也能領(lǐng)會(huì)內(nèi)在的思想方法。 建議 1. 在知識的形成過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程實(shí)際上也是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生過程。任何任何概念， 經(jīng)歷感性到

40、理性的抽象概括過程 ; 任何一個(gè)規(guī)律，都經(jīng)歷著由特殊到一般的歸納過程。 如果 讓學(xué)生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，去參與概念的形成和規(guī)律的揭示過程，學(xué)生獲得的就不僅是數(shù)學(xué)概念、定理、法則，更重要的是發(fā)展了抽象概括的思維和歸納的思維，還可以養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)。 1. 展開概念不要簡單地給定義 概念是思維的細(xì)胞，是濃縮的知識點(diǎn)，是感性認(rèn)識飛躍到理性認(rèn)識的結(jié)果。而飛躍的實(shí)現(xiàn)要經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工，依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)。因此概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)完整地體現(xiàn)這一生動(dòng)的過程，引導(dǎo)學(xué)生揭示隱藏于知識之中的思維內(nèi)核。 2. 延遲判斷 不要過早地下結(jié)論 判斷可以看作是壓縮了的知識鏈。數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、法

41、則、公理等結(jié)論都是一個(gè)個(gè)具體的判斷。教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極參與這些結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程，弄清每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系，使學(xué)生看到某個(gè)判斷時(shí)，能像回憶自己參加有趣活動(dòng)那樣津津樂道。 建議 2 在解題探索過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法 加強(qiáng)對解題的正確指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生從解題的思想方法上作必要的概括可以充分培養(yǎng)學(xué)生的各種能力和意志品質(zhì)。數(shù)學(xué)中的化歸、數(shù)學(xué)模型、數(shù)形結(jié)合、類比、歸納猜想等思想方法，既是解題思路分析中必不可少的思想方法，又是具有思維導(dǎo)向型的思想方法。學(xué)生一旦形成了化歸意識，就能化未知為已知、化繁為簡、化一般為特殊，優(yōu)化解題方法；數(shù)學(xué)思想方法在解題思路探索中的滲透，可以使學(xué)生的思維品質(zhì)更具合理性、條

42、理性和敏捷性。 建議 3 在問題的解決過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法 問題解決是以思考為內(nèi)涵，以問題目標(biāo)為定向的心理活動(dòng)；是在新情景下通過思考去實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的活動(dòng)，“思考活動(dòng)”和“探索過程”是問題解決的內(nèi)核。數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的問題解決，不僅關(guān)心問題的結(jié)果，而且還關(guān)心求得結(jié)果的過程，即問題解決的整個(gè)思考過程。數(shù)學(xué)問題解決，是按照一定的思維對策進(jìn)行的思維過程。在數(shù)學(xué)問題解決的過程中，既運(yùn)用抽象、歸納、類比、演繹等邏輯思維形式，又運(yùn)用直覺、靈感 ( 頓悟 ) 等非邏輯思維形式來探索問題的解決辦法。在學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過程中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)知識、掌握方法、形成思想，促進(jìn)思維能力的發(fā)展。 建議 4 在復(fù)習(xí)與小結(jié)中提煉、概括

43、數(shù)學(xué)思想方法 小結(jié)與復(fù)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系以及歸納、提煉知識中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法是小結(jié)與復(fù)習(xí)的功能之一。在小結(jié)與復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該提煉、概括這一單元知識所涉及的數(shù)學(xué)思想方法，并從知識發(fā)展的過程來綜觀數(shù)學(xué)思想方法所起的作用，以新的更為全面的觀點(diǎn)分析所學(xué)過的知識；從數(shù)學(xué)思想方法的角度進(jìn)行提高與精練。由于同一內(nèi)容可以體現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)思想方法，而同一數(shù)學(xué)思想方法又常常蘊(yùn)含在許多不同的知識點(diǎn)里，因此，在小結(jié)與復(fù)習(xí)時(shí)還應(yīng)該從縱橫兩方面整理出數(shù)學(xué)思想方法及其系統(tǒng)。 建議 5 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思 , 從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法 著名數(shù)學(xué) 教育 家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力”。

44、因此，教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)各種情境，為學(xué)生創(chuàng)造反思的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地提出問題，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。如：解法是怎樣想出來的？關(guān)鍵是那一步？自己為什么沒想出來？能找到更好的解題途徑嗎？這個(gè)方法能推廣嗎？通過解這個(gè)題，我學(xué)到了什么？在必要時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論。這種反思能較好地概括思維的本質(zhì)，從而上升到數(shù)學(xué)思想方法上來。同時(shí)由于學(xué)習(xí)的不可代替原則，教師在積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思的同時(shí)還要善于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自己提煉數(shù)學(xué)思想方法；幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識與解題過程中隱藏的數(shù)學(xué)思想方法。 2. 關(guān)注一題多解、多題歸一、一題多變 一題多解是從不同方向、不同側(cè)面、不同層次，運(yùn)用不同的知識和方法，解決同一個(gè)問題，一題多解能激發(fā)同學(xué)

45、們的潛能，提高解答問題的應(yīng)變能力。多題歸一則是看似不同的問題在解決過程中擁到了同樣的類似的解法，多題歸一可以發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力，使學(xué)生看清數(shù)學(xué)的本質(zhì)。一題多變則是在原有的基礎(chǔ)上改變部分條件或者結(jié)論，形成新的問題，在不斷的變形過程中，使學(xué)生關(guān)注前后聯(lián)系，抓住問題本質(zhì)，利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。 下面兩例是典型的一題多變 例已知：兩個(gè)等圓 O1 和 O2 相交于 A 和 B 兩點(diǎn)， O1 經(jīng)過點(diǎn) O2 ，求 O1AB 的度數(shù) ( 初中幾何第三冊第 139 頁，例 2) 。 講完例題后，讓學(xué)生思考：在題設(shè)不變的條件下，寫出所有的結(jié)論，把它改造為一道多結(jié)論型的問題。 某些定理、性質(zhì)的教學(xué)，也可

46、以把它改造成或引伸為探索性的問題。 例 3 、切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等；圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。 ( 初中幾何第三冊，第 118 頁 ) 邊講解“切線長”概念、邊畫圖，通過圖形讓學(xué)生觀察，證明定理后，加以引伸：在條件不變的情況下，寫出所有結(jié)論，把它改造成為一道探求結(jié)論型。 從近幾年中考試卷的抽樣分析，發(fā)現(xiàn)普通幾何題差于代數(shù)題、新穎題差于常見題、應(yīng)用性問題差于純數(shù)學(xué)問題。可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生對解決這類問題的能力很欠缺。因此在教學(xué)中，要做必須的、針對性的練習(xí)，更要重視進(jìn)行變式訓(xùn)練，即變換原題的圖形或改變部分題設(shè)，求證同一結(jié)論或探索結(jié)論，以提高學(xué)生探索分析能力。通

47、過訓(xùn)練提高學(xué)生對問題的解決及創(chuàng)新能力這也符合當(dāng)前的課改精神。 一題多解的案例 ：在跳大繩時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似的看作拋物線，如圖，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為 4 米 ，距地面均為 1 米 ，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離 1 米 和 2.5 米 處，繩子甩到最高處時(shí)，剛好通過他們的頭頂，已知學(xué)生丙的身高是 1.5 米 ，根據(jù)以上信息你能知道學(xué)生丁的身高嗎？ 不同的建系方式可得到不同的解析式，使求解問題的難易度發(fā)生改變。九年級數(shù)學(xué)課本第 70 頁的例 4 ： 如圖 1 ， 在 ABC 中，矩形 DEFG 的一邊 DE 在 BC 上，點(diǎn) G 、 F 分別在 AB 、 AC

48、 上， AH 是 BC 上的高， AH 與 GF 相交于 K ，已知 GF=18 ， BC=48,EF=10, 求 AK 的長。 分析：這是一個(gè)“三角形內(nèi)接四邊形”的問題，通過 GF/BC, 易證 AGF ABC, 利用“相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比”可得 , 設(shè) AK=X ，然后代入得比例式方程 ，解方程求得 AK=6 。解決本題的關(guān)鍵是利用比例式 列方程，這是一種非常重要的解題思路，下面的諸多問題都是利用這一思路解決的。 例 1 如圖 2 ，在 ABC 中， BC= 16cm ，高 AD= 8cm , 矩形 EFGH 的邊 EF 在 BC 上， G 、 H 分別在 AC 、 AB 上，

49、EF=6, 求 HE 的長。 分析：通過 GH/BC, 易證 AGH ABC, 利用“相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比”可得 , 設(shè) HE=xcm, 然后代入的比例式方程 ，解方程求得 HE= 5cm . 例 2 如圖 2 ， 在 ABC 中， BC= 18cm ，高 AD= 12cm , 矩形 EFGH 的邊 EF 在 BC 上， G 、 H 分別在 AC 、 AB 上， EH ： EF=1 ： 3, 求矩形 EFGH 的周長。 分析：通過 GH/BC ，易證 AGH ABC, 利用“相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比”可得 , 設(shè) HE=xcm, 則 EF= 3cm ，然后代入的比例式方程 ，解

50、方程求得 HE= 4cm . 于是 HG=EF= 12cm ，所以矩形 EFGH 的周長為 32cm . 例 3 如圖 2 ， 在 ABC 中， BC=a ，高 AD=h(a 與 h 為正常數(shù) ), 矩形 EFGH 的邊 EF 在 BC 上， G 、 H 分別在 AC 、 AB 上，設(shè) HE=x,EF=y, 求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式。 分析：通過 GH/BC ，易證 AGH ABC, 利用“相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比”可得 , 先證明 HE=MD,GH=EF 然后將 AM=h-x,AD=h,GH=y,BC=a 代入比例式，得 ，整理得 。 例 4 如圖 3 ，有一塊三角形余料 AB

51、C ，它的邊 BC= 120mm , 高 AD= 80mm , 要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在 BC 上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在 AB 、 AC 上，加工成的正方形的邊長是多少？ 例 5 如圖 1 ，在 ABC 中，矩形 EFGH 的一邊 DE 在 BC 上，點(diǎn) G 、 F 分別在 AB 、 AC 上， AH 是 BC 上的高， AH 與 GF 交于 K, 已知 GD=x,BC=12 ， AH=10, 矩形的周長為 y (1)求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式。 (2)當(dāng) x 為何值時(shí)，矩形 EFGH 成為正方形？ 分析：（ 1 ）通過 GF/BC ，易證 AGH ABC, 利用“相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比”可得 , 將 AK=10-x,AH=10,BC=12 代入比例式，得 ，解得 , 于是 (2) 當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)，矩形 EFGH 成為正方形 例 6 如圖 5 ，有一塊三角形土地，它的底邊 BC= 100 米 ，高AH= 80 米 ，某單位要沿著底邊BC 修一座底面是矩形 DEFG 的大樓，當(dāng)這座大樓的地基面積最大時(shí)，